DE POINTS SUR
ab.c
■n.ap
i.eb.t
Qu'on multiplie tous les termes par de et qu'on suppose le point e
, les rapports et l'équalion devient
ab..
dm .du .dp da.db . de
équation entre quatre points «, b, c, d cl trois points >n, n, p] ce qui démontre le théorème (327).
Ainsi, on peut dire que le théorème (328) a la même portée que celui d'où nous l'avons déduit.
]II. — Autres conséquences du théorème général.
331. Dans tontes (es équations précédentes, on peut supposer que deux ou plusieurs points du second système m, n, ... coïncident ensemble. Il s'ensuit que, en ne considérant qu'un seul point m, on a ce théorème :
Étant donnés n points a, b, c, . . . en ligne droite et étant pris sur cette droite un point quelconque m, on a les équations
ab .ac.ad. . . ' bc.bd. . .ba î pouvant prendre toutes les valeurs i, 2,-.., [n — i).
332. Quand les nombres [n — i) et («— i^e) sont pairs, le point m peut être pris au dehors de la droite sur laquelle sont les points a, b, c, . . . , et les équations subsistent.
En effet, soient (« — \)=2V,am ^ am := [am ) . Appelons m, le pied de ia perpendiculaire abaissée du point m sur la
2l8 TRAITÉ DE GBOMÉTRTi; SIJPERIEÏÏRB.
droite flè ; on a
Or, le point nif étant sur la droite ah, le premier terme du second membre est égal à l'unité et tous les termes suivants sont nuls (331); le premier membre est donc égal à l'unité, c'est-àdire tjue :
Htant donné un nombre impair (av -r- i) de points a, b, e, , . . en ligne droite, et étant pris un point quelconque m sur la droite ou au dehors^ indifféremment, on a toujours l'équation
ab.ac.ad. . . ' bc.bd. . .ba '
333. On démontre de même que, quand (« — i — s) est un nombre pair dans la seconde partie de la proposition (331), l'équation subsiste, c'est-à-dire que ;
Etant donnés n points a, b, c, . . . en ligne droite et un point m r/uelcont/ue sur cette droite ou au dehors, si 2V est un nombre pair plus petit que {n — i)., on, aura toujours
ab.ac.ad.. ." "*" bc.bd., .ba ''' ' °'
334. Si dans le ibéorème (332) ar -i- i 7= 3, il en résulte l'équation suivante entre trois points a, b, c en ligne droite et un quatrième point quelconque ;
5 BE POINTS Sl'B UNE DROITE.
C'est cette relation que nous avons déduite comme cas particulier d'une proposition (220) relative à trois couples de poinls et à un septième, placés d'une manière quelconque en ligne droite ( ' ).
- Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
335. Les tlie'orèmes précédents, que nous avons déduits tous d'un seul, peuvent prendre diverses formes analytiques, qui donnent, entre autres, les formules connues dans la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
Considérons, sur une même droite, un système de [m -i- i) points a, b, a système de ni points m, n, /j, ... ; on aura, d'après le théo-
rème général (327), l'identité
Désignons par les mêmes lettres, respectivement, les distances de tous les points des deux systèmes à une origine commune; l'équation deviendra l'identité suivante entre les deux systèmes de quantités quelconques a, b.
(' J Cette propriété de quatre points en tiBne droite a été connue des anciens; elle fait parlio des lemmes da Pappus qui se rapportent aux deui Livres des Lieux plans d'Apollonius (voir prop. 125 et i'26 du septième Livre des Collections mmkëmatiqaes de Pappns]. Quelques outres lemmes concernant le triangle peuvent se rattacher au cas de trois points pris sur une même droite et un quatrième pris au debors : toutefois on n'y voit pas la proposition dans son énoncé général. Mais elle pouvait se trouver dans l'Ouvrage d'Apollonius : il est il remarquer que K. Sirason, en rétablissant ces deux Livres des Lieux plans, a ajouté cette proposition aux lemmesde Pappus et s'en est servi. {Jpollomî Pergisi Locorrim plaiiorum Li6ii 11. GlasBiiS, 1749, in.4".)
En citant dans V Aperçu historique (p. 175) les auteurs qui ont fait usage de cette proposition, le nom de Carnot nous a échappé. Non-seulement ce géomètre démontre le théorème dans sa Géométrie de position, mais il le signale comme Tondamenlal (-Loirp. 363 et Z<ji). M. T. -S. Davies, le savant professeur de l'Académie royale militaire de Woolwich, l'a démontre aussi, en citant la Géométrie de position, dans le second Volume de son édition du Cours de Mathématiques du D' Hutton (1S41- 1843), édition qui se distingue des onze précédentes par de nombreuses additions dont plusieurs se rapportent aux méthodes de la Géométrie moderne.
TRAIIÉ DE GÉOMÉTBIE SUPÉRIEVRE. — CHAPITRE X
(o-i|(o-»)lo-i).,.l«-.,l "" (»-»)(i-4)(,-„)...
Supposons que les quanlités du premier système tr, 6, c, . . . , m( dernière ar, soient les racines d'une équation F[.r)=:o, et que m,n, j soient aussi les racines d'nneequaliony(j?] := o, de sorte qn'on ait
L'équation devient
A ?(<■) , A rCI A ,[»)^
Dans cette formule, F(3^] et^i(a;) sont deux polynômes du même degré; si y(jr] est d'un degré quelconque inférieur à celui du dénominateur F( j^), le coefficient k est nul, et il vient
C'est la formule connue pour la décomposition d'une fraction rationnelle :n fractions simples.
33(3. Le théorème général d'où nous venons de déduire ces formules e; iisceptible d'une autre interprétation analytique.
Prenons l'équation (i) entre m points a, b, c, . . . et [m — \] points m, n-i p, . . . , et représentons par les mêmes lettres, respectivement, les distances de ces points à une origine commnne ; l'équation devient
Supposons, comme précédemment, que «, S, c, ... soient les racines d'une équation F(a:) = o du degré m, et m, ", . . . les racines d'une équation ff[a^) ^^o d'un degré moindre d'une unité ; on aura
F(.r)=rAaT"' -s- Bj^'"-' ^ . - . =A(j: — «](.r — &]...,
ei l'équation devient
Si l'on suppose S ^ o, auquel cas la fonction y {^) est d'un degré quelconque inférieur à (m — i), il vient
C'est la formule d'Euler, Elle répond à l'équation ( 2, 328) entre deux systèmes de points. On y peut supposer que f{^] soit du degré o, et l'on en conclut
Z;F'io)
337. Ces considérations, par lesquelles on rattache ces formules d'Analyse à une même proposition de Géométrie dont elles sont des expressions
aaa TRAITE DE GEOMETIIIE SUPERIEURE. — C
difTéi'eiites, mniitrent qu'à part la dernière, <]iii e fonctioD, elles ont toutes la même étendue, et que l'on peut passer de l'une à l'autre iadifféremment. Et en effet on passe, comme on sait, très-facilement de l'équation {c) a l'équation [/>] {').
III. — Jutres formules dans lesquelles f{3:] est d'un degré supérieur à celui de 7 [.T.].
