AB = AC^-BC

AB -: AC i^ — BC ?- f232).

yGoosle

Cette équation résulte de la formule entre quatre points a, a , i>, U et un point double e :

Pour appliquer cette relation au quadrilatère, il suffit de faire la projection par des di-oites parallèles à Ce, de manière à avoir un point double en projection.

BA B/J ■bh

ko ^C ■ iG

On tire la première de ces deux équations de celle qui précède, en observant que, !a diagonale B5 étant divisée harmoniquement en G et e (350), on a

et la seconde équation résidte immédiatement de la première.

VII. Désignant les distances des six sommets et points de concours du quadrilatère à une droite fixe M par (A, M), (a, M), .... et appelant a, 6, y les points milieux des deux diagonales An, B J et de la droite Ce, on a la relation

(A,M)[«,M)e7 + (B,M)[t,M)vHH- (C,M) (c,M]«S = o.

En effet, si l'on projette la figure sur une droite perpendiculaire à la transversale M, les distances ou perpendiculaires (A, M), . . . conservent les mêmes grandeurs en projection, et les segments Sy, 'j</,, «S sont proportionnels à leurs projections, parce que les trois points a, 6, 7 sont en ligne droite (358, Coroll.); de sorte qu'on retrouve la relation d'involution dans laquelle entre un point arbitraire (i, 221); et, par conséquent, de cette relation se conclut la proposition actuelle.

PROPRIÉTÉS DU QUADRILATÈRE. s.'irf

VIII. Corollaire. — Si la droite M passe par le sommet A, le rapport des distances des deux points B et (,' à cette droite est égal

au rapport— 1 et de même le rapport des distances des deux

Ah points b et C à la même droite est égal à -— . î de sorte tjue réLpia-

lion se réduit à

'aC.Ac ~^'

IX. Soit une droite fixe N; désignant par a,, 6,, ^i les trois points qui, avec cette droite, divisent harmoniquement les deux diagonales A«, BA et la droite Ce respectivement, et appelant n le point d'intersection de la droite «, Ê) y, (358) par la droite N, 0» a la relation

^ai-"'^-\ 7iKi-"§i "iSi-nvi

(A,N)(<i,H)"^(B,N)(6,ïï) (C,K)(c,N)' '

Cette équation dérive de la première équation du n" 233, de même que la précédente de l'équation (i) (221).

X. Les deux théorèmes précédents peuvent être considérés comme des cas particuliers d'une môme proposition générale concernant les distances des sommets et des points de concours du quadrilatère à deux droites fixes M et N. On a, c|uellcs que soient ces deux droites,

(A.M)(».M), (B,M)(t.Ml

■(À,n)(«,isf°'''' ' (B.NJIS,»)" '■ '

car cette équation résulte naturellement de la formule (252) relative à un faisceau de six droites en involution.

XI, a, 6, y étant les milieux des deux diagonales An, Bà et de la droite Ce, on a la relation

a a .6y + Ê6 ,y« -|- ■j'C .aS -f- aê.ê^ . yx ^^ O.

En effet, si l'on projette orthogonalement la figure sur une

24o TRAITE DE GEOMETRIE SUPERIEVHE. — CHAPITRE SVIII.

droite X, un a six points en involution (353), et, en appliquant le théorème (228), on en conclut l'cqnalion

+ 7;;Uos=("/c,x)«e + »e.Êy,^^«.cos=[«s,x)..o.

Pour une autre droite X' on a une relation semblable; et, en supposant les deux droites rectangulaires, on conclut des deux équations, ajoutées membre à membre, celle qu'il s'agit de démontrer.

Remarque. — Cette équation prouve (d'après 228) que les circonférences décrites sur les trois droites Aa, Bè cl Ce comme diamètres ont le même axe radical (209).

XII, Les trois droites A«, Bè, Ce étant coupées en v, ■/, ■/' par une transversale N, on a la relation

dans laquelle Cf, 6), yt et « ont la même signification que dans le théorème IX.

En effet, par une projection de la iigure sur une droite perpendiculaire à la droite N, cette relation se change en une propriété de six points en involution (228, Coroil. II).

360. Dans tout ijuadrilal.ère , les deux couples do côtés opposés et les deux diagonales forment trois couples de droites qui donnent lieu, relativement aux angles quelles font entre elles, à toutes les relations d'involution d'un faisceau de six droites.

En elTet, si l'on conçoit une transversale menée arbitrairement, elle rencontrera les quatre côtés et les deiix diagonales du quadrilatère en six points en involution (348), et les droites menées d'un même point à ces six points formeront un faisceau en involution. Si la transversale s'éloigne à l'infini, ces six droites seront parai-

lèles aux quali-e côlés et aux deux diagonales du quadrilatère. Donc, etc.

Autrement. On peut donner du théorème une dcmonslration directe. Qu'on mène par les sommets opposés A, C des parallèles à la diagonale D6 [fig- 55 ) ; ces sommets seront les centres de deux faisceaux de quatre droites ayant les mêmes rapports anliarmoniques, parce que les quatre droites du premier, AD, AB, AC et AI, rencontrent respectivement les quatre droites du second, CD, CB, GA et CI', en quatre points en ligne droite. Changeant l'ordre des quatre droites du second faisceau, nous dirons que les deux séries de quatre droites AD, AB, AC, AI et CB, CD, CI', CA ont leurs rapports anharmoniques égaux. Or les deux AC el CA coïncident et les deux AI et CI' sont parallèles. Donc les deux séries ne contiennent, quant à la direction, que six droites conjuguées deux à deux, et, par conséquent, en vertu de l'égalité des rapports anharmoniques, ces six droites ont entre elles toutes les relations d'iuvolution (250), Le théorème est donc démontré.

Corollaire. — On conclut du théorème, d'après une propriété de l'involution (253), que :

Quand deux côtés opposés d'un quadrilatère sont rectangulaires, ainsi que les deux diagonalei, les deux autres côtés sont aussi rectangulaires.

On reconnaît aisément que ce théorème revient à celui-ci, que i Dans un triangle, les perpendiculaires abaissées des sommets sur les côtés opposés passent par un même point.

E GEOMÉTBIB SUPKRIBUBE. — CHAPITRE XIX.