IV. — Conditions d'impossibilité. — Limiles de

293. Cas de quatre poikts a, a', b, h' . — Quand les deux segments acé, bh' empiètent l'un sur l'autre, les deux points m, m' sont toujours réels (238); mais, lorsque les deux segments présentent une autre disposition, ces deux points peuvent ôtre imaginaires, ee qui a lieu si leur point milieu f/. se trouve entre les deux points e, f qui divisent h a rm uniquement chacun des deux segments aa' et è5'(239). C'est là la seule condition d'impossibilité de la question. Voyons ce qu'il en résulte relativement au signe et à la valeur numérique du rapport ?.. Nous considérerons successivement les deux cas que peut présenter la position relative des deux segments aa! , bb'.

QUESTIONS DIVERSES. JgS

i" L'un (les segments est entièrement situé sur l'autre;. Alors leurs points milieux a, S sont au delà du segment e/'(6i), et tous deux du même côté, à droite ou à gauche. Or le point ja, par hypothèse, est situé sur le segment lui-même ; il en résulte que le rapport t^j égal à 1, est positif, et que sa valeur numérique est comprise entre celles des deux rapports— ^j -:-• Telles sont les deux

conditions d'impossibilité du problème.

Si X est égal à l'un des deux rapports, les deux points m et m' se confondent en l'un des points e, f, et les deux solutions se réduisent à une seule.

2" Les deux segments sont situés l'un au dehors de l'autre. Alors leurs milieux a, ê, qui se trouvent toujours au delà du segmentij/i sont de côtés différents, et, puisque le point p., par hypothèse, se trouve sur le segment lai-même, il en résulte que le rapport ^ est négatif et que sa valeur absolue est comprise entre

celles des deux rapports — - et -r^- Ce sont là les deux conditions

eÊ /S

d'impossibilité.

Quand A est égal à l'un des deux rapports, les deux solutions sont réelles, mais se réduisent à une seule, comme précédemment.

Il résulte de cette discussion que l'on peut exprimer d'une manière générale les deux conditions d'impossibilité du problème, savoir, i" que le coefficient X soit de même signe que les deux

ea fa rapports -^, —5 et a" que sa valeur numérique soit comprise

entre celles de ces deux rapports.

Nous avons vu (218) que les expressions des deux rapports

29-i. Cas de trois points «, a', h. — Quand le point h est situé sur le segment ad , les deux points cherchés m, irt sont toujours réels. Quand le point h est situé au dehors de ce segment, les deux points e, /"j qui le divisent harmoniquement et ont pour miheu le

Cn»SLi:s, — Giom. sun. I 3

194 TRAITE DE GEOMETRIE aUPEBIEURE. — CHiPlTHB XIV,

point h, sont réels, et il faut, pour que les deux points chercliés m, m' soient réels, que leur point milieu [x soit au dehors du seg^ment ef. De sorte que la question sera impossible si le point ^j., déterminé para/n = -îX, tombe entre les deux points e, f.

On exprime cette condition en disant que le seg;ment af* est compris entre les deux ae, a.f. Il est clair qu'alors les trois segments sont de même signe. Ainsi Ton peut dire que la question est impossible quand, \ étant de mfime signe que les segments ae, «y, sa valeur absolue est comprise entre celles de ces deux segments. Les expressions de ces deux segments sont

. ™ Observation relative aux .signes des segments et du /apport ').. — Piocédé des anciens gijomètres. — Question de n

295. Nous n'avons fait aucune hypothèse sur le signe de la constante X, qui peut être positive ou négative; la position du

point f.^, déterminé par la relation '-j = '^ ou iJ.a. = ~X, dépend de ce signe; par conséquent, les deux solutions qui conviennent à un signe sont différentes des deux qui conviennent au signe contraire, de sorte que, si le signe de > n'est pas déterminé dans l'énoncé de la question, celle-ci admettra quatre solutions.

Quant aux signes des segments, dans le cas de quatre points, où l'on a l'équation - — '—-r- = X, le sens dans lequel on comptera

les segments positifs est indifférent, même quand deux points a, d ou h, y coïncident en un seul.

Mais pour le cas de trois points, exprimé par l'équation

"IHjU^ = X, il n'en est pas de même; on doit indiquer dans quel

sens se compteront les segments positifs, et, si ensuite on veut les compter dans le sens contraire, on aura deux nouvelles solutions; de sorte que, si l'énoncé de la question laisse ce sens indéterminé, on doit considérer qu'il y a quatre solutions. Toutefois, ces quatre solutions sont les mêmes que les quatre dues à l'indétermination du

QUESTIONS IlIVEItSfiS, KJ^

slgQC de la constante ; car, si un point m satisfait à l'équation

— -1— -:=X, dans l'hypothèse que les segments positifs sont

comptés à droite et que ta constante est positive, ce point conviendra encore si l'on compte les segments positifs vers la gauche et qu'on suppose la constante négative.

Ainsi, dans les deux cas de quatre ou de trois points, la question admet généralement quatre solutions quand on ne donne de signes ni à la direction des segments ni à la constante.

Les anciens regardaient la constante toujours comme positive et ne donnaient pas de signes aux segments ; cependant ils ne trouvaient, généralement, qu'une solution. D'après ce que nous venons de dire, ils auraient dû en trouver deux dans le cas de quatre points, et quatre dans le cas de trois points.

II y a là un fait mathématique qui mérite d'être remarqué et que l'on en recherche la cause : c'est que les anciens, qui probablement s'étaient aperçus de la multiplicité des solutions et qui cependant ne pouvaient pas les comprendre sous un principe unique, parce que la notion des signes pour exprimer la direction des segments leur manquait, introduisaient dans les données de la question une condition qui suppléait à l'usage des signes. Ils désignaient comme condition du problème la région dans laquelle devait se trouver le point cherché. On peut s'assurer que cette condition conduisait, pour une même valeur numérique de la constante, aux quatre solutions répondant aux signes -|- et — . Mais cet examen, qui est nécessaire pour se bien rendre compte de ce qu'était la Géométrie des Grecs et des difficultés auxquelles donnait lieu la non-admission des quantités négatives, serait ici superflu.

296. Question nE maxoicm ou minimum. — L'indication de la région dans laquelle doit se trouver !c point cherché ni donne lieu à une question de maximum ou minimum.

En efl"et, prenons le cas de quatre points exprime par l'cqua-

lion — r- — 77 = ^i et supposons que le segment hl/ soit compris

entièrement sur aa' et qu'on demande que le point cherché m soit situe à droite du segment aaf {fi g- Zi)- Le pointez, sera ou A gauche

yGoosle

1()6 THAITiî DE G

du point a OU à droite du pointy. Or, si le point y- est à gauche

de a, le rapportai égal àï, est toujours <; i et augmente quand i^

s'éloigne, jusqu'à devenir égal à l'unité quand ft est à l'infini. Puis, si l'on suppose que jj. revienne de l'infini à droite du point y, le

rapport^ augmente au fur et à mesure que f^ s'approche du pointe;

mais /J. ne peut pas franchir le point^", parce que, en deçà deysur le segment ef, il donnerait des points m, m' imaginaires. Donc, la

plus grande valeur qu'on puisse donner au rapport — ou X est

celle qui fait coïncider p avecy, et cette valeur est

/e [yjah'.a'b + yiab.a'b'f

Alors le point clierchc m est situé lui-même enf.

Mais, si l'on veut que le point m soit sur le segment è&', le point ,«

sera à droite de 6, et le rapport — sera minimum quand p coïncidera avec e, auquel cas le point cherché m se trouvera lui-même en e, et le rapport A aura pour valeur

^S [<^ab\a'b-^ab.a'b'f

Supposons maintenant que le segment bb' soit situé au delà de ad [fig- 33) et qu'on demande que le point m soit sur l'un des dciiK segments, sur iè'par exemple. Alors le point ft sera à

gauche de 6. Le rapport '— diminue, abstraction faite de son

signe —, quand [i. s'éloigne de Ê. Or ix ne peut pas franchir le poiniy, parce que le point cherché m deviendrait imaginaire ; donc la plus grande valeur qu'on puisse donner au rapport 1 est celle qui fait coïncider )e point y. enf. Cette valeur n

Si l'on demande que le point m soit au dehors des deux seg-

OUESTIONS DIVERSES. I97

ments aa', hV , le point ^ sera lui-même au dehors du segment ao, et le rapport X pourra avoir une valeur quelconque ; de sorte qu'il n'y a pas alors de question de maximum.

297. Ainsi, le problème de la Section déterminée donne lieu à trois cas de maximum ou minimum quand on indique dans quelle région , par rapport aux deux segments aa' et bb', doit se trouver le point cherché.

Ces questions d'impossibilité et de limite ne nous ont ofl'ert aucune difficulté, parce que nous y avons introduit la notion du point ft, milieu des deux points cherchés m, m', et celle de l'expression "^ égale au rapport )., qui sert à déterminer immédiatement le point jx.

Mais, à défaut de ce moyen de solution, c'est en raisonnant directement sur l'expression plus compliquée -. j-, — de la constante X qu'on a dû chercher, dans chaque cas, la position du point m, ses limites et les valeurs maximum ou minimum de X. Ces questions difficiles ont été fort bien résolues par Apollonius, qui a non-seulement déterminé les points limites e, J, mais est parvenu

aux expressions des rapports -r^-t — î telles que nous les avons

données.

La recherche de ces expressions présentait surtout de grandes difficultés, qui ont exigé toutes les ressources du géomètre. Car, Apollonius ne connaissant pas les différentes relations analytiques de l'involution dont nous avons fait usage, c'est au moyen de ligures et par des considérations de pure Géométrie, différentes dans les trois cas, qu'il est parvenu à la détermination des valeurs en question ('). Ce sont ses propres solutions, conservées par Pappus, que les géomètres modernes ont reproduites.

les ayons traitées, font le sujet dca pi-opoâitions 64, 61 et 62 du septième Livre d< Pappus, et 6â, 59, 62 de R. Sirnson.

Dans les deux premiers cas, les valeurs maximum ou uiinimum du rapport Jl trau' ïées par Apollonius sont celles que nous avons données, et c'est par des propriété! du cercle, différifiites dans les deuî cas, que l'auteur y est parvenu. Mais dans 1(

198 TRAITE DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEIinE. — CHAPITRE MV.

On peut voir, par ce que nous venons de dire, que ce problème de la Section déterminée était dans la Géométrie ancienne et est resté jusqu'ici une question fort compliquée, résolue longuement et péniblement. Il faut se livrer aune élude approfondie deslemmes de Pappus qui s'y rapportent et de l'Ouvrage de R. Simson pour bien connaître et apprécier ses difficultés et la marche suivie par Apollonius dans les quatre-vingt-trois propositions dont son Ouvrage se composait.

qui forma le second du géomètre grec, bh méthode es il y emploie une fignre composée de triangles et asssi compliquée rapport maiimum diffère des premières; elle est

1 est identique à la nùtrc, en is quatre points b, a', b, V .

lie, qui a consacré huit propositions à ce problème, n'a traité qu'i imites ou d'impossibilité (celui qni fait le sujet des propositions G ! Simson) sans laisser entrevoir au Iceleut les autres cas. (Voir [. Edinburgh, iSai, in-S", p. Sg-SÎ.)