X -TT X
On trouverait de même
200. Exprimer la quantité k^ en fonction des axes de la courbe.
L^axe transverse étant dirigé suivant la bissectrice de fangle formé par les asymptotes, on obtient les coordonnées du sommet en faisant x =^y dans Féqùation xy =i ^-, ce qui donne
on a d'ailleurs, en désignant par 6 l'angle compris entre l'axe et l'asymptote, et en observant que a est la base d'un triangle isoscèle qui a k pour autre côté et 0 pour angle à la base.
a = aArcosO,
el comme on a, d'autre part (n° 163),
C0SÔ=: j
\Ja- -H 6* S. — Géom. à deux dim. ai
on trouve en défînilîve
L'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes peut dès lors se mettre sous la forme
201. La distaitce du foyer à une asymptote est égale au demi^axe conjugué b.
Cette distance est égale à c sinO, et, comme on a
C " s/a^ -i- ^*, sin 6 = y
il en résulte que
csinô =: b.
Cette proposition n'est du reste qu'un cas particulier du théorème (n® 187) : Le produit des distances des foyers à une tangente est constant et égala — é^. L'asymptote peut, en eflet, être considérée comme une tangente dont le point de contact est à l'infini (n® 154), et cette tangente passe évidemment à égale distance des deux foyers, puisqu'elle passe par le centre de la courbe.
202. La distance d^ un point de la courbe au foyer est égale à la distance de ce même point à la directrice, estimée parallèlement à une asymptote.
En effet, la distance d'un point au foyer est égale à e fois la distance de ce point à la directrice (n® 186), et cette dernière distance est à la distance estimée parallèlement à
DE l'ellipse et DE L*HTPERBOLE.
Tasymptote dans le rapport de cosô, c'est-à-dire de - (n® 167)
On peut déduire de là un procédé pour décrire l'hyperbole d'un mouvement continu. Une règle ABR, coudée en B, glisse le long de la droite fixe DD' {fig* 71) en entraînant un fil
Fig. 71.
(le longueur RB, dont les extrémités sont fixées en R et en F; un anneau P maintient le fil tendu en l'appliquant le long du côté BR de la règle. Dans ces conditions, le point P décrit une hyperbole ayant F pour foyer, DD' pour directrice, et dont l'asymptote est parallèle à BR, puisqu'on a toujours
