Soient les deux polynômes

Oii veut décomposer le rapport t^j—-. en fractions dont les dén o minât eu f

soient tous du premier degré.

Que l'on conçoive un premier système de (m -i- t ) points a,b, . . . , ^'. . et un second système de m points m, «,...; on aura la relation

et par conséquent, en regardant a, li, . . . . x' , x et m, ii, . quantités.

Supposons que «, /',... soient les [m — i) racines de l'équation F(j;):=o et m, n, p, . . . celles de l'équation f [-r] ■= o ; l'équation précédente deviendra

B fi."] , , B »(.«') , B ^W

{') Voir, par esemple, le Journal de Mailiémailques Je M. Lioiiville, l.XI,p.^Cïi

SYSTÈMES DE POINTS St'B VNE DROITE. 2a3

rM'H''}^^ ' 'Lu Z(".-*')(«--)F'(«)J'

Cette formule satisfait à la (luestion ; x' est un nombre arbitJ-aire. Si l'on suppose a-' = o, il vient

339. Si f{x] ostdu<logré(m — i), corameF(.r), a sera nul ctl'éqitalion ,c icdiiit à

F(ij r(o)* ■Z«(.»-«)F'(-)'

Or, d'.iprès lu formule («), ou .-i

B+Z(«-«)F(») Flo)^ L"

St(°) / ■■■Aylo) e (^-«)F'(„jV' ;j-F(o) B

Z,»F'(«) B Fio)'

tiens dont les dénominateurs soient du premier degré.

Concevons (m + i] points a, b, . . ., x", x' , x at m points m, n, . aura l'identité

x'x.x'a.x'b.-.x'x" xa.xb...x.

224 TUAITIi DE GEOMETRIE SUPERlEtRE. — CHAPITRE S

et par coiiséqueni, en désignant par les mêmes lettres a, h et m, «, . . . les distances de ces pointa ii une orif

Supposons que les quantités du premier système a, b, . . ., moins j:", a;' et x, soient les ruci nés de l'équation F( j;) := o et que les quantités du. second système m, ?(,.. . soient les racines deTéquation jj(a;) ^ o; on aura

F(^;=Cj:'"-'4-D^"'-^H- ... r=C (.7.- — -))(.>• — i).. ,, et l'équation devient

c fM j ^5 t(»')

Cette formule satisfait à la question. Les deuï constantes a;', j:" sont arlii-

On voit comment on opérera danslecasoù, ^[j:] restant du degré™, F{x serait du degré [in — 3), ou (m — 4 ■■ ■ ■ ■ ■ I^ous n'avons pas besoin de fain

STSTâMES SE POINTS SUR DNE DROITE. 3^5

remarquer (ju'il entre toujours dans le développement de

ri')

autant de quantités arbitraires a'', x", . . . qu'il y a d'unilés dans lu diflérence des degrés des deux polynômes ï[^) et F(-'')-