QUESTIONS DIVERSES

même (Aê' — AS) sera l'erreur relative à la seconde valeur d'essai i. Désignant ces deux erreurs par s et ;', on aura

C'est k formule connue dans la régie de fausse position.

Remarque. — Il est clair que ce mode de solution s'applique à des équations quelconques du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues, sans qu'il soit nécessaire que cliacune des équations ne contienne, comme ci-dessus, que deux inconnues; car on pourra totijoiirs, par voie d'addition, ramener les équations proposées à ia furnie des précédentes.

II, — Résolution d'une équation du second degré. 322. L'équation du second degré à une seule inconnue

peut se résoudre par les mêmes considérations, c'est-à-dire par la construction des points doubles de deux divisions homographiques. Pour cela, on l'écrira ainsi,

et l'on rej^arderaa^el J^' comme représentant les distances de deux points»!, m' à une origine commune sur une droite indéfinie; l'équation exprimera que ces deux points forment deux divisions homographiques, et les points doubles de ces deux divisions détermineront les racines de l'équation pro- |>o8ée, lesquelles seront les distances des deux points doubles à l'origine. Cette construction conduit à l'expression connue des racines de l'équation ; mais il est inutile de nous arrêter à ces détails.

III. — Résolution de deux équatiom à ileu.i 323. Soient les deux équations

ai2 TIUITE DE GEOMETBIE SUPERIEURE. — CII.IPITRE XV.

Ecrivons dans la seconde x' au lieu de x\ nii aura

(3) ji'+vj +/y + .' = o.

Si l'on regarde J7, ^ , j;' comme les distances de trois points m, m' , m" à une origine commune, \a première équation exprimera que les deux points m, m' appartiennent à deux divisioas liomograplûques, et 1 équation (3) que les deux m' et m" forment aussi deux divisions liomographiques 11 s'ensuit que les divisions formées p 1 d j 1 m

graphiques entre elles, et il est d n q 1 i m d bl d deux divisions détermineront les 1 11m \ f

aux équations proposées; celles d 1 11

Voici comment on appliquera ce dd Ibngm q On donnera à sr, dans la premi j un 1 b ai a

l'on en conclura la valeur corresp d n d j qtu m d 1 d

équation, donnera une valeur a' à P li m au \ b

de X dans la première équation coi p nd 1 6 d n 1 od

équation; et enfin on formera de m ] 1 d 1

c'dea:.

Oa prendra sur une mÉmc dro p ti d A d ^

ments A«, Ak', Aê, AS', Ay, Ay j U m ml

a', b, b', c, c', et l'on cherchera les points doubles e, f des deux divisions homograpbiques déterminées par les deux séries de trois points a, ë, y et a', ë', y'. Les deux segments Ac, A/"seix)nt les racines en x des deux équations proposées.

On pourra déterminer ces deux points doubles par la construction générale (271); maison la simplifie, comme nous avons vu (l(il), en prenant a

et b' infinis, et c ^ ■ Représentons, dans cette hypothèse, a' pary',

b par /, c=i '— par o et c' par o'; les racines cherchées seront

Résolution d'un nombre quelconque d'équations.

32i- Cette méthode s'applique à un nombre quelconque d'équat la forme des précédentes, et c'est dans ce cas surtout qu'elle peut èti

QUESTIONS r

Soient n équations entre n inconnues .r, j, s, (, . . , ", de la forme

Il est évident que, comme dans le cas de deux équations seulement, si l'on regarde les variables x, y, z, ... comme exprimant des segments comptés sur une œâme droite à partir d'une origine commune, chacune desn équations exprimera deux divisions honiographiques. Par conséquent, les valeurs arbitraires données à x dans la première équation et les valeurs qui en résulteront pour x dans la dernière équation détermineront deux divisions homographiques dont les points doubles correspondront aux deux racines en x qui satisfont aux équations.

325. Remarque. — En combinant les équations par voie d'addition, on pourra en remplacer une partie par d'autres, équivalentes, oii les variables seront mêlées et se trouveront plus de deux dans une même équation. La méthode s'appliquera Jl ces nouvelles équations, et, en général, elle s'appliquera à un système d'équations qu'on pourrait ramener, par voie seulement d'addition [et de multiplication par des coefBcients numériques), à la forme des 1 équations précédentes.