Trouver a distance du foyer aune tangente
La longueur de la perpendiculaire abaissée du point (m, o) sur la tangente
a pour valeur
2m(a:'-4-m) 2m(a/-hm) , — ; — ;
■ -- == — - — vm(VH-/w);
^ys-f-^/yi» \J l\ma:f -\- [\m^
la distance FR ijig- 76, p. 335) du foyer F à la tangente TP est donc moyenne proportionnelle entre FV et FP.
Il résulte aussi de cette expression et du numéro 21 2 que FR est la moitié de la normale, comme on aurait pu le voir géométriquement en partant de l'égalité TF = FN.
219. Exprimer la distance FR du foyer à une tangente en fonction de V angle a que fait avec Vojce la perpendiculaire, suivant laquelle est mesurée cette distance.
En se reportant au numéro 212, on a
I ~ cosa = sinFTR = i / --; ,
et, par suite (n® 218),
FR = v^m(j;'-+-m)=:
cosa
On peut donc, en prenant le foyer pour origine, mettre l'équation de la tangente sous la forme
a?cosa-l- ysma H = o,
•^ cosa
et, par suite, exprimer la distance d'un point quelconque à une tangente en fonction de l'angle que fait avec Taxe b perpendiculaire suivant laquelle est mesurée cette distance.
220. Le lieu des projections du foyer sur les tangentes est la tangente au sommet.
En prenant le foyer pour pôle, on a en effet, pour Téquationdu lieu,
p= ) pcosa = m,
^ cosa ^
et cette équation représente la tangente au sommet.
Réciproquement, si par un point F (fig, ^5, p. 335) on mène un rayon vecteur FR à une droite VR, et une perpendiculaire RP au rayon vecteur, la ligne RP sera constamment tangente à la parabole ayant F pour foyer et V pour sommet.
Nous verrons plus loin comment on peut résoudre d'une manière générale les questions de ce genre, questions dans lesquelles on omet une des conditions nécessaires pour déterminer une ligne, et où l'on demande de trouver son em^e-
DE L4 PARABOLE. 34l
loppCy c'est-à-dire la courbe à laquelle cette ligne reste constamment tangente.
221. Trouver le lieu de V intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.
L'équation d'une tangente quelconque peut s'écrire (n® 219)
X cos*a -H y sina cosa -4- m = o,
et il suffit d'y remplacer a par 90* + a pour former l'équation de la tangente qui lui est perpendiculaire. On a ainsi
X sin* a — y sin a ces a H- m :=:3 o,
et en éliminant a entre cetter équation et la précédente, et qui se fait par une simple addition, on obtient l'équation
qui représente le lieu cherché ; cette équation est celle de la directrice^ puisque la distance du foyer à la directrice est égale à 2m.
222. L 'angle compris entre deux tangentes est la moitié de l'angle sous lequel on voit du foyer leur corde de contact.
Le triangle PFT {fig. 76, p. 335 ) étant isoscèle, l'angle PTF que la tangente fait avec l'axe des x est la moitié de l'angle PFN que le rayon vecteur allant du foyer au point de contact fait avec ce même axe. D'ailleurs l'angle compris entre les deux tangentes est égal à la différence des angles que ces tangentes font avec l'axe des x] et l'angle sous lequel est vue la corde de contact est égal à la différence des angles que font avec l'axe les rayons vecteurs menés du foyer aux points de contact.
Le théorème du numéro 221 peut être considéré comme
un corollaire du précédent; en effet, quand deux tangentes se coupent à angle droit, leur corde de contact est vue du foyer sous un angle de i8o®, et, d'après la définition même de la directrice, les deux tangentes doivent alors se couper sur la directrice.
223. La droite FT qui joint le foyer F à Pintersection T de deux tangentes divise en deux parties égales l'angle PFP sous lequel on voit du foyer la corde des contacts PP'.
Les équations de deux tangentes quelconques peuvent (n^ 219) se mettre sous la forme
j?cos'a -h/sinacosx-hm = o, a:cos'p -hj'sinpcosp -i- m=io;
et, en les retranchant l'une de l'autre, on trouve, pour l'équation de la droite FT qui joint le foyer à leur intersection,
^sin(x-H p) — /CCS (oc 4- p) = o;
cette droite fait donc un angle a -h ^ avec l'axe des x^ et il est facile de voir qu'elle est la bissectrice de l'angle PFP', en observant que a et ^ représentent les angles que les perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes font avec l'axe des x^ et, par suite, que les angles formés par les rayons vecteurs FPet FP' avec ce même axe sont respectivement égaux à 2a et 20.
Ce théorème peut aussi se démontrer en calculant, comme au numéro 191, l'angle 6 — 0', sous lequel est vue du foyer la tangente menée à la parabole par un point {x^y). La relation, à laquelle on arrive pour déterminer cet angle ^
COS(ô — 6') = y
est indépendante des coordonnées du point de contact, et par
conséquent se rapporte à l'une et à l'autre des tangentes qu'on peut mener à la parabole par le point \X,y) ( ^ ).
Corollaire I. — Dans le cas particulier où l'angle PFP' est égal à i8o®, la corde de contact PP' passe par le foyer, les tangentes ÏP, TP' se coupent sur la directrice, et l'angle TFP est droit (n®192). Ce corollaire peut se démontrer directement en formant les équ tions de la polaire d'un point ( — m, y') de la directrice, et dé la droite qui joint ce point au foyer.
Ces équations peuvent s'écrire
et les droites qu'elles représentent sont perpendiculaires entre elles.
Corollaire IL — Quand une corde PP' coupe la directrice en D {fi g. 76), la droite FD est la bissectrice extérieure du
Fig. 76.
l'angle PFP. Pour la démonstration de ce corollaire, voir n'» 192, Ex. 2.
Corollaire III. — Le segment PQ(yî^. 77), déterminé sur une tangente variable par deux tangentes fixes R/?, Ry, est vu du foyer sous un angle QFP égal au supplément de l'angle PQR
(*) O. Bribn, Coordinate Geometry, p. i56.
344 CHAI^ITRE XII.
formé par les tangentes fixes ; on a, en effet, en remarquant que l'angle QRTestla moitié de l'angle p¥q (n'*222), et que
Fig- 77-
Tangle PFQ est de même la moitié depFq (n** 223),
^ = QRT' rzz i8oo - JPR^.
Corollaire IV. — Le cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à la parabole passe par le foyer.
Le cercle passant par P, Q, R {fig. 77) passe aussi par F, puisque l'angle PFQ est supplémentaire de l'angle PRQ.
224. Equation polaire de la parabole, le foyer étant pris pour pôle.
Soient p le rayon vecteur FP {fig, 78) mené du foyer au
Fig. 78.
point P, et 6 l'angle que ce rayon vecteur fait avec l'axe ; on a, d'après le numéro 214,
et, par suite,
p:r^ VM -h m =:FM 4- 2m=zpcos6 -f- 2m; ce qui donne, pour l'équation cherchée,
I — cosô
Cette équation peut, du reste, se déduire de celle du numéro 193, en y faisant e= i(n®209); les propriétés étudiées dans les Exercices du numéro 193 subsistent donc pour la parabole.
L'équation précédente suppose que 9 est mesuré par rapport à la direction FM; lorsqu'on mesure cet angle par rapport à la direction opposée FV, elle devient
-+- cos« ou bien
ou encore
p'cOSiô irr m',
et rentre ainsi dans l'équation générale
p'*cos/i6 = 0", dont nous étudierons ailleurs quelques propriétés.
§ I. — Problèhes divers.
223. La marche à suivre pour résoudre analjtiquement les problèmes qui se rapportent aux sections coniques ne diffère pas de celle que nous avons indiquée e traitant du cercle et de la ligne droite ; elle ne saurait par suite présecter aucune difficulté au lecteur qui aura étudié avec soin les solutions développées dans les Chapitres III et VII. Nou> nous bornerons donc à Texamen de quelques-uns des nombreux problèmes qui conduisent à des équations du second degré, et nous consacrerons la fin de ce Chapitre à l'exposé de certaines propriétés des sections coniques qui n'ont pu trouver place dans les Chapitres précédents-
1. Par un point fixe F (fig* 24, p. 66), situé dans un anftk donné LOK^ on mène une droite quelconque LK sur laquelle on prend un point Q tel que PL = QK; trouver le lieu des points Q.
2. Deux règles de même longueur, AB et BC {fig* 79), ^^^^ reliées par un pivot en B : l'une des extrémités A est fixe, tandis que l'autre G glisse sur la droite AC; trouver le lieu décrit par un point quelconque 1^ pris sur BG.
3. Dans un triangle, on donne la hase et le produit des tangentes des moitiés des angles à la base; trouver le lieu du sommet,
Fig- 79-
Gela revient à se donner la somme des côtés, ainsi qu'on peut s'en assurer en écrivant la valeur du produit des tangentes en fonction des côtés; le lieu est donc une ellipse ayant pour foyers les extrémités de la base.
4. Dans un triangle^ on donne la base et la somme des côtés; trousser le lieu du centre du cercle inscrit.
Ce lieu s'obtient facilement, en partant de l'Exercice précédent et de l'Exercice 4 du numéro 49 ; c'est une ellipse qui a pour sommets
. les extrémités de la base donnée.
5. On donne la base et la somme des côtés; trouçer le lieu de l'intersection des médianes,
6. Trouver le lieu des centres des cercles qui déterminent des segm,ents de longueurs données sur deux droites fixes,
7. Trouver le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles, ou tangents à une droite et à un cercle,
8. Trouver le lieu des centres des cercles qui passent par un point fixe et déterminent un segment de longueur donnée sur une droite fixe,
9. Trouver le lieu. des centres des cercles qui passent par un point donné P et déterminent sur une droite fixe un segment vu du point P sous un angle donné,
10. Deux des sommets d'un triangle de forme invariable glissent sur deux droites fixes; trouver le lieu décrit par le troisième sommet,
