CHAPITRE XVIII

RiÉTÉs DU quadhilàière relatives a

ET A LA DIVISION harmonique.

3i8. Toute transveisale menée dans la plan d'un quadrilatère rencontre ses quatre côtés et ses deux diagonales en six points qui sont en inyolution.

Soit ABGD le quadrilatère [fig- 5o). Une transversale L rencontre en a et i/les deux côtés opposés AB, CD; en h et h' les deux autres côtés AD, BC ; et en c et c' les deux diagonales AC, BD. Les six points a, a'\ b, h' et e, d , conjugues deux à deux sont en involution.

En effet, les quatre droites issues du sommet A, savoir AB, AC, AD et A c' rencontrent la diagonale BD aux mêmes points que les quatre droites issues du sommet C, CB, CA, CD et Ce'. Le rapport anharmonique des quatre premières est donc égal à celui des quatre autres. Conséquemment le rapport anharmonique des quatre points a, c, b, c' , dans lesquels les quatre premières droites rencontrent la transversale L, est égal à celui des quatre points h', c, a', d, dans lesquels les quatre autres droites rencontrent la même transversale.

On peut changer l'ordre de ces quatre derniers points et écrire a', c', V , c (44), Or ces quatre points, comparés aux quatre premiers «, c, h, d, un à un respectivement, donnent les trois systèmes a, a'; b, b' et c, c. El puisque le rapport anharmooique des quatre points a, b, c, d est égal à celui des quatre points correspondants «', b' , c', c, on en conclut que ces trois systèmes de deux points», fl'; h, i' et c, o' forment une involution (188).

aSa TRAITE DE GEOMETRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE XVIIl.

349. CoKSTIlT!CTIo^ Dxi sixiJsME POiiiT o'iiHE invoLUTios. — Le théorème (3-i8) peut servir pour déterminer par de simples intersections de lignes droites le sisième point formant, avec cinq points donnés, une involution. En effet, soient b, b' ; c, c' deux couples de points conjugués, et a le cinquième point dont il s'agit de trouver le conjugué a*. On mène par le point a une droite indéfinie sur laquelle on prend arbitrairement deux points A, B. Les droites AS, Ac rencontrent, respectivement, les droites Bi/, Bô' en deux points D, C ; et la droite CD détermine le point a' .

350. Dans tout quadrilatère, les deux diagonales divisent harmoniquement la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Cette proposition est une conséquence du théorème précédent ; il suffit de prendre pour la transversale L la droite qui joint les points de concours des côtés opposés; chacun de ces deux points est dans l'involution un point double. Ils divisent donc harmoniqucment le segment compris entre les deux diagonales. Du reste, la démonstration du théorème général s'applique d'ellemême à ce cas particulier.

Observation. — On peut dire aussi qu'une diagonale est divisée harmoniquemenl par l'autre diagonale et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

35L Comsthuctiob dv quatiiiême harmonique a trois points DONNÉS. — La proposition précédente peut servir pour trouver, par de simples intersections de lignes droites, le quatrième harmonique à trois points donnés. Ainsi E, F et /( f^g- 5i) étant les trois points donnés, on veut déterminer le point g conjugué harmonique de li par rapport aux deux E, F. On mène par les points E, F deux droites quelconques EC, FC; par le point /( une transversale qui rencontre ces deux droites en D etB; puis les deux diagonales FD, £B qui se eoupeni en A ; et cniin la droite CA qui détermine le point g {']■

(') La théorie des sections coniques nous oflrEra différentes a cunsiruire le quatrième point d'une proportion harmonique.

I cr\nRiL\TERE, 233

352, Les six droites menées d'un même point aux quatre sommets et aiLX points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère forment un faisceau en involution.

Soient ABCD le quadrilatère [fig. 02); E, F les points de concours de ses côtés opposés; O le point d'où l'on mène les six droites OA, OB, .... La droite OE rencontre les deux côtés opposés AD, BC en deuit points e, e'; de sorte qu'on a sur ces côtés deux séries de quatre points A, D, e, F et B, C, e', F dont les rapports anharnioniques sont égaux, puisque les trois droites AB, DC, ecf concourent au même point E. Il s'ensuit que les quatre droites OA, OD, OE, OF ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites OB, OG, OE, OF. On peut changer l'ordre de celles-ci et écrire OC, OB, OF, OE (49), de manière que les quatre droites OA, OD, OE, OF correspondent une à une, respectivement, aux quatre OC, OB, OF, OE. Alors on a les trois systèmes de deux droites conjuguées OA, OC ; OD, OB et OE, OF qui sont telles, que quatre droites appartenant aux trois systèmes ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites conjuguées. Donc les six droites forment une involution (230).

autrement. La proposition se peut conclure directement du théorème (S^S); el réciproquement.

En effet, les deux droites OA, OB donnent lieu au quadrilatère OAFB dont les deux diagonales sont OF, AB. La droite DC coupe les quatre côtés et les deux diagonales de ee quadrilatère en six points qui sont en involution (348). Donc les six droites OA, OC; OB, OD et OE, OF, qui passent par ces six points, sont ellesinvolution. c. o. F. p.

353. CoROLLAiKE. — Le poinlO peutêtreà l'infini; alors les six droites menées par les sommets et les points de concours des côtés opposés du quadrilatère sont parallèles, mais elles rencontrent toujours une même droite en six points en involution. Nous dirons donc que : Les projections des quatre sommets et des deux points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère^ sur une droite, sont six points en involution.

234 Tn,\irÉ de géométbie supéhieobe. — cn.iPiTBE xviii.

354. Supposons que le point par lequel on mène des droites aux sommets el ans points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère soit un des points d'intersection des deux circonférences de cercle décrites sur les deux diagonales, comme diamètres ; les droites menées de ce point à chaque couple de sommets opposés seront rectangulaires ; il s'ensuit que les deux autres droites de l'involution seront aussi rectangulaires (253), et, par conséquent, que la circonférence décrite sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés, comme diamètre, passera par les mêmes points que les deux autres circonférences. On a donc ce théorème :

Les trois circonférences de cercle tjui ont. pour diamètres les diagonales et la droite e/ui joint les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère, ont, toutes trois, les mêmes points d'intersection.

Et, par conséquent;

Les points milieux des deux diagonales d' un //uadrilatère et le milieu de la droite ijui joint les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite.

Ce second théorème sera démontré plus loin d'une manière plus directe, et comme cas particulier d'une autre proposition (3S8).

355. Dans tout tjuadrilatère, les deux diagonales et les droites menées de leur point de rencontre aux points de concours des côtés opposés forment un faisceau harmonique.

Cette proposition résulte, comme cas particulier, du théorème général (352), et se démontre aussi directement de la même manière.

On peut encore la conclure du théorème (350). Car, puisque les deux points g, h [fig- 5i) divisent harmoniquement le segment EF, les deux droites ig, ih sont conjuguées harmonique s par rapport aux deux droites j'E, tF; ce qui exprime le théorème.

356. Etant pris arbitrairement un point P dans le plan d'un quadrilatère, les polaires de ce point relatives aux trois angles

PROPRIETES DU QUADKIHTÉBE. 235

dont l'un est formé par deux côtés opposés du tfuadrilatère, le second pai- les deux autres côtés opposés, et le troisième par les deux diagonales, ces trois droites, dis-je, passent par un même point P.

Nous appelons polaire d'un point P, relaLive à un angle, la droite conjuguée harmonique de celle qui joint le point P au sommet de l'angle, par rapport aux deux côtés de cet angle (83).

Soient ABCD {Jîg- Sa l>is) le quadrilatère, et P'ile point de rencontre des polaires du point P relatives aux deux angles AEB, AFD formés respectivement par les deux couples de côtés opposés. Je dis que la polaire relative à l'angle DGC des deux diagonales passe par ce point P'. En effet, la droite PP' rencontre les quatre côtés et les deux diagonales du quadrilatère en six points qui sont enînvoIution(3'48). Or les deux points P, P' sont conjugués harmoniques par rapport aux deux poîn ts appartenant aux deux premiers côtés opposés, et par rapport aux deux points appartenant aux deux autres côtés opposés, puisque P' est en même temps sur les deux premières polaires. Donc les deux points P, P' sont les points doubles de l'involution (211); donc ils divisent harmoniqueraent le segment compris sur la transversale entre les deux diagonales ; donc le point P' appartient à la polaire du point P relative à ces deux diagonales. Le théorème est donc démontré.

357. CoTioi.i.AiRE- — Si le point P est à l'infini sur une droite menée arbitrairement dans le plan du quadrilatère, sa polaire par rapport à deux côtés opposés passera par le milieu du segment intercepté sur cette droite entre les deux côtés (84) ; on en conclut ce théorème :

Une transversale étant tracée dans le plan d'un (juadrilatère, la droite menée du point de concours de deux côtés opposés au point milieu du segment intercepté sur la trajtsversale entre ces deux côtés ; la droite menée semblablement du point de concours des deux autres côtés au point milieu du segment compris sur la transversale entre ces deux côtés; et enfin la droite menée du point de rencontre des deux diagonales au point milieu du segment compj'is entre ces deux droites; ces trois di'oites, dis-je, passent par un même point.

- CHAPITRE XVIH.

358. Etant donné un quadrilatère, si l'on mène une tranwejsalu qui rencontre ses deux diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés, et qu'on prenne sur ces trois droites les points qui, awec la transversale, les divisent harmoniquement, ces points seront en ligne droite.

Soient g, h, i [fig- 53) les trois points provenant de l'intersection des deux diagonales AC, BD et de la droite EF par une transversale L; eL soient g', h', i' les conjugués harmoniques de ces trois points par rapport aux trois droites AC, BD, EF, respectivemenl. Je dis que les trois points ^, h', i' sont en ligne droite. En effet, soit O le point de rencontre de la droite ^k' et de la droite L ; les droiies menées de ce point aux quatre sommets et aux deux points de concours des eôtés opposés du quadrilatère sont en învolution (3S2). Or les deux droites O^, Og' sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux OA, OC, parce que les points g et ^ divisent harmoniquement la diagonale AC ; elles le sont aussi par rapport aux deux OB, OD, par une raison semblable. Donc elles le sont aussi par rapport aux deux autres droites de l'involution, OE, OF (251). Mais la première passe par le point i; donc la seconde passe par le point i'. Ce qui démontre le théorème.

CoKOLiAittE. — ■ Si la droite L est à l'infini, les points g', h', i' seront les milieux des droites AC, BD, EF ; par conséquent : Dans tout quadrilatère, les points milieux des deux diagonales et de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés sont trois points en ligne droite.

C'est le théorème déjà démontré par d'autres considérations (354).

359. Dans un quadrilatère, on peut considérer les deux couples de sommets opposés et les deux points de concours des côtés opposés comme/ormant trois couples de points en involution.

Il existe, entre ces six points, les relations à six et à huit seg-