I. — Triangle coupé par une transversale

361 - Un triangle ABC, dont les côlés sont coupés par une transversale en trois points a, b, c [fig- 56), peut être considéré comme un quadrilatère AB«& dont les points de concours des côtés opposés sont le sommet C du triangle et le point c sur le côté opposé AB. Par conséquent, les diverses propriétés du quadrilatère s'appliquent au triangle, notamment celles dans lesquelles nous avons considéré les trois couples de points A, «; B, b cl C, c comme trois couples en învolution (359).

De ces propriétés nous ne reproduirons ici que la seconde, qui donne lieu à cette proposition :

Quand un triangle ABC est coupé par une transversale abc, il existe, entre les segments que cette droite fait sur les côtés, la relation

nTl iC cA ,

Ce théorème dérive ici immédiatement de cette considération que les projections des sommets du triangle et des trois points a, b, c sur une même droite forment sis points en involution (333), proposition dont la démonstration a été très-simple. Maison peut démontrer le théorème directement de diverses autres manières également simples.

Que l'on mène la droite ah' parallèle au côté BA, et que l'on considère les quatre droites issues du point a, lesquelles, étant

PROpniETES C

coupées par les deux côtés AC, AB donnent bC b'C

bk' b'A'

Mais T7— = -^' puisque ab' est parallèle à BÂ. Doi

autrement. La transversale donne Heu aux trois triangles Abc, ica, Qah, dans lesquels on a

Multipliant ces trois équations membre à membre, il en résulte

«B bC çA ^ 6Â cB"''

Ainsi le produit des trots rapports est égal à l'unité. Mais il ne s'agit ici que de la valeur numérique ou absolue du produit, abstraction faite de son signe; parce que, dans les proportions dont

nous nous sommes servi, les rapports t— '•■■ n'admettent pas de signes, puisque les deux segments qui y entrent sont comptés sur des lignes différentes. Par conséquent, la démonstration n'est pas complète comme les précédentes; il reste à démontrer qu'en observant, relativement aux segments formés sur chacun des trois côtés du triangle, la règle générale des signes, c'est le signe -(- qui convient au second membre de l'équation. Or cela résulte d'une vérification facile , car il ne peut arriver que deux cas relativement à la position des trois points a, b, c, savoir, que deux de ces points soient sur deux côtés du triangle et le troisième sur le prolongement du troisième côté, ou bien que les trois points soient tous les trois sur les prolongements des trois côtés. Dans le premier cas, deux rapports seront négatifs et le troisième positif, et, dans le second cas, ils seront tous les trois positifs; de sorte que le signe du produit des trois rapports est toujours positif.

362, Lemme. — Si par les sommets d'un triangle ABC on mène

trois droites quelconques qui rencontrent les côtés opposés en trois points a, b, c, on aura la relation

a)& hC cA. sJqgAB slii h BG sincGA.

oG 6A cB ~ smïïÂC sin 6BA sinTCB'

dans laquelle s'ohserve la règle des signes.

Chaque rapport de segments, tel que --; {Jig. Sj) a cvidem-

, , . , sinaAB

ment le même signe que le rapport de smus correspondant ^ — --•

Il suffit donc de démontrer que les deux membres de l'équation sont égaux numériquement. Or on a, dans le triangle, les trois équations

«B AB sin^AB ^ 5£ sinSBC £A CA sincCA ^^ AC sin«AC' ÈA^RÂ slnï^iSA' 7b ^ CE sIucCB'

qui, multipliées membre à membre, donnent l'équation qu'il s'agit de démontrer.

363. Si par les sommets d'un triangle ABC (Jîg- 58) on mène trois droites rencontrant les côtés opposés en trois points a, b, c situés en ligne droite, il existe entre les sinus des angles que ces droites font chacune avec les deux côtés de l'angle d'où elle part la relation suivante :

sinaAB sin6BC sJncCA '^' sinaAC siniBA siiicCB " ^ ''

Cette proposition résulte de la précédente en vertu du lemme, autrement. La figure présente un quadrilatère ABab avec ses deux diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés, et la relation qu'il s'agit de démontrer est une des relations d'involulion qui ont lieu dans ce quadrilatère en vertu du théorème général (360).

364. Les réciproques des deux théorèmes (361 et 363) sont vraies, c'est-à-dire que : Si, sur les trois côtés d'un triangle ABC, on prend trois points a, b, c tels, que l'une ou l'autre des deux