DU TRIANGLE

équations (i) et (a) ait lieu, ces trois points seront en ligne droite.

En eifct, appelons c' le point où la droite ah rencontre le côté AB; on aura (361)

oB ÈC c^

«C bk c'B — ^*'

et, puisque, par hypothèse, l'équation (i) a lieu, il s'ensuit

ce qui prouve que le point c' coïncide avec le point c. Le raisonnement est le même à l'égard de l'équation (2).

II. — Triangle dans lajuel trois droite'^ menées par les sommets co/icoai-ent

365. Si d'un point O {fig. 5g) on mène des droites aux trois sommets d'un triangle ABC, ces droites et les côtés du triangle forment les quatre côtés el les deux diagonales d'un quadrilatère OACB; par conséquent, il existe entre ces trois droites et les côtés du triangle toutes les relations d'angles qui ont lieu dans un faisceau de six droites en involution (360) ; de là résultent diverses propriétés du triangle. Nous ne reproduirons ici que la suivante :

Quand trois droites issues des sommets d'un triangle ABC passent par un même point O, on a entre les sinus des angles qu elles font chacune avec les deux côtés de l'angle d'où elle part la relation

sinOAB sinOBC sJnOCA ^' siaOAC sinOUA sinOCB ^ ''

Il est très-facile de démontrer ce théorème directement; il suffit de considérer les trois triangles qui ont pour sommet commun le point O et pour bases les trois côtés du triangle ABC; ils fournissent les trois équations

sinOAB PB sinOBC __ OC sinOCA OA sinOBA" Ôa' sinÔCB~ÔB' smOAC^Ôc'

246 TRitlTÉ DR GÉOUÉTnIE SlIPEIlIlIUnË. — CllAPlTltB Xl\.

qui, muUipliées membre à membre, donnent

siii OAB sinOBC sinOCA smUAC sinOBA siiiOCB"''

Cette équation n'implique que la valeur numérique de l'expression qui forme le premier membre, parée que les équations dont on a fait usage ne eomportent pas de signes. Mais on reconnaît immédiatement que, si l'on applique à la figure le principe des signes, chacun des trois rapports de sinus est négatif quand le point O est situé dans l'intérieur du triangle, et que deux de ces rapports sont positifs et le troisième négatif quand le point O est pris au dehors du triangle ; d'où il résulte que le second membre de l'équation est — i.

366. D'après le lemme (362) on peut remplacer dans l'équation (3) les sinus des angles par les segments que les trois droites forment sur les eôtés, et l'on a ee théorème :

Les droites menées d'un même point aux trois sommets d'un triangle ABC [fig- 6o) rencontrent les côtés opposés en trois points a, h, c tels, que l'on a l'équation

, ,, «Tl bC ck

''î) ^ÎA^"=-'-

367. Les réciproques des deux théorèmes précédents ont évidemment lieu, c'est-à-dire que ; Si, par les sommets d'un triangle ABC, on mène trois droites telles, que l'une ou l'autre des deux équations ( 3 ) e£ ( 4 ) soit vérifiée, les trois droites passeront par un même point.

m, — Thèorcmc-s dans Ifsqucls on considère à la fois an point l't une droite dans le plan d'un triangle.

368. Etant donnés un triangle et une transversale^ si d'un même point on mène des droites aux sommets du triangle et aux

points où. la transversale rencontre les côtés opposés, ces droites formeront trois couples en infolution.

En effet, le triangle ABC {Jïg- Gi) et la transversale forment un