L — RÉDUCTION DE L*ÉQUATION GÉNÉRALE
203. L'équation du deuxième degré représente une parabole (n® 137), lorsque ses trois premiers termes forment un carré parfait, c'est-à-dire lorsqu'elle est de la forme
On ne peut alors la transformer (n® 140) de manière à faire disparaître à la fois les termes en x et en y^ mais la forme même de l'équation indique le procédé à suivre pour la simplifier. Les quantités olx -4- P^, igy -i- ^fy ^- c étant respectivement proportionnelles aux distances du point (^,/) aux droites
aa? H- Pj^— -o, a^a?H- *ify -\' c = o,
l'équation de la parabole exprime que le carré de la distance d'un point de la courbe à la première de ces droites est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la deuxième droite. On pourra donc, en prenant ces droites pour axes de coordonnées, réduire l'équation de la courbe à la forme y^ =ipx^ puisque les distances d'un point à deux axes quelconques sont proportionnelles aux coordonnées de ce poiul par rapport à ces axes.
La nouvelle origine est un point de la courbe, et, comme à
DE LA PARABOLE. 3a5
chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires, le nouvel axe des x est un diamètre dont les ordonnées sont parallèles au nouvel axe des y. Mais l'ordonnée menée à l'extrémité d'un diamètre est tangente à la courbe ( n** 145) ; donc le nouvel axe des y est la tangente à l'origine. Il est dès lors facile de voir, en se reportant à l'équation primitive, que ctx -- ^^ est le diamètre passant par l'origine, et que '^gx H- if y -î- c représente la tangente menée au point où ce diamètre rencontre la courbe.
L'équation d'une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente menée par l'extrémité de ce diamètre est donc de la forme ^^ =/>j:.
204. Les nouveaux axes auxquels nous avons été conduit dans le numéro précédent ne sont pas, en général, rectangulaires; mais il est toujours possible de ramener l'équation de la parabole à la forme y^ = px^el d'avoir en même temps des axes rectangulaires. Pour le démontrer, introduisons dans l'équation générale de cette courbe une constante arbitraire A*, et mettons-la sous la forme
(a^-hpa? -f- ky -h 2(^ — aA-)j? -^ 2(/-- pA:)/ -f- c-— A:- rz: o.
De même qu'au numéro précédent,
OLX -4- p/ -i- A: r= o
représente un diamètre, et
2{g — 7.k)x -^ 2{f— pA:)/-hc — A:* =o,
la tangente à l'extrémité de ce diamètre. En prenant ces droites pour axes, l'équation de la parabole devient ^^ =ipxj et l'on peut déterminer k par la condition que ces deux droites soient perpendiculaires. On a ainsi (n** 25)
a(^"aA:)-f-p(/-pA:)^o,
326 CHAPITRE Xll.
ce qui donne
L'équation, qui fournit la valeur de A:, étant du premier degré en A:, il s'ensuit qu'il n'existe qu'un seul diamètre formant avec ses ordonnées un angle droit : ce diamètre a reçu le nom A^axe de la courbe.
205. On peut aussi ramener l'équation de la parabole à la forme j^* =/?j7 par une transformation de coordonnées. Lorsqu'il s'es^agi (Ghap. XI) de réduire l'équation générale du deuxième degré, nous avons déplacé les axes parallèlement à eux-mêmes, puis nous les avons fait tourner autour de la nouvelle origine, de manière à faire disparaître le terme en xy. Pour la parabole, nous effectuerons ces transformations dans l'ordre inverse, comme nous aurions, du reste, pu le faire pour l'ellipse et l'hyperbole ; cette marche semble d'ailleurs d'autant plus convenable, qu'il est impossible, dans le cas actuel, de faire disparaître à la fois le terme en x elle terme en y^ en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes.
Prenons pour nouveaux axes la droite ax -i-^y^ sa perpendiculaire p^ — ay, etsoient X et Y les nouvelles coordonnées. Ces coordonnées représentant les distances d'un point de la parabole aux Nouveaux axes, on a (n® 34)
et si l'on fait, pour abréger, a* -4- ^^ = y^j I^s formules de transformation se réduisent à
d'où
Y^ = aY-t-pX, yy — pY — dX.
En effectuant les substitutions, l'équation de la courbe ilevient
Y»Y» -I- 2(^p — A)X -r- 2(^a -h/p)Y -f- YC r= o
et prend ainsi la forme
h' y- -r-ig'x-r- if y -r- d ~ o,
qui met en évidence la simplification obtenue, en faisant tourner les axes autour de l'origine. Si l'on transporte ensuite les axes paiJlJèlement à eux-mêmes, en prenant un point quelconque {^^y') pour origine, cette équation devient
^'j-H- a^r'^ + 2(6'/ -i-f)y -H by- 4- 2g' a/ + 2/7' -h d --o.
Le coeflicient de x n'ayant pas changé, on ne peut chercher à le rendre nul; mais on peut déterminer x' et y de telle sorte que le coeflEicient de^ s'annule ainsi que le terme absolu, ce qui ramènera l'équation à la iorme y^ -- px. On trouve ainsi
et, par suite,
Lorsque l'équation de la parabole est mise sous la forme y'^^i^px^ le coefficient/? représente \q paramètre du diamètre qui est pris pour axe des x ; quand les axes sont rectangulaires, p est le paramètre principal ( n** 194)
Exercices.
i. Trouver le paramètre principal de la parabole ' 9a:* -h 24^7 -t- r6j^* -f- 22a: -f- \^y -H 9 = o. En suivant le procédé du numéro 204, on trouve )t — 5, ce qui
donne pour Téquation de la parabole
(3ar -4- 47 -^ 5)2 = 2(4a7 - 3y -t- 8);
et en désignant par X et Y les distances d'un point de la courbe au\ droites
3a?-h47-}-5 et 4a: — 37 -h 8, on a
5Y = 3ar-T-47-+-5, 5X = 4a?— 3^-^ 8;
et, par suite,
On peut aussi procéder comme au numéro 205. En prenant pour axes de coordonnées les droites 3 a? — 4^, 4^ — ^y> on obtieni l'équation
25 Y» -^ 5o Y — loX -4- 9 = o, qui peut se ramener à
25(Y-i-i)2 = ioXh- 16,
et en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au poiai ( — ë' — ^ ) ' ^^ retombe sur Féquation
« 2. Trouver le paramètre de la parabole
.r' 2a:r ^ y^ 'xx iy
a* ab ' b* a b ' ~ '
Réponse. p — j»
On peut aussi déduire cette valeur de/? des théorèmes suivants, que nous démontrerons plus loin :
Le foyer d* une parabole est la projection de V intersection de deux tangentes^ qui se coupent à angle droit sur leur corde de contact.
Le paramètre d'une conique s'obtient en divisant quatre fois
le produit des segments d'une corde focale par la longueur de cette corde (n» 193, Ex. i ).
3. On mène à une parabole, dont le paramètre est égal à 4 /w, deux tangentes qui se coupent à angle droit; aet b représentent les longueurs de ces tangentes; démontrer que l'on a
206. Lorsqu'on a, dans Péquatîon primitive de la courbe, j^^=/a, le coefficient de x s'annule dans l'équation transformée du numéro 205 qui prend alors la forme
b'y^ -T- 2/7 -h </ =: o, ou, en désignant par X et (jl ses racines,
et représente, par suite, deux droites réelles, coïncidentes ou imaginaires, et parallèles au nouvel axe des x.
Il est d'ailleurs facile de vérifier que la condition générale (n** 76), pour que l'équation représente deux droites, se trouve alors remplie. Cette condition se traduit en effet par la relation
c{ab — h^)--=^ af - 2h/g -h bg' ;
et, si l'on y remplace a. A, b respectivement par a*, a^, g^, le premier membre s'annule et le second se réduit à (/a — ^h)** En mettant la relation
sous l'une ou l'autre des formes
on voit que l'équation générale du deuxième degré représente deux droites parallèles, lorsque ses coefficients satisfont à la
33o CHAPITRE XII.
fois à la relation ab — h'--.^ o, et à l'une ou l'autre des conditions af=^ hg^ fh = bg.
*207. Quand les axes primitifs sont obliques, on peut encore réduire l'équation de la parabole, comme au n° 205, en prenant pour nouveaux axes la droite a^ -f- ^y et sa perpendiculaire, dont l'équation est alors (n** 26;
(p — acosa)):c — (a — p cos(o)/=::o.
En posant, pour abréger,
Y* ^rr a' -^ p- — 2ap COSO),
les formules de transformation deviennent (n° 34)
vYrz:(aa: -h pj')sina), YXr=(p — acosa))^? — (x — PcoS(d)v;
d'où
Ya?sina>=(a — p cos(o)Y4- ^Xsino),
Y/sino) =:(p — acos(ji>)Y — aX sinw,
et si l'on effectue les substitutions, l'équation de la parabole [)rend la forme
Y»Y- f-2sin«(o(^p— /a)X
-h 2 sin(o[^(a — ^ cosw) H-/(p — acoso3)}Y-{- Ycsin'w - o.
En déplaçant ensuite les axes parallèlement à eux-mêmes comme au numéro 205, on trouve, pour la valeur du paramètre principal /?,
'i^ 2 (/a — /r6)sin*(i)
{a^ -^ p* — 2apcos(ù)-
Ezercice.
Trouver le paramètre principal de la parabole
X^ 7. TV V* 9..T iy
a* ab b^ a b
Réponse. p —
DE LA PARABOLE. 33t
208. L'équation ^2 =zpx permet de trouver facilement la (orme de la parabole. Celte courbe est symétrique par rapport à Taxe des x^ puisque à chaque valeur de x correspondent deux valeurs égales et de signes contraires pour j^ ; elle n'a d'aillieurs aucun point situé du côté des x négatifs, puisque, en donnant à a: le signe — ^y devient imaginaire; et comme les valeurs de y croissent en même temps que les valeurs positives de x^ elle a la forme indiquée par la fig, 72.
Fig. 72.
La parabole ressemble à l'hyperbole, en ce sens qu'elle a des branches infinies ; toutefois il y a une grande différence entre la nature des branches infinies de ces deux courbes : celles de l'hyperbole tendent, à la limite, à coïncider avec deux droites divergentes; mais il n'en est pas de même de celles de la parabole. En cherchant, en efiet, les deux points où la droite
X =-. ky 4- /
rencontre la parabole ^^ =/?j:, on obtient l'équation du second degré
y^—pky—pl — Q,
dont les racines ne peuvent devenir infinies tant que k et / restent finis.
Il n'y a donc aucune droite, située à une distance finie, qui puisse rencontrer la parabole en deux points coïncidents et situés à l'infini. Le diamètre^ y z^ m^ qui rencontre la courbe à Finfini (n®142), la rencontre aussi en un point
( — ) o I dont Tabscisse croît en même temps que /n, mais ne
peut devenir infini tant que m reste fini.
209. Le théorème suivant permet de se faire une idée, peut-être encore plus nette, de la forme de la parabole. Quand on fait croître indéfiniment le grand a^e d^une ellipse, dont un sommet V et le foyer voisin F ifig» 73;
Fig. 73.
restent fixes, V ellipse tend à se transformer en parabole.
Désignons par /n la distance constante VF du sommet au foyer. On a (nM82)
m-^a — v^a* — 6*, ce qui donne
b^^m'xam — m',
et si l'on porté cette valeur de b^ dans l'équation de l'eUipse rapportée à son sommet (n"194)
cet le équation prend la forme
, /, im'\ f^.m m*\ .
c(uaiid a devient infini, tous les termes du deuxième membre disparaissent à Fexoeption du premier, et l'équation se réduit à
La parabole peut donc être considérée comme la limite d'une ellipse ; on verrait de même qu'elle peut être considérée comme la limite d'une hyperbole.
On peut aussi considérer la parabole comme une ellipse dont l'excentricité e est égale à l'unité; on a, en effet,
et, en remplaçant b^ par la valeur donnée ci-dessus, on voit que le deuxième membre de cette égalité se réduit à l'unité lorsque a devient infini, pourvu, toutefois, que la distance d'un sommet au foyer voisin reste finie.
§ II. — Tangente et normale.
210. L'équation de la corde, menée par les points {x^y)^ {^af^y') de la parabole y^^izpx^ peut se mettre sous la forme (n* 86;
ou sous la suivante
{y-^f)y—px+yy'\
en y faisant y ==jk'j et en observant que /'^ est égal k px\ on obtient pour l'équation de la tangente en [x'^y)^
^yy—p{x-^x').
Pourj^ = o, cette équation donne x =^ — .a/; la sous-tangente ÏM ijig' 74) est donc divisée en deux parties égales par le sommet V; autrement dit, la sous-tangente est le double de l'abscisse du point de contact.
Cette propriété de la sous-tangente subsiste encore quand on prend, pour axes de coordonnée?, un diamètre quelconque et la tangente à l'extrémité de ce diamètre. Ce changement de coordonnées n'apporte, en effet, aucune modification, ni à la forme de l'équation de la parabole (n'*203), ni à la forme des équations de la corde et de la tangente (n<»86).
Il résulte de ce qui précède que, pour mener une tangente en un point P de la parabole ijig^ 74)? il suffit de prendre sur
l'axe une longueur VT égale à VM, PM étant l'ordonnée du point P, et de joindre le point T ainsi obtenu au point P. Il en résulte encore que, pour trouver l'ordonnée PM' du point P par rapport à un diamètre quelconque T'M', il suffit, après avoir tracé la tangente en P, de prendre VM' r=: V'T', et de joindre PM'.
211. L'équation de la polaire d'un point quelconque (x\y)^ étant de même forme que celle de la tangente (n'^SO), peut s'écrire
En y faisan tjv' = o, pour avoir le segment que cette polaire détermine sur l'axe des x, on trouve ^ = — j/. Donc le segment {x' — x"), que les polaires de deux points quel
conques interceptent sur l'axe^ est égal au segment que déterminent sur ce même axe les perpendiculaires abaissées de ces points.
