MN

Donc, dans la parabole, la sous-normale est constante et égale au demi-paramètre, La longueur de la normale PN a pour expression

PN zzz ypM4- MN'r=-. ^y^+\P'—\Jp (^ -t- {-/?) { ^Jpp'.

o'J6 CHAPITRE XII.

§ III. — Diamètres.

213. Nous avons démontré (n® 203) que l'équation de la parabole était toujours de la forme y^ =^p'x quand on prenait, pour axes de coordonnées, un diamètre et la tangente à l'extrémité de ce diamètre. Nous reviendrons ici sur cette démonstration, pour faire voir comment on peut obtenir, à l'aide d'une transformation de coordonnées et en parlant de l'équation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet^ l'expression du paramètre p^ en fonction du paramètre principal/? (n** 20o j.

Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en un

point {x' ^y) de la courbe; puis, ce déplacement effectué, et

sans rien changer à la position de l'axe des x^ faisons tourner

l'axe des JK jusqu'à ce qu'il fasse un angle 6 avec l'axe des x.

Pour opérer la première transformation, nous n'avons qu'à

remplacer, dans j^-^ ^=pXy xety par x ~r x' eiy -h /', ce qui

donne

y^-h2yyz-px;

pour effectuer la seconde, il suffit de remplacer dans la dernière équation x et y par x -}-/cos8 etj^sin6(n**9). On a ainsi, pour la nouvelle équation de la parabole,

y- sin-ô H- 2y^sinô ^=ipx -r- pycos^,

et cette équation ne peut se réduire à iRtormey- -^px que si l'on a

2/ sinô =pcos6, ou tanff6=-^«

L'angle 6, qui satisfait à cette condition, est précisément, comme on peut le voir en se reportant à l'équation (n®210)

l'angle que la tangente en {x^,y') fait avec l'axe des x.

L'équation de la parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, peut donc s'écrire

sin*e

et l'on a, pour le paramètre />' correspondant au diamètre qui passe par (^j^'),

sin*0

ÎA'

il en résulte que le paramètre correspondant à un diamètre quelconque est inversement proportionnel au carré du sinus de V angle que les ordonnées de ce diamètre font avec Vaxe.

On peut, en partant de l'équation tangO = -^ > exprimer le

paramètre d'un diamètre en fonction des coordonnées de l'extrémité de ce diamètre, car on a

sinô- '' -^ ^ ^

et, par suite,

p' zzz p -^ (^œ! ,