Inscrir mrface à ua c

n triaiigie ABC [fig, 4i) un rectangle mnpq égal e.

Qu'on mène »)r parallèle à AC, on forme le parallélogramme »i« A/- équivalent au rectangle mnpq ou au carré donné. Nous supposerons donc que c'est ce parallélogramme qu'il s'agit de déterminer.

Concevons un autre parallélogramme Mn'Ar' de même surface; ses deux côtés M«', M/ rencontrent le côté BG du triangle en deux points «, a' qui formeront deux divisions homographiques quand on fera varier ce parallélogramme. En effet, puisqu'il a toujours même surface, on a

r les deux côti's AB, AC, deux

ao8 TRAITÉ DE GBOJilÎTRIË SL'PËBIEUBE. — GHiPITBE XV,

divisions homographiques ( 127 ] . Oc les points «' et a forment deux divisions hoimograpliicjues, ainsi que les points r' et a' . Donc les deux points a et n' forment deux divisions homographiques (106). Il est évident que le point cherché m est un point double de ces deux divisions. D'après cela, on déterminera les deux points m qui satisfont à la question de la maniÈce suivante.

Les deux points I et J' des deux divisions seront en B et C. Par le milieu O de BC on mènera On" parallèle à AB; on prendra le point r" détermiaépar la relation kn" .Ki" -^-i. La parallèle à AC, menée par r" , déterminera sur BC le point O'. On prendra Om = v'OO'.OJ'. Le point m sera le sommet du parallélogramme demandé. Il existera au-dessous du point O un second point m qui sera le sommet d'un second parallélogramme snlisfaisant également à la question.

317- Étant donnés un polygone dea côtés et a points placés arhkraimment, on demande d'inscrire dans le polygone un autre poljgone dont les n côtés passent par ces a points.

Soient ABCDE [;fg-. 4^) le polygone donné, et P, Q, R, S,T les points par lesquels doivent passer les côtés consécutifs du poljgone chei-ché abc...

Hous allons déterminer le sommet a du polygone demandé, qui se trouve sur le côté AE,

Qu'on prenne arbitrairement sur AE un point a, et qu'en menant <"<P qui rencontre AB en b, puis 6Q qui rencontre EC en c, etc., on forme ainsi un polygone d'essai abc. . . , dont le dernier côté Te rencontre le côté AE en un point a! différent de a. Ces deux points a, a' forment évidemment deux divisions homographiques dont les points doubles seront les sommets de deux polygones satisfaisant à la question.

Remarque. — On peut diie que le polygone que l'on construit est inscrit au polyj;one donné ABGDE et circonscrit à un second polygone PQRST du même nombi-e de côtés.

318. Etant donnés trois points p, P, Q [fig- 43 ] et deux droites L, L', on demande de faiie passer par les tivis points les côtés d'un triangle ABC qui ait ses deu.K sommets A, B sur les droites L, L' et dont l'angle en C soit égal à ml angle donné.

Soit menée par le point p une droite rencontrant les deux L, L' ana clh; qu'on mène P&, puis Q<i' faisant avec P6 l'angle c égal i l'angle donné. Les deux points a et a' formeront deux divisions homographiques dont chacun des points doubles sera une solution de la question.

QUESTIONS DIVEKSES. 309