IV. — FOTER ET DIRECTRICE

214. Dans la parabole, on donne le nom àe foyer au point situé sur l'axe de la courbe à une distance du sommet égale au quart du paramètre principal. Nous devons nous attendre, d'après le numéro 209, à trouver une certaine analogie entre les propriétés de ce point et celles des foyers d'une ellipse; nous allons voir maintenant que cette analogie est complète, et qu'une parabole peut être considérée, à tous les points de vue, comme une ellipse ayant l'un de ses foyers à une distance finie, et l'autre à l'infini. Pour éviter les expressions frac-

S. — Géom, à deux dim. 22

tionnaires, nous représenterons, dans les numéros suivants, \p par m.

Trouver la distance d'un point de la courbe au foyer.

Le carré de la distance du foyer (m, o) au point {x\y) de la parabole a pour expression

[x' — m)' -\- y^ ^=^ x'- — 2mx' -hm*-\- ^mx' :={x' ^ mY;

la distance de ce point au foyer est donc égale k x' -\-m.

On peut, dès lors, exprimer plus simplement le résultat obtenu au numéro 21 3 en disant : le paramètre correspondant à un diamètre quelconque est égal à quatre fois la distance de l'extrémité de ce diamètre au foyer.

215, Dans la parabole, comme dans l'ellipse et Fhyperbole, on donne à la polaire du foyer le nom de directrice.

La directrice (n° 211) est perpendiculaire à l'axe, qu'elle rencontre en un point symétrique du foyer par rapport au sommet, et comme la distance du foyer au sommet est égale à m, il en résulte que la distance d'un point quelconque (x'^y) de la courbe à la directrice est égale à x' -i- m] et, par suite (n*'214), que les points de la parabole' sont à égale distance du foyer et de la directrice.

Dans l'ellipse et l'hyperbole (n** 186), la distance d'un point au foyer et la distance de ce même point à la directrice sont dans le rapport constant de e à i ; il en est de même pour la parabole; mais alors e= i (n®209).

Le procédé indiqué au numiéro 202 pour décrire l'hyperbole d'un mouvement continu peut s'appUquer à la parabole; il suffit de prendre l'angle ABR égal à 90^.

216. Le point de contact {xf^y) d'une tangente et le point où cette tangente rencontre l'axe sont à égale distance du foyer.

La distance du sommet au point où la tangente rencontre Taxe est, en effet, égale à a:' (n" 210), ce qui donne x' -^ m pour la distance de ce dernier point au foyer.

217. La tangente est également inclinée sur l'axe et sur le rayon vecteur mené du foyer au point de contact.

Ce théorème est évident, puisque^ d'après le numéro précédent, la tangente, Taxe et le rayon vecteur forment un triangle isoscèle.

On peut aussi regarder ce théorème comme une simple extension de la propriété de l'ellipse (n® 188) relative à l'égalité des angles TPF, T'PF {fig. 78, p. 332) ; quand l'un des foyers F' s'éloigne à l'infini, la droite P F' devient parallèle à l'axe, et les angles PTF et TPF sont égaux.

La tangente menée à l'extrémité de l'ordonnée passant par le foyer fait avec l'axe un angle de 45®.