CHAPITRE XVII

DIVERS mOlJES DE UliSClilPTlON !) UKE BHOIIK PAB POINTS. — SÏSTÈUE DU DROITES PASSANT TOUTES PAR UN HEhe point.

g I. — Description d'une droite par points.

341, Le th c or c me relatif à deux faisceaux homographiques qui ont deux rayons homologues coïncidents (110), et la propriété de deux divisions tiomograpLiques faites sur deux droites dont le point de rencontre est la réunion de deux points homologues (108), donnent lieu à diverses propositions intéressantes ; et quoique plusieurs soient connues et fort anciennes, nous allons les reproduire ici, à raison de l'extrême facilité avec laquelle elles dérivent naturellement des théories précédentes.

342. Etant donnés un angle et deux points O, O' en ligne droite avec son somtnet, «', autour d'un point Jîxe p on fait tourner une transversale <jiii rencontre les côtés de l'angle en a et a', le point de concours m des deux droites Oa, O'a' engendrera une droite (fig.44)'

En effet, les points a, «'forment sur les deux droites SA, SA' deux divisions homographiques (107); les rayons Oa, O'o' forment donc deux faisceaux homographiques. Mais le point S est la réunion de deux points de division homologues; les deux faisceaux ont donc deux rayons homologues coïncidents suivant la droite 00'. Donc leurs rayons homologues se coupent deux à deux sur une droite (HO). c. q. f. d.

Remarque. — ■ La droite lieu du point m passe par le point n, intersection de SA et pO', et par le point ^, intersection de SA' et pO; il en résulte que la figure présente un hexagone pOa&t/O' inscrit aux deux droites paa' et OSO' et dont les trois points de concours des côtés opposés sont m, n, p. Or, d'après le théo-

DESCRIPTION D UNE nKOITE PAR POINTS. I.n.-j

vkiaB, ces trois points sont en ligne droite; on retrouve donc la propriété de l'hexagone inscrit à deux droites, déjà démontrée directement (Hi) {' ).

343. Si autour d'un point Jixe p on fait tourner une Vansversale ejui rencontre deux droites jixes en deux points a, a', et que de deux autres points fixes P, P', en ligne droite avec le premier, on mène des rayons à ces deux points respectivement, le point d'intersection de ces deux rayons décrira une ligne droite passant par le point de concours des deux droites fixes.

En effet, les deux points o, a' {fig- 4^) marquent sur les deux droites deux divisions homographiques (107); par conséquent les deux rayons P«, Va' forment deux faisceaux horaographiques. Ces deux faisceaux ont deuxrayons coïncidenls suivant la droite PP'. Donc leur point d'intersection décrit une ligne droite (HO); et cette droite passe par le point d'intersection des deux SA, SA', parce que deux rayons homologues passent par ce point.

Remarque. — ■ Les deux rayons Prt, Va' rencontrent les deux droites SA', SA respectivement en deux points a, a*, et la droite a.c^ tourne autour d'un point Jlxe R situé su?' la droite pPP' ; car ces deux points forment deux divisions ho m o graphique s dans lesquelles le point S représente deux points homologues coïncidents (107). Conséquemment, les droites ota! concourent en un même point (108); et ce point est sur la droite pPV, parce que cette droite est elle-même une des positions de la ligne xa'.

344. On peut considérer que les trois droites qui tournent autour des trois points fixes p, P, V forment un ti-iangle aina' dont les deux sommets a, a' glissent sur deux droites fixes ; le troisième nt décrit aussi une droite. Sous ce point de vue, le théorème s'étend à un polygone d'un nombre quelconque de côtés, ainsi qu'il suit :

Etant donné un polygone de n côtés, si on le déforme en fai-

(') Co théorème, soua un énoncé différent, se trouve dans les Collections mathimaHV^dePappuaCliv. Vit, prop. 138, 130, 141,143), au nombre dea lemuies qui so rapportent aux porismea d'Euclîde. Cette remarque est due à Poncelot. (Voir Traité, des Propriétés projectives des figures, p. 90.)

aaS Tn.iiTÉ de gbouétrib supÉRiErBB.

sant tourne/- tous ses côtés autour d'autant de pôles situés en ligne droite, de manière <jue tous ses sommets, moins un, glissent sur des droites fixes, i° le dernier sommet décrira une ligne droite', et 2° le point de concoujs de deux côtés quelconques non contigus décrira aussi une droite.

Soient a, d, ce', ..., a,, (fig- 4fJ) 'es n sommets du polygone dont les n côtés «„ a, ad, . . . tournent autour de n pôles fixes P, P', P", . . . situés en ligne droite, tandis que ses [n— i) premiers sommets a, d, .. . glissent sur (h — 1 ) droites A, A', ... ; je dis que le dernier sommet «n décrit une ligne droite, et que îe point de concours de deus côtés quelconques, tels que ad et d' d" , décrit aussi une ligne droite.

En effet, deux côtés consécutifs, tels que ad et dd' , qui tournent autour de deux points fixes P, P*, forment deux faisceaux homographiques, puisque leur point d'intersection glisse sur la droite A'; et dans ces deux faisceaux la droite PP" est un rajon commun (109). Pareillement, le côté suivant d'd" forme autour du point P" un faisceau homographique à celui formé autour du point P' et, par conséquent, à celui formé autour du point P; et ainsi successivement des faisceaux formés parles côtés suivants. De sorte que deux côtés quelconques forment, en tournant autour de leurs deux pôles fixes, deux faisceaux homographiques dans lesquels la droite PP*?"... est un rayon commun. Donc l'intersection de ces deux côtés décrit une ligne droite. Ce qui démontre les deux, parties du théorème ( ' ).

§ n. — Propositions dans lesquelles on considère des droites concourantes en un même point.

34o. Étant donné un angle KS?!^ [fig. Aj), si, autour de deux points fixes O, O', en ligne d/'oite avec son sommet, on/ait tourner

{') Ce théorème a été

: connu des !

mciena-er

once dans le septième

Li-vre des Colleaiom m,

de Pappii

s, au sujet d

u Trinité des porismes

d'Euclido. Il paraît qua c

a Traité conl

enait seule

ruant la cas du

triangle, car Pappus,

après moir énoncé le ca

s Bénéral d'u

11 pelygoni

: quelconque,

ajoute : . Il n'est pas

vraisemblable ijn'Euclida

ait iguoré ci

itte estansi

ou, mais il au

ra voulu seulement en

poser les principes, cnr

on raeonnai

t dans Ion

s sas porismes

qu'il n'a en vue que

de rèpandredeB principes elle geri

ne d'une k

lula de propositions utiles et impor-

luiUe5. . (Voir TiaiCt: <à

•î prnpriétÉs ,

pr.je.n..s,

l'N MEME POINT. aag

deux rayons dont le point de concours m glisse sur une droite Jixe L, la droite qui joindra les points de rencontre a, a' des deiuc côtés de l'angle par ces deux rayons, /-espectifement, passera toujours par un même point Jixe.

En effet, les deux droites O m, (y m forment deux faisceaux homographiques dont deux rayons homologues coïncident suivant 00' ( 109 ) ; par conséquent, les deux points a, a' marquent sur les deux droites SA, SA' deux divisions homographiques qui ont deux points homologues coïncidents en S ; et, par suite, les droites aa' vont concourir en un même point (108). c. q. f, d.

Remarque. ■ — ■ Ce théorème aurait pu se conclure immédiatement de ia proposition (342) dont il est la réciproque (').

3i6. Si les trois sommets d' un triangle glissent sur trois droites fixes concourantes en un même point, tandis que deux de ses côtés tournent autour de deux points fixes, le troisième côté tournera autour d'un troisième point Jixe en ligne droite avec les deux premiers.

Soit aa'a" {Jig- 4^) le triangle dont les trois sommets glissent sur les trois droites SA, SA', SA", pendant que ses deux côtés aa', aa" tournent autour de deux points fixes P, P'; je dis que le Iroisièroe côté a'a" passe toujours par un même point situé sur la droite PF.

En effet, les deux droites Pa, Va forment deux faisceaux homographiques, puisqu'elles se coupent sur la droite SA. Donc les points a', a" qu'elles marquent sur les deux droites SA', SA" forment deux divisions homographiques, 11 est évident que le

(' ) Ces deui propositions ont leurs analogues dans l'espace, dont voici l'énoncé :

Éiaiii donnés, dans l'espace, un triangle et on angle triidre ayant son sommet situé

dans le plan de celle figure, si de chaque point d'un plan fixe on mène tiois plans

passant par les trois cStés du triangle, lesquels rencontreront respectivement les trois

Et réciproquement : Si autour d'un point fixe on fait tourner mt plan transversal qui rencontre les trois arêtes de l'angle triè/lre eu trois points, et que par ces points ou mène trois plans passant respectivement par les côtés du triangle, le point d'iuter-

a3o TRlITà DE GliOiiÉTRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE XVll.

point s est la réunion de deux points homologues de ces deux divisions. Donc la droile «'a" passe par un point fixe (108). Ce point est situé sur la droite PP*, parce que cette droite est une des positions de la droite o'n". Le théorème est donc démontré.

Remarque. — Ce théorème peut être considéré comme la réciproque du théorème (343), et s'en conclure sans une nouvelle démonstration. Il s'étend à un polygone d'un nombre quelconque de côtés, comme il suit.

347. Etant donné un poljgoue de a côtés, si on le déforme en faisant glisser ses a sommets stu' des droites concourantes en uji même point, tandis que ( n — i ) de ses côtés tournent autour de (n — i) points fixes pris arbitrairement, le n'*^'"^ côté du polygone tournera autour d'un point fixe, ainsi que chacune de ses dia-

Soit add' d" . . . {fig. 49) 1^ polygone dont les sommets a, d, a", . . . glissent sur des droites A, A', A", , . . toutes concourantes eo un même point S, pendant que ses (k — -i) côtés ad, da", d'à'", . . . tournent autour des points P, F, P", ... pris arbitrairement. Je dis que le dernier côté aa„ passera toujours par un même point, et qu'il en est de même de chacune des diagonales telles que dd". ....

En effet, deux points contigus d, a" marquent sur deux droites SA', SA" deux divisions homographiques dont le point S est un point commun, puisque le côté a'a" tourne autour d'un point P' ( 107). Pareillement, le point suivant a'" marque sur la droite SA'" une division qui est homographique à la division marquée sur A", et, par conséquent, à celle marquée sur la droite A'; et ainsi de suite. Donc deux sommets quelconques forment surles deux droites qu'ils parcourent deux divisions homographiques qui ont un point commun en S, point de concours de ces droites. Donc la droite qui joint ces deux sommets tourne autour d'un point fixe; ce qui démontre les deux parties du théorème.

V QTIADRILATERi;.