PROPRIÉTÉS DU TRIANGLE

quadrilatère AB«è dont les points de concours des côtés opposés sont le sommet G du triangle et le point C intersection du côté opposé AB par la transversale. Les six droites que l'on a à considérer, savoir OA, OB, OC et leurs conjuguées Oa, Ob, Oc, forment donc un faisceau en invoiution (352). c. q. f. d.

Réciproquement : Si d'un même point on mène des droites aux trois sommets d'un triangle et trois autres droites formant avec ces premières trois couples en invoiution, ces trois droites iront rencontrer les côtés opposés du triangle en trois points situés en ligne droite.

En effet, soient a, b, c ces trois points. Appelons c' le point où la droite ab rencontre le côté AB; la droite Oc', d'après la proposition qui vient d'être démontrée, forme une ini"olution avec les cinq OA, Oa; OB, 0& et OC. Mais, par hypothèse, c'est Oc qui forme cette invoiution ; donc le point c' n'est autre que le point c. Donc, etc.

369. Corollaire. — Le théorème (368), si l'on y suppose la transversale à l'infini, prend cet énoncé :

Si par un même point on mène des droites aux trois sommets d'un triangle et des parallèles aux trois côtés, ces six droites forment trois couples en invoiution.

Et réciproquement : Si par les sommets d'un triangle on mène trois droites faisant avec les côtés opposés, respectivement, trois couples de droites parallèles aux rajons d'un faisceau en invoiution, ces trois droites concourront en un même point.

C'est, sous un autre énoncé, la même propriété que précédemment (36S), savoir, que les trois droites menées aux sommets d'un triangle ont avec les côtés toutes les relations d'angles de six droites en invoiution,

370. Si d'un même point on mène trois droites aux sommets d'un triangle, toute transversale rencontrera ces droites et les côtés du triangle en six points formant trois couples en invoiution.

En effet, les deux droites OA, OB [fig- 62) et les deux côtés

24» TBAITE LE GEOMETHIE SrPEHlErHE. — CHAPITRE SIX.

AC, BC du triangle forment un quadrilatère dont les diagonales sontla troisième droite OC et le troisième côté AB. Ce quadrilatère est coupé par la transversale en six points en involution (SiS). Mais trois de ces points, a, b, c, appartiennent aux côtés du triangle, et les trois points conjugués a', V , c' aux droites menées à SCS sommets. Donc, etc-

Rcciproquement : Si sur une transversale ijui rencontre les côtés d'un triangle en trois points, on prend trois autres points quelconques, formant avec ceux-là trois couples en involution, les droites menées de ces trois points aux sommets opposés du triangle concourront en un même point.

Cette proposition inverse est une conséquence évidente du tliéo-

371. Les deux théorèmes (361 et 365) peuvent être compris dans une même proposition dont ils dériveront l'un et l'autre comme cas particuliers. Cette proposition exprime tout à la fois une propriété de trois points quelconques pris sur les côtés d'un triangle, lesquels peuvent être en ligne droite, et une propriété relative à trois droites quelconques menées par les sommets d'un triangle, lesquelles peuvent être concourantes en un même point; en voici l'énoncé ;

Si, par les sommets d'un triangle ABC [fig. 63}, on mène trois droites Aa, BIj, Ce qui forment un second triangle abc circonscrit au premier, on a la relation

En effet, la proportionnalité des sinus des angles aux côtés opposés, dans les trois triangles aÂB, éBC, cCA, donne trois équations qui, mullipllées membre à membre, produisent celle-ci :

ka B6 Cc sinCTBA siniCB sincAC Ba Ci Â^~ sinaAB sinABC sincCA*

paOPRIÉTÉS DU TWASCLE, 249

Pour introduire des rapports de deux sinus d'angles ayant un côté commun, qui donnent lieu à l'application du principe des signes, dont cette équation est indépcndanlc, on remplacera les angles cAC, èCB, aBApar leurs suppléments aAC, cCB, èBA, et l'équation devient, sauf le signe du second membre, celle qu'il s'agit de démontrer. Ainsi il est prouvé que les deux membres de l'équation (5) sont égaux numériquement ; mais il reste à démontrer que leurs signes sont différents, quand on donne des signes aux segments et aux sinus quiy entrent. Ce complément de la démonstration se fait par une vérification sur la figure, dans les quatre cas qu'elle peut présenter. Nous disons quatre cas; car les trois droites menées par les sommets du triangle ABC et qui forment le triangle circonscrit abc, peuvent être, ou toutes les trois extérieures au triangle, ou toutes les trois intérieures, ou une intérieure et deux extérieures, ou enfin une extérieure et deux intérieures. On reconnaît aisément que dans tous les cas les signes des deux membres de l'équation sont différents.

Ainsi le théorème est démontré ( ' ),

ConoLi-HRËS. — Voiei comment cette proposition donne lieu aux deux théorèmes (361 et 365) comme cas particuliers :

i" Que l'on considère la proposition comme se rapportant à trois points A, B, G pris sur les côtés du triangle abc, et qu'on suppose ces points en ligne droite, on trouve que le second membre de l'équation devient égal à -H i , et l'on a en conséquence

Ac Ma Cb "+^-

Ce qui est le théorème (361).

a" On peut regarder la proposition comme exprimant une propriété relative à trois droites menées par les sommets d'un triangle ABC, et si l'on suppose que ces trois droites concourent en un même point O, alors les trois points a, h, c coïncideront en

ce point unique, les trois rapports — - ; ■■ ■ deviendront égaux à

nnerons plus loin (373) deuï autre l 'application de la règle des signes

- ciiAPirnE XIX.

nOAC fi^^^5^ ^^5i5 nOAB smÔBCsînOCÂ"

Ce qui exprime le théorème (365).

V. — Réflexions sur le caractèi-e des démonstrations fondées sur les théories exposées dans cet Ovyrage, — Autres démonstrations du. titéorème précédent,

372. La démonstration précédente est très-simple en. ce qui concerne l'égalité numérique des deux membres de l'équation qu'il s'agissait de démontrer; mais il faut dire que la vérification relative au signe n'est pas aussi simple, parce qu'elle exige l'examen de quatre cas différents que peut présenter la figure. On conçoit que si, au lieu d'un simple triangle, il s'agissait d'un polygone quelconque, on pourrait avoir, pour une pareille question de signe, à examiner un beaucoup plus grand nombre de cas ; ce qui pourrait présenter des difficultés réelles, et ce qui, d'ailleurs, n'est pas, en général, une marche satisfaisante. Il est donc à désirer que l'on puisse adapter aux propositions du genre de celle qui précède des démonstrations qui comportent par elles-mêmes toutes les conditions de signes, nous pouvons dire des démonstrations complètes. C'est la notion du rapport anharmonique et les théories qui s'en sont déduites naturellement, qui paraissent destinées à procurer ces démonstrations adéquates. Sous ce point de vue, ces théories ont dans la Céomélrie moderne un caractère qui les distingue essentiellement, en les rendant propres à donner aux conceptions géométriques toute la généralité dont sont empreints les résultats de l'analyse. Il sera donc utile d'étendre les usages de ces méthodes, et, pour cela, de chercher à les appliquer aux propositions mêmes pour lesquelles les procédés ordinaires de la Géométrie, tels que la proportionnalité des côtés dans les triangles semblables ou des côtés aux sinus des angles opposés dans tout triangle, fournissent une démonstration facile; à plus forte raison, quand cette démonstration n'embrasse qu'une partie de la proposition, comme cela a eu lieu dans le théorème précédent. Nous ne doutons pas qu'on ne parvienne toujours à une démonstration

PROPRIETLS DU TRIANGLE. 25l

vraiment satisfaisante. Du moins les applications déjà faites ici des méthodes en question aux figures rectilignes, et surtout l'étendue et la facilité de celles qui se présenteront dans la théorie des sections coniques, comme dans celle des courbes du troisième degré et des surfaces du second ordre, nous persuadent que ces méthodes fécondes forment les bases naturelles de la Géométrie. Appliquons-les au théorème précédent.

373. Autre démonstration dit théorème (371).— Les trois droites menées du point a aux sommets du triangle ABC (//'^. 64) donnent la relation

Ti

noACsi.

n«ABsii

lôBA liBC

sin«CB siuûCA

et la droite