II. — Corollaires

328. Si dans l'identité (i) on suppose l'un des points du second système, Icpointi^ par exemple, situé à l'infini, et qu'on divise tous les termes par le segment a<j, le premier terme ne contiendra plus le point y et les termes suivants ne le contiendront que dans les

rapporis — ? — ) ■■ ■) qui deviennent tous égaux à l'unité; enfin le second membre — sera nul. On aura donc l'équaiion

ab.ac. . bc.bd. .. ' '"

entre ?i points a, b, ... et [/i — 2) points m, n, . . ■ .

Dans celte équation, on peut supposer que l'un des points m, n,. . . soit situé à l'infini, el l'on en conclut par le même raisonnement que l'équation a lieu entre n points «, S, ... et (/i — 3) points m, n, . . ., et ainsi de suite, de sorte qu'on a ce théorème général :

Etant pris sur une droite un système de n points a, b, c, . . . et un second système de points m, n, . . . en nombre inférieur à (n — i), on a toujours entre ces points, quelles que soient leurs positions, l'identité

329. Puisqu'un point du second système, supposé à l'infini, dis parait de l'équation, on peut faire disparaître tous les points successivement, et l'on arrive à ce tliéorème :

Etant donné un système de points a, li, c, . . . en ligne droite on a toujours entre eux la relation

bc.bd. ..bu

Ces propositions, déduites ici du tïiéorème primitif, se démontrent aussi directement par les mêmes considérations.

330. Réciproquement : De l'équation (a) entre n points a, b, . . . et deux points de moins, m, n, . . . , on peut remonter à l'équation ( i ), relative à deux systèmes dont le second n'a qu'un point de moins que le premier.

En effet, prenons cinq points a, b, c, d, e et trois points m,n,p\