CHAPITRE XVI

PROPRIÉTËS RELATIVES A DES SYSTÈMES DE l'OlNTS SITUÉS EN LIGNE DROITE. — APPLICATION A LA DÉCOB POSITION TES FRACTIONS RATIONNELLES LN FHACTIONS SIMPLES.

5 I. — Systèmes de points en 1.

î droite.

326. Les relations entre trois ou quatre points dont nous avons fait si souvent usage ne sont que des cas particuliers de certaines propriétés générales concernant un ou deux systèmes de points en nombre quelconque sur une même droite. Ces propriétés, qu'on peut comprendre toutes dans une même proposition dont la démonstration est très-simple, méritent de trouver place ici, d'autant plus qu'on déduit naturellement de cette seule proposition une théorie algébrique importante, celle de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

i. — Théorèm,

ériil.

327. Etant pi'is sur une même droite n points et {n -— i) points m, n, p, . . ., on a toujours, quelles qi positions de ces points, la relation

ic.od..

i.hn.hp. ..

77bd.. .ba

' soient les

Nous allons prouver que, si cette équation a lieu pour deus systèmes de {« — ■ i) et (/i — a) points, elle sera vraie pour deux systèmes ayant chacun un point de plus.

En effet, si l'équation proposée n'est pas identique quels que soient les n points a, i, ... et les (w — i) points m, n, . . . , on peut regarder tous ces points comme fixes, à l'exception d'un seul

SYSTEMES DE POINTS SUR UNE DROITE. 2l5

qu'on déterminera de manière que l'éqiiation soit satisfaite. Supposons que ic point inconnu appartienne au second système et soit le point m ; sa détermination se fera évidemment par une équation du premier degré, parce que ce point n'entre que dans un seul segment de chaque terme; par conséquent, il ne pourra exister qu'une position du point m. Cependant, si l'on fait coïncider ce point avec l'on quelconque de ceux du premier système, on satisfait à Téquation ; car, si c'est avec le point a, par exemple, elle devient

bn.bp. .

et celle équation entre deux systèmes de (/( — - i} et (/; — ■i) points est identique par hypothèse. Donc l'équation proposée a lieu pour plusieurs positions du point m ; donc elle est identique.

Ainsi il est prouvé que, si le théorème est vrai pour deux systèmes de [n — -i) et (« — 2) points, ill'esl aussi pour deux systèmes contenant chacun un point de plus. Or il est vrai pour deux points a, b et un point m, car on a

Donc il est vrai pour trois points «, h, c et deux m, n, et par conséquent pour quatre points a, b, c, d et trois m, n, p. Et ainsi de suite.

autrement. Si l'on regarde tous les points des deux systèmes, moins le premier a Aa premier système, comme fixes, et qu'on cherche à déterminer celui-là de manière à satisfaire à l'équation, on trouve que sa position dépend d'une équation du degré [n — 2), laquelle aurait cependant (n — ^i) racines qui correspondraient aux posilions h, c. . • . du point indéterminé a ; ce qui prouve que l'équalion est identique.