L'cqualion à laquelle il faut satisfaire

donne lieu, évidemment, à deux points m, m'. La théorie de l'involution l'indique aussi, car, un premier point m étant déterminé, le point ni qui, avec celui-là et les deux couples a, d et b, V, forme une involution satisfera aussi aux conditions du problème, puisqu'on aura

et par conséquent -r — 7—7; — r ^^ '■•

D'après cela, soit^ le milieu des deux points cherchés n a, 6 ceux des deux segments ad ^ bb' ; on aura

igo TKAITE DE GÉOHÉTHIB SUPEnlEUBE.

Cette relation fait connaître le point milieu jn ; et la détermination des deux, points m, m' est une question de la théorie de l'involution, que nous avons résolue de bien des manières (238)- Nous en dirons peu de chose ici,

CoHSTRucTioN. — Par un point g- pris arbitrairement, on fera passer deux circonférences de cercle ayant pour cordes respectives les deux segments aa', bh' , el par le même point g et le second point d'intersection des deux circonférences on en fera passer une troisième ayant son centre sur la perpendiculaire à la droite a(^, élevée par le point fi. Cette circonférence déterminera sur la droite aa' les deux points cherchés m, m'.

autrement. On cherchera le point O déterminé par l'équation

Oa.0a'=:i0b.0b', puis le point ft' déterminé par

et l'on aura

f.m'— ^^'.pO [239, 2").

Cas de trois points a, n', b. — Il faut déterminer un point ni Ici que l'on ait

Deux points m, m' satisferont à la question. Ces deux points formeront une involution avec les deux a, a' et le point h, considéré comme point central. Car on aura

équation d 'involution (195).

Il s'ensuit que le milieu y. des deux points cherchés m, m' se détermine immédiatementparJ'expressionafx =^\'). [222, équat. (4)].

Construction des deux points m, m'. ■ — On décrit une circonférence de cercle quelconque passant par les deux points a, «', et l'on mène par le point b une corde qui la rencontre en deux points g, g' . Par ces deux points, on fait passer une circonférence qui ait son centre sur la perpendiculaire à la droite aa', élevée

QUESTIONS DIVERSES. IQ

par le point fx ; cette circonférence détermine les deux points cliei elles m, m'.

autrement. On construit le point u' par la relation

ba . ba' ^ by.,b ^.' , j^ = p,^'.aô (239, a°).

ni. — Seconde .solution.