L^ellipse rapportée à son sommet a pour équation
ix — a\' Y*
ou
, 2ft« ft* . b* .
dans l'ellipse , le carré de l'ordonnée est donc plus petit que le produit du paramètre par l'abscisse.
On trouverait de même, pour l'hyperbole rapportée à son
3J0 CnAPlTBB XI.
sommet,
dans l'hyperbole, le carré de l'ordonnée est donc plus grand (|ue le rectangle construit sur le paramètre et sur l'abscisse.
Nous verrons plus loin que, dans la parabole, ces quantités sont égales.
C'est en raison de ces propriétés que les noms de parabole, d^hyperbole et àt ellipse ont été donnés autrefois aux courbes qui nous occupent ( ').
*§ V. — Coniques confocales.
194 (a). La distance 2C des foyers d^une conique étant complètement déterminée par la différence a- — b- des carrés des axes (n° 182), deux coniques qui ont le même centre, et dont les axes sont dirigés suivant les mêmes droites, ont les mêmes foyers lorsque la différence des carrés des axes a la même valeur pour l'une et l'autre conique. L'équatioD générale des coniques confocales de l'ellipse, qui a pour demi-axes a et 6, peut donc se mettre sous la forme
ô^ il? "^ W±\^ "" ' '
quand X* est précédé du signe -f-, elle représente une ellipse; lorsque, au contraire, X^ est précédé du signe — . elle représente une ellipse, une hyperbole ou une courbe imaginaire, suivant que y? est inférieur à é^, compris entre i^eta^, ou supérieur à a*.
Pour X^=6*, cette équation se réduit àjK^ = o; l'axe des X est donc la limite commune vers laquelle tendent les
(•) Voir PAifOi, Math, Coll., liv. VII.
DE l'eLLIPSB et DE l'hYPERBOLE. 3iI
ellipses et les hyperboles confocales. Pour caractériser la manière dont les foyers se rattachent à cette limite, observons que par un point quelconque (x\ y)on peut toujours mener deux coniques confocales avec une conique donnée, puisque la condition
-H -nr r:;= I
a^ — X» 6« — X* fournit, pour déterminer X^, une équation
X* — X* (a» -{-b^ — x'^ — y^) -h a'6»— 6=^'^— ay» = o,
qui est du deuxième degré en X^. Lorsque ^' = o, cette équation se réduit à (X^ — b^)(k^ — a^ -\-x'^) = o; une de ses racines est égale à 6^, et il en est de même de l'autre si l'on a en même temps x^^ = a^ — b^. Les foyers peuvent donc être considérés comme les points correspondant à la valeur particulière de X^, X*= 6-.
En faisant successivement X^ = a*, X^ = b^ dans l'expression en X^ donnée ci-dessus, on obtient deux résultats de signes contraires, l'un positif (a^ — b^)x'^j l'autre négatif (6^ — a*)/'2; les quantités a* et b^ comprennent donc une des racines de l'équation; quant à l'autre racine, elle est nécessairement inférieure à f , puisqu'on trouve un résultai, positif en substituant à X^ l'infini négatif. Il s'ensuit que les deux coniques confocales qui passent en (:r',^') sont de genres différents : l'une est une ellipse, l'autre une hyperbole. On arrive d'ailleurs à la même conclusion en observant que par un point P on peut toujours mener deux coniques ayant les points F et F' pour foyers, à savoir une ellipse qui a pour grand axe la somme des distances focales FP, F'P, et une hyperbole qui a pour axe trans verse la différence des mêmes distances. Lorsqu'on représente par 2 a' le grand axe de l'ellipse, et par 2aTaxe transverse de l'hyperbole, les distances focales FP et F'P ont pour valeurs respectives a! -r a" et a' - a\
3l2 CHAPITRE XI.
494 (6). Les considérations qu'on vient d'exposer ont conduit quelques géomètres à faire usage d'un nouveau genre de coordonnées, et à définir la position d'un point P par les axes des coniques confocales avec une conique donnée, qui se coupent en ce point. Le procédé le plus simple pour exprimer les coordonnées ordinaires du point P en fonction de ces axes consiste à reprendre la solution du problème énoncé au numéro précédent, à mener par le point P une conique ayant pour foyers deux points donnés, et à choisir pour inconnues les axes de cette conique. La quantité c* étant connue, on peut remplacer 6* par a^ — c^ dans l'équation de la conique, et, en exprimant que cette conique passe par (^SjkOî ^'^ obtient la condition
qui donne, pour déterminer a,
On trouverait de même, pour déterminer fe,
Le produit des racines de l'équation en a* est égal à d^3^^\ il en résulte qu'on a, entre l'abscisse du point Pet les axes transverses d et a", des coniques qui se coupent en P.
on trouverait de même pour l'ordonnée du point P
et, comme le dernier produit est négatif, il s'ensuit que les quantités V^ et V^^ doivent être de signes contraires; autrement dit, que l'une des coniques est une ellipse, tandis que- Tau tre est une hyperbole. En considérant 6"^ comme renfer-
DE l'ellipsb BT DE Ii'htpbrbole. 3i3
mant implicitement le signe — , on peut donc mettre les valeurs des coordonnées du point P sous la forme symétrique
194 (c). En écrivant que le coefficient du second terme de Tune ou Tautre des équations du numéro précédent est égal à la somme des racines de l'équation, on obtient pour le carré du rayon vecteur mené au point P par le centre C des coniques
on arriverait, du reste, à la même expression en partant des valeurs trouvées pour a?'^ et y'^^ et en observant que l'on a simultanément
dans l'ellipse, le carré du demi-diamètre conjugué de CP est donné (n®173) par l'équation
pi = a'*--hb'^ — {a'*-^b''),
et, par suite, est égal à
oaà
En désignant par // la distance du centre C à la tangente menée à l'ellipse par le point P, on a ^p' = a't'(n**17S), et par suite
on a de même, en représentant pdirp^ la distance du centre C
'^l4 CHAPITRE XI.
à la tangente menée à l'hyperbole par le point P,
Il n'est pas sans intérêt de remarquer la symétrie qui existe entre les valeurs de/?'^, p"^ et les valeurs obtenues précédemment pour x'^ et oF-, Quand on prend pour axes de coordonnées les deux tangentes en Pj/?' et/?" représentent les coordonnées du centre C, et l'analogie entre les valeurs de />',/>" et celles de x'^y peut s'énoncer comme il suit : Par le point C on peut faire passer deux coniques confocales, ayant pour axes les tangentes en P et pour centre le point P; les demi-axes des coniques de ce nouveau système ont respectivement pour valeurs a' et a", V et 6"; et les tangentes menées en C à ces nouvelles coniques sont dirigées suivant les axes des coniques de l'ancien système.
194 (rf). Revenons maintenant à l'équation en \^ du n® 194 (a), et soient X'^, X'^^ les racines de cette équation, on aura X'^X"^ = a^è^ b^^'^ a^ya. Quand le point (x',/'t
est situé en dehors de l'ellipse — ^ h- — :z= i , on a, en outre»
X'2 = a'a — a^, X"2 = d'- — «=, et, si I'oq observe que X"'^ esl essentiellement négatif, puisque l'axe transverse de l'une quelconque des hyperboles du système est plus petit que le grand axe de l'une quelconque des ellipses, il vient
L'angle ç compris entre les tangentes menées à l'ellipse primitive par le point extérieur P est alors défini par la relation (nM69,Ex. 3)
I>B L*ELLIPSB ET DE l'hYPBRBOLB. 3iS
cpiî devient
en remarquant que, toutes les fois qu'on a tangç = ,-^j — j— ^ ,
on peut écrire immédiatement tang|ç= !r«
Nous avons vu (n®189) que les. tangentes PT,Pf menées à une ellipse par un point P d'une ellipse confocale sont également inclinées sur la tangente en P; ou, en d'autres termes, que cette tangente en P est la bissectrice de l'angle TP^. Si donc tp désigne Fangle compris entre cette dernière tangente et PT, on a t|> =: 90* — ï <?? cl par suite
Corollaire 7. — On a constamment
a!' cos''| -f- a"* sin*ij; ^=- ar.
Corollaire II. — La distance des points obtenus en prenant sur les tangentes PT, P^, et à partir du point P, des longueurs égales aux distances focales PF, PF', est égale à 2a; eh calculant en effet, d'après la formule connue
l'angle opposé au côté a a dans le triangle qui a pour côtés a' -h a", a' — aF [n** 194 (a)] et 2a, on trouve que cet angle est précisément égal à l'angle ç, compris entre les tangentes PTetP^
Corollaire III, — Par un point P, pris sur une ellipse donnée, on mène des tangentes à deux ellipses fixes et confocales avec la précédente ; le rapport des sinus des angles (|; et d/, que ces tangentes font avec la tangente en P, est constant
3l6 CHAPITRE XI.
quelle que soil la position du point P sur Pellipse donnée. En désignant par a et A les demi-axes des ellipses intérieures, on a en effet pour ce rapport
(inip la!- — a*
sin sin
et cette expression, qui est indépendante de cf ^ conserve la même valeur tant que le point P reste sur l'ellipse qui a d pour demi-grand axe.
§ VI. — Asymptotes.
195. Les propriétés que nous avons étudiées jusqu'ici sont communes à l'ellipse et à l'hyperbole; il n'en est pas de même des suivantes, qui ne se rapportent qu'à l'hyperbole, parce qu'elles dépendent des asymptotes, qui, dans l'ellipse, sont imaginaires.
Quand on prend le centre pour origine, l'équation des asymptotes s'obtient (n® 136) en égalant à zéro l'ensemble des termes du deuxième degré de l'équation de la courbe. L'équation de l'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués étant
celle des asymptotes sera
ou
Il en résulte que les asymptotes sont parallèles aux diagonales du parallélogramme CATB {fig* 69) construit sur deux demi-diamètres conjugués quelconques, d et V. La diago-
DE l'ellipse et DE L''hTPERBOLE. 3i7
nale CT, qui a pour équation '— =: -7, coïncide, en effet, avec
*jc cl
une asymptote, tandis que l'autre diagonale AB, dont l'équation est -7 -h ^ = I , est parallèle à l'autre asymptote (n® 167).
Fig. 69.
On peut donc tracer les asymptotes d'une hyperbole, étant donnés deux diamètres conjugués en grandeur et en position. On peut aussi, lorsqu'on connaît les asymptotes, déterminer le diamètre conjugué d'un diamètre donné CA; en menant par le point A une parallèle AOB à l'asymptote CT', et en prolongeant cette parallèle au delà de l'asymptote CT, de telle sorte que l'on ait BO = OA, on obtient le point B, qui est l'extrémité du diamètre CB conjugué de CA
196. Les portions AT, AT' {/ig- 69) d'une tangente, comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes, sont égales et ont même longueur que le demi-diamètre parallèle à la tangente.
Ce théorème n'est qu'un corollaire du précédent, puisque AT = 6' == AT' ; mais on peut le démontrer directement en prenant pour axes le diamètre qui passe par le point de contact et son conjugué; l'équation des asymptotes est alors
3l8 GHAPITBB XI.
et donne pour x=-d
mais, la tangente en A étant parallèle au diamètre conjugué, cette valeur V de l'ordonnée n'est autre chose que le segment déterminé par l'asymptote sur la tangente.
197. Les portions DE et FG {fig» 70) rf'i/ne sécante DG, comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes^ sont égales.
Prenons pour axes le diamètre CB, parallèle à DG, et son conjugué CA : d'après le numéro précédent, le segment DG
Fig. 70.
est divisé en deux parties égales par le diamètre CA, et, comme il en est de même de la corde EF, il en résulte que DE = FG.
On obtient facilement les longueurs de ces différentes lignes en partant de l'équation des asymptotes
qui donne
jK( = DM = MG)=:r±^a:,
et de l'équation de la courbe
DE l'ellipse et DE L*HYPERBOLE. 3l9
d'où l'on tire
7( = EM--.--FM)--zr-6'Y/^-i;
on trouve ainsi
DE(-.FG, = 6'(|-y/^
et
DF(^EG) = 6'(54-y/|:
198. Il résulte de ces équations que le rectangle DE.DF est constant et égal à 6'^, et, par suite^ que DF est d'autant plus grand que DE est plus petit. Mais, à mesure que la droite DF s'éloigne du centre, sa longueur augmente, et en prenant X suffisamment grand, on peut rendre DF plus grand que toute quantité donnée. Donc :
Plus une sécante est éloignée du centre, plus la portion de cette sécante comprise entre l'asymptote et la courbe est petite ; et, en augmentant la distance de la sécante au centre, on peut rendre cette portion plus petite que toute quantité donnée,
199. Si l'on prend les asymptotes pour axes, les coefficients ^ et A de l'équation générale, ainsi que les coefficients a et b disparaissent : les premiers, parce que le centre de la courbe est pris pour origine; les seconds, parce que les axes rencontrent la courbe à l'infini (n® 138, Ex. 4). L'équation de l'hjperbole est donc alors de la forme
et elle exprime que l'aire du parallélogramme construit sur les coordonnées d'un point quelconque de la courbe est constante.
3aO CHAPITRE XI.
L'éqnatîon de la corde passant par {xf^y)^ (x^t)^) peut alors s'écrire (n® 86)
ou
x'y -hyx = k^-^- X* y" ^
et, en y faisant ocf = x^^y' =^1 on a pour Péquation de la tangente en {x'j y)
qui devient, lorsqu'on remplace k^ par x^y'^
Les segments qu'une tangente détermine sur les asymptotes ont ainsi pour \aleur 2a:', 2^'; leur rectangle est égal à 4^"» Donc :
L'aire du triangle formé par une tangente et les asymptotes est constante et égale au double de Vaire du parallélogramme construit sur les coordonnées du point de contact,
Exercicee.
i. Les droites qui joignent un point quelconque {af" , y") d! une hyperbole à deux points fixes {x% y'), (x", y) pris sur cette hyperbole déterminent sur une asymptote un segment de longueur constante.
L'équation de la corde passant par {x',y'){x'"jy) peut s'écrire
en y faisant y = o, on trouve, pour le segment qu'elle détermine sur Taxe des x à partir de l'origine, x"' -\- x'; on trouverait, de même, pour le segment déterminé par la deuxième droite, a:* h- a?'. La différence x' — x^ entre ces deux quantités est le segment cherché.
DE L'EfLIPSB BT DE L^HYPERBOLE. 3^2
Sa valeur est indépendaate de ^', c'est-à-dire de la position du point mobile.
2. Trouver les coordonnées x et y de V intersection des tangentes menées aux points (ar',^), {af,y').
En résolvant par rapport k x el ky les équations des tangentes
x'y -^y X — 2 A:', x'y -r-y^x — aX*,
on trouve
et, en observant que
on a
