CHAPITRE XIV

PROBLËJIE HE LA

288. Le problème de la Section déterminée, ainsi appelé par Apollonius, est le suivant :

Étant donnés quatre points en ligne droite, on. demande de déterminer sur cette droite un cinquième point tel, que le produit de ses distances à deux des quatre points donnés soit au produit de ses distances aux deux autres dans une raison donnée.

Soient a, a', h et V les quatre points don 'agit de déterminer un point m tel que l'on a

, X la

Cette question en comporte trois autres comme cas particuliers , car on peut supposer que l'un des quatre points soit à l'infini, ou que deux points conjugués n, «' ou h, b' coïncident en un seul. Les trois cas qui résultent de ces hypothèses s'expriment par les

s SUrÉRIEUBB. -

équations

289. Ce problème de la Section déterminée faisait partie des matières que les anciens comprenaient sous le titre A' Analyse géométrique. Apollonius l'avait traité dans un Ouvrage en deux Livres, qui contenait quatre-vingt-trois propositions. Cet Ouvrage ne nous est pas parvenu ; toutefois des lemmes qui s'y rapportent, insérés par Pappus dans le septième Livre de ses Collections mathématiques, ont permis à plusieurs géomètres, dans les deux derniers siècles, de le rétablir dans le style ancien. Si tous ne l'ont pas fait avec la prolixité d'Apollonius et de R. Simson, qui passe pour avoir bien rétabli la marche et la méthode de l'auteur grec, tous cependant ne l'ont résolu qu'à l'aide de diverses propositions qui font dépendre la question générale de ses cas particuliers. Et c'est encore ainsi qu'a procédé, dans ces derniers temps, J. Leslie, dans son analyse géométrique. De sorte qu'il n'existe pas, en Géométrie, de solution immédiate de la question. Je dis en Géométrie, car, par la voie analytique, en rapportant tous les points à une origine commune, on a sur-le-champ une équation du second degré dont les racines résolvent la question d'une manière générale.

;') Pour considérer l'équation -

latiïe à quatre points, -y — '—p— = i, on peut, dans celle-ci, remplacer la raison 1 par

lo rapport de deui seEments teU que bh, b'k', h et h' étant deui points pris suc fa même droite que les quatre n, a.', b, b' ; alors l'équalion est

QUESTIONS LIVEBSeS. 189

Comme la plupart des problèmes de Géométrie qui admettent deux solutions, celui-ci a des cas d'impossibilité , ce qui conduit à une question de limite ou de maximum, savoir, de troui/er le

point m qui rend le rapport r- — '-^^ maximum ou minimum.

Celle question n'a pas échappé à Apollonius, qui excellait dans ce genre de problèmes ardus, et Fermât l'a prise, à raison de sa difficulté, comme exemple de sa métliode de maximis et minimis.

Les théories précédentes procurent deux solutions immédiates et extrêmement simples de ee problème de la Section déterminée : l'une dérive de l'involution , et l'autre de la division honiographique.

La première s'applique même au cas où l'un des deux couples de points conjugués a, ci el h, h', ou tous les deux, seraient ima-