Un triangle ABC {le forme variable est circonscrit à un

348 GHAPITRB XIII.

cercle donné; l'angle G est donné et le sommet B glisse sur une droite fixe; trouver le lieu décrit par le sommet A.

Prenons pour pôle le centre O du cercle, et pour axe polaire U perpendiculaire abaissée sur la droite fixe. Soient p,6, p',0' les coordonnées de A et de B ; j[7 la distance du point O à la droite fixe; r le rayon du cercle ; a l'angle AOB.

Le triangle AOB, qui a pour hauteur r et pour angle au sommel a r= 90° 4- ^ G, donne

pp* sin oc r — ^^

/p* -+- p'* — a pp' cos a '

et comme on a à la fois

p'cosd'=/?, 6-4- 6'= a,

il vient pour Téquation polaire du Heu

jp*p*sin'a

rï =

p*cos*(a — ô)-h/>* — 2/>pcosacos(a — 6)^ cette équation représente une conique.

12. Trouver le lieu des pôles, par rapport à une conique A, des tangentes à une autre conique B.

Soient (a, p) un point du lieu, Xa? -f- }3.y -4- v sa polaire par rapport i la conique A. Les coefficients X, (xetv sont (no89) des fonctions di. premier degré en aetp, et comme (n'>i51) la condition pour que Xar-h jx^-h V touche la conique B est du second degré en X, jiL,v, l en résulte que le lieu cherché est une conique.

13. Dans une conique à centre, trouver le lieu de V intersection de la perpendiculaire abaissée du foyer sur une tangente, avec le rayon vecteur allant du centre au point de contact,

La directrice correspondante.

14. Trouver le lieu de V intersection de la perpendiculaire abaissée du centre sur une tangente, avec le rayon vecteur mené du foyer au point de contact.

Un cercle.

15. Trouver le lieu de l'intersection des tangentes menées aux eacirémités de deux diamètres conjugués,

X^ yS

Réponse. -^ -H tï = a-

Cette équation s'obtient facilement en ajoutant les équations des deux tangentes après les avoir élevées au carré, et en tenant compte des résultats obtenus au numéro 172.

16. Partager un arc de cercle en trois parties égales. Les points de division sont sur une hyperbole (no49, £x. 7).

17. Trouver le lieu de V intersection des diagonales des trapèzes construits sur une base fixe, et dans lesquels la longueur de l'autre base est donnée ainsi que la somme des deux côtés non parallèles.

18. Un parallélogramme est circonscrit à une ellipse; l'un de ses sommets glisse sur une directrice; prouver que le sommet opposé décrit l'autre directrice, et que les deux autres sommets restent sur un cercle ayant le grand axe de V ellipse pour dior^ mètre.

226. Les problèmes suivants se rapportent aux propriétés focales des sections coniques.

Exercices.

{.Dans une conique, la distance d^un point au foyer est égale au segment intercepté sur l'ordonnée de ce point par le grand axe et par la tangente menée au point dont l'ordonnée passe par le foyer.

2. Par un foyer on mène une droite faisant un angle donné avec une tangente quelconque; trouver le lieu de l'intersection de cette droite avec la tangente.

3. Trouver le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à une série de coniques confocales.

Les coordonnées rr et ^ du pôle de la droite

X y .nt A

X^ yl

par rapport à la conique — -+- -^ = i, sont définies par les équations

35o CHAPITRE XIII.

mx = a'^, ny=^b^ (nolgQ). Quand les foyers de la conique sont donnés , a* — 6< = c> est connu : le lieu cherché a donc pour équation

mx — ny = c* ;

c'est une droite perpendiculaire à la droite donnée.

Lorsque la droite donnée touche une des coniques, son pôle, par rapport à cette conique, n'est autre chose que le point de contact; on a alors le théorème suivant : Les tangentes menées à une conique S par les points A et B, où elle rencontre la tangente AOB menée à une conique confocale S' par un point quelconque Oj se coupent sur la normale correspondante à la tangente AB.

4. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées à un système d'ellipses confocales par un point du grand axe.

Un cercle.

5. Les droites, qui joignent chacun des foyers à la projection de Vautre foyer sur une tangente, passent par le milieu de la norm,ale correspondante,

6. Onprend le foyer pour pôle ; démontrerque la corde, passant par les points dont les coordonnées angulaires sont a h- p, a — p, a pour équation polaire

-^ = ecosB-f- sécBcos(6 — a).

Cette équation a été indiquée par M. Frost (i); elle se déduit facilement de Texpression donnée au numéro 44 (Ëx. 3).

7. La tangente au point, dont la coordonnée angulaire esta, a pour équation

^ = e cos6 -\- cos(6 — a), ap

Cette relation a été indiquée par M. Davies (').

(*) Cambridge and Dublin Math, Journal, t. I, p. 68; — Walton, ExampleSf p. 875.

(') Philosophical Magazine, 184a, p. 19a; — Walton, Examples, p. 368.

THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 35l

8. Par un point fixe O, on mène à une conique de foyer F une corde PF; démontrer que le produit

tangjPFO.tangiP'FO

est constant, quelle que soit la direction de la corde.

Ce théorème a été, croyons-nous, indiqué par M. Mac Gullagh; on peut le démontrer en partant de l'équation de TExercice 6 ( * ) ; mais on peut aussi le démontrer, ainsi que Ta fait M. Mac Gullagh, en s'appuyant sur de simples considérations géométriques.

Supposons que le point O soit pris sur PP' {fiff. 76), et soit e' le rapport de FO à la distance du point O à la directrice. Les distances de P et de O à la directrice étant proportionnelles à PD et OD, on a

FP . FO e PD * OD ~ e

ce qui donne

sinPDF . sinODF sinPFD • sinOFD ~ e

ou, en se reportant au numéro 192,

cosOFT £, cosPFT ~ e'*

cl comme (n® 191) les angles PFT et OFT sont respectivement é^aux

à la demi-somme et à la demi-différence de PFO et de P'FO, il \'ient

tangjPFO.tangiPFO = î^,*

Il est d'ailleurs évident que le produit de ces tangentes reste encore constant lorsque le point 0, au lieu d'être fixe, se déplace sur une conique ayant même foyer et même directrice que la conique donnée.

9. Former la condition pour que la corde, qui joint les deux points {a^,y)et{x%y) de la courbe, passe par un foyer.

On peut exprimer cette condition de bien des manières différentes; les expressions les plus usitées sont celles qu'on obtient en

(•) Waltok, Examples, p. 877.

352 CUAPITRS XIII.

écrivant que les droites, menées du foyer aux points ( a/, ^), (s^,/ font avec Taxe des angles 6' et 6' tels que ô' = ô'-h iSo*. On trouve ainsi, en exprimant que sinô' = — sinô",

a — ex a — eor j j f j j ^

et, en observant quecosô'= — cosO", a/ — c af — c

a — ex' a — ex

7, = o, leadaf -{a^ ce){(xf -\-af)^iac = Q.

10. Par les extrémités d*une corde focale on mène des normales à une conique, et par V intersection de ces normales on mène une parallèle au grand axe; démontrer que cette parallèle divise la corde en deux parties égales ( ' ).

La normale étant la bissectrice de l'angle formé par les rayoos vecteurs qui partent des foyers, le point d'intersection des normales menées aux extrémités d'une corde focale coïncide avec le centre du cercle inscrit dans le triangle qui a pour côtés cette corde focale et les droites qui en joignent les extrémités au deuxième foyer, autrement dit, dans le triangle qui a pour sommets (a?', j'), (x^'^y), { — c,o), et dont les côtés ont pour longueur

{a-\-ex'')y {a-i-ea/), (%a -ea/ — ea^).

Il est d'ailleurs facile de voir, en se reportant au numéro 7 ( Ex. 6 ), que dans le triangle qui a pour sommets (a/, y), (af^y), {x*,y'\ et dont les côtés ont pour longueur a, 6, c, les coordonnées x et/ du centre du cercle inscrit sont

aa/->r hc^ -^ ca^ ay -\- hy -f- cy

On aura donc, pour l'ordonnée de l'intersection des normales,

(a-+- ex')y' -\- (a-î- ex^)-/

(*) La démonstration que nous indiquons ici est due à M. Larrose (Nouvelles Annales de Mathématiques de Tbrqukm et Gbrono, i" Série, t. XIX, p. 85).

THÉOBàMES ET PHOBLEMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 353

eiipression qui, en tenant compte de la première équation de l'Exercice précédent, se réduit à

ce qui démontre le théorème.

On trouverait de même pour Tabscisse

(a -4- eaf)a/'^(a-¥- ea/)a:^ — (aa — ea/ — eaf)c

valeur qui se réduit à

__ (a -^ ec){af -^ af) — lac

eu égard à la deuxième équation de TExercice précédent.

On obtiendrait des expressions analogues pour les coordonnées de l'intersection des tangentes menées par les extrémités de la corde focale, puisque cette intersection est le centre de l'un des cercles exinscrits au triangle considéré plus haut : la droite, qui joint Tintersection des normales à l'intersection des tangentes, étant la bissectrice de Fangle du triangle opposé à la corde focale, passe évidemment par l'autre foyer.

H. Trouver le lieu des intersections {x, y) des normales menées aux extrémités dHune corde focale.

Soient oe et p les coordonnées du milieu de cette corde; on a, d'après l'Exercice précédent,

et il suffit de substituer ces valeurs aux coordonnées courantes dans l'équation du lieu décrit par le point (a, p) pour obtenir le lieu des points {x^y).

Le lieu des milieux des cordes focales a pour équation polaire (no 193)

1 / I r\ __ — ^' ^ COSÔ

et, par suite, pour équation en coordonnées rectangulaires ayant le centre pour origine

S. — Geom. à deux dim, 93

on a donc, pour Téquation du lieu cherche, 12. Par un point P (^^. 80), on mène à une ellipse les tan-

gentes VT, P<; démontrer que Von a [n»!94 (c?)], en désignant par 6 V angle compris entre les tangentes, et par p, p' /w distances du point P aux foyers ¥et¥',

cos 0 = ^ !- — ; •

2pp

On a, en effet (n» 189),

sinÏPF.siniPL = pp pp. = -.;

et comme

cos

m^' — cosfp^ = 2sinfpF.sin«PF, il vient

2 pp' cos fïTF^ = p2 H- p'2 — 4 c«.

13. Par un point quelconque O on mène deux droites qui passent par les foyers d'une ellipse donnée, ou qui touchent une conique confocale avec cette ellipse : ces droites coupent l'ellipse aux points R, R', S, S' ; démontrer que l'on a (n»231, Ex. lô)

En se reportant à l'équation du Second degré qui détermine (n^ 136) les rayons vecteurs menés par un point quelconque à une courbe du second degré, on reconnaît que la différence des réciproques de*"

racines est la même pour les deux directions 6 qui correspondent à une même valeur de Texpression

(oc — ^2)cos*0 -i- 2(c/i — ^/)cos6 sine -h(6c — /^)sin«6. Cette quantité, qu'on peut écrire

A cos*0 -+- 2H cos6 sinO -h B sin^ô,

ne change pas si Ton prend pour 6 l'une ou l'autre des valeurs qui correspondent aux directions des droites faisant le même angle avec les deux droites représentées par l'équation

Ax- -h aHarj -h B7» = o ;

ces deux droites sont les tangentes menées à la courbe par le point O (no 147), et Ton sait qu'elles sont également inclinées sur les droites qui joignent le point 0 aux foyers, ainsi que sur les tangentes menées par le point O à une conique confocale (no 189).

Gomme conséquence de ce qui précède, on peut encore ajouter que les cordes d'une conique, qui sont tangentes à une conique confocale, sont proportionnelles aux carrés des diamètres qui leur sont parallèles (no 231, Ex. 15).

227. Les problèmes suivants sont relatifs à la parabole; îl est facile de distinguer ceux qui, dans le numéro précédent, peuvent aussi se rapporter à cette courbe.

1. Trouver les coordonnées x et y de l'intersection des tangentes menées en (a/,/), (afyy)à la parabole y- =px.

Réponse. y^-L—^, """"p"

•l. Trouver le lieude V intersection de laperpendiculaire abaissée dufover sur une tangente avec le rayon vecteur mené du sommet au point de contact.

3. Les hauteurs du triangle formé par trois tangentes se cou^ pent sur la directrice ( * ).

(») Steocer, Annales de Gergonne, t. XIX, p. 69; - Walton, p. 119.

L'équatioQ d'une de 'ces hauteurs peut s'écrire (no32)

yy"-yy ( ^ yy"\ ^f-y t., y-^y^

ou, en divisant par^' — y^

p\ y y y' , py p^y-^y^y) __ ^

pi i

La symétrie de cette équation montre que les trois hauteurs se coupent sur la directrice à une distance de l'axe des x :

^ '^yyy , y-^y-^y

4. Uaire du triangle formé par trois tangentes est la moitié de l'aire du triangle qui a pour sommets les points de contact ( ' ).

En substituant les coordonnées des sommets de ces deux triangles dans l'expression du numéro 36, on trouve, pour Faire du deuxième triangle,

et la moitié seulement de cette quantité pour l'aire du premier.

5. Trouver une expression du rayon du cercle circonscrit à un triangle inscrit dans une parabole.

Le rayon R du cercle circonscrit au triangle ayant d, c,/ pour

def côtés et S pour aire, a pour valeur -jy ; d'ailleurs si d est la longueur de la corde qui joint les points ix',y), (af,y), et 6' l'angle que cette corde fait avec l'axe, on a évidemment rfsin6'=^— /*. On aura donc, en partant de l'expression de £ donnée dans l'Exercice précédent,

asine'sinO'sinO"''

On peut aussi exprimer ce rayon en fonction des cordes focales c'j (fy c" menées parallèlement aux côtés du triangle, puisque la lon-

(') Grbgohy, Cambridge Journal, t. If, p. i6; — Walton, p. iS?. Koir aussi Salmon, Leçons d'Algèbre supérieure, traduction française, n* 21, Ex. Xil-

THÉORÈMES ET PROBLÊUES SUR LES SECTIONS CONIQUES. SSj

gueur de la corde focale c, faisant un angle 0 avec Taxe, est égale è

-r^ (n« i93, Ex. 2). On a ainsi sin*6 ^

Rî =

et il résulte du numéro 212 que </, d'y c^sont les paramètres des diamètres correspondant aux cordes qui forment le triangle.

6. Trouver lavaleur du rayon R du cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à une parabole, en fonction des angles 6', 0*, 6" que ces tangentes font avec l'axe.

Réponse. R =

SsinÔ'sine'sinO'" On a aussi

p'iP'fP'^ étant les paramètres des diamètres qui passent par les points de contact (n»2i2).

7. Trouver l'angle çp compris entre les deux tangentes menées par le point {af,y)à la parabole ^* = 4 'war.

En procédant comme au numéro 92, on trouve, pour Téquation des tangentes menées par {af,y\

(y^ — imx')(jr* — imx) r= [jry ^ ^m{x -h x')]*f

et, par suite, pour l'équation des parallèles menées à ces tangentes par l'origine,

x'y^ — yxy -h mx^ = o,

ce qui donne (n<> 74), pour l'angle <p,

tango =

8. Trouver le lieu des sommets des angles 9 dont les côtés sont tangents à la parabole.

Réponse. y^ — ^mx'=(x-\-m,)'^X.9Xï^^. En mettant cette équation sous la forme

y* H- (ar — m)* = (a? -4- m)* séc«<p,

358 GHAPITRB XIII.

on voit que l'hyperbole qu'elle représente (n*» 186) a même loyer et même directrice que la parabole^ et que son excentricité est égale à sécf.

9. Trouver le lieu des projections du foyer sur les normales.

La longueur de la perpendiculaire abaissée du foyer (m, o) sur la normale ^m{y — y)+y(a? — a/) = o a pour valeur

et si Ton désigne par d l'angle que cette perpendiculaire fait avec l'axe (no 212), on a

ine = 4/-^, cose = 4/^^;

on trouve ainsi^ pour l'équation polaire du lieu,

__ m cos6 ^^ sin«Ô '

et pour l'équation en coordonnées rectangulaires y^ = mx.

10. Trouver les coordonnées x et y de V intersection des normales menées aux points (a/,y ), {af^y") de la courbe.

Réponse.

On a aussi, en désignant par aet ^ l'intersection des tangentes correspondantes (Ex. 1),

11. Trouver les points de la courbe dont les normales passent par un point donné (a/, y).

En éliminant â? entre l'équation de la normale et celle de la courbe, on trouve, pour déterminer les ordonnées de ces points, l'équation

ajK' H- (/>* — 'ipa/)y =P^y, dont les trois racines vérifient la relation

il en résulte que la corde déteruiinée par deux de ces points fait, avec Taxe de la parabole, le même angle que la droite qui joint le troisième au sommet.

i2. Trouver le lieu de V intersection des normales menées aux ea:trémités des cordes guipassent par un point fixe {x^y y)-

Soient oc, ^ les coordonnées du pôle de Tune de ces cordes ; on a 3j^= 'im{x^'^ a), et en éliminant successivement a et p entre cette équation et celle de l'Exercice 10, on trouve, pour le lieu cherché, réquation

2[im(y—y)-hy{x — x^)]* = (4 ma/ — y*)(yy-4- aa/a: — \ma/ — aa/*),

qui représente une parabole dont l'axe est perpendiculaire à la polaire du point donné. Quand les cordes, au lieb'de passer par un point fîxe, sont parallèles à une droite fixe, le lieu se réduit aune ligne droite comme cela est, du reste, évident d'après l'Exercice il.

13. Trouver le lieu des intersections des normales qui se coupent ù. angle droit.

On a^ dans ce cas, % = — m, a? = 3w-f-— > y—?i y^ = m{x — 3 m).

14. Trouver le param,ètre p d'une parabole connaissant les longueurs a et b de deux tangentes, et l'angle a> qu'elles font entre elles.

Menons le diamètre correspondant à la corde de contact; le para-

mètre p' de ce diamètre est />' = ' — > et le paramètre principal est

r*sin*ô m'y*

car étant la distance de l'intersection des tangentes àla corde de contact. On a d'ailleurs

asy^ = a6sin(i) et i6jr* = a*-K6*-H2a6 cosco,

ct| par suite,

^"•^•^'"*" j (no 207).

(a* -h 6* H- 2a6 cosfi))*

36o CHAPITRE XIII.

15. Démontrer, en partant de l'équation du cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes, que ce cercle passe par le

foyer.

Le cercle circonscrit à un triangle a pour équation (no 124)

Py sin A H- Y» sin B -h a^ sin C = o,

et le terme absolu, qu'on obtient en remplaçant les abréviations a. ... par leurs valeurs développées ajcosa -f-j^sina — /?,•■•, a pour expression

/)'/?" sin (p — Y)"^/^Vs'"(ï — a) -+-/>/?' sin (a — P).

Lorsque a représente une tangente à une parabole, et que le foyer esl

m, pris pour origine, on a (n® 219) j? = > et le terme absolu, qui

peut alors se mettre sous la forme

ô rsin(S — Y)cosa-hsin(Y — a)cosS-hsin(a — B)cosy],

cosacospcosY ^^ »/ \» / r \ r/ iJ

est identiquement nul.

16. Trouver le lieu de l'intersection des tangentes menées à la parabole, étant donné : i® le produit des sinus; 2® le produit des tangentes; S® la somme^ ou 4** Ict^ différence des cotangentes des angles que ces tangentes font avec l'axe.

i<^ Un' cercle; a<» une droite; 3^ une droite; 4^ une parabole.

228. Indiquons encore quelques problèmes pour terminer ce paragraphe.

Exercices.

1. L'hyperbole équilatère circonscrite à un triangle passe par l'intersection des hauteurs de ce triangle (*).

Prenons pour axes un côté du triangle et la hauteur correspondante. L'équation d'une conique, rencontrant les axes en quatre points déterminés, peut s'écrire (n^ 151, Ex. 1):

fxjx'a:' -\- ihxy -h XX'^» — |xp.'(X -h X')a7 — XX'( fx -h ^)y -+- XX' (ijx' = o,

(*) Briangron et Poncblbt; — Gergonnb, Annales, t. XI, p. 2o5: — Waltox, p. 283.

THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIOVES. 36l

et elle représente une hyperbole équilatére lorsque, les axes étant

rectangulaires, on a X)/= — [i[jL'(no 174). Dans le cas actuel, les

trois segments X, X' et [a sont connus, et la condition XX' = — |x|i.'

permet de déterminer le quatrième segment fx'; l'hyperbole rencontre

XX' donc la hauteur au point fixe ^ = > qui est Tintersection des

trois hauteurs du triangle (n^ 32, Ex. 7).

2. Quel est le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle ?

Le cercle passant par les milieux des côtés (n<> 151, Ex. 3).

3. Trouver la condition pour que, par rapport à une conique donnée par l'équation générale, le pôle de l'axe des x soit sur l'axe des y, et réciproquement.

Réponse. hc =/g'

4. Trouver la condition pour que, dans une conique définie par l'équation générale (n» 133), l'une des asymptotes passe par l'origine.

Réponse. a/* — ^/gà -4- bg^ = o.

5. Le cercle circonscrit à un triangle autopolaire, par rapport à une hyperbole équilatére (n® 99), passe par le centre de l'hyperbole (*).

Quand la condition de TExercice 3 est remplie, Féquation du cercle, passant par l'origine et par le pôle de chacun des axes, peut s'écrire

h{x^ ■+• 'jLxy cosfi) -'ry^)-\-fx -h gy = o.

ou bien

x{hx-^ by -h f) -^ y (ax -^^ hy -\- g) — («4-6 — a^cosco)^^ = o,

et cette équation est évidemment vérifiée par les coordonnées du rentre de la courbe si l'on a

a-H 6 = aAcosu),

(*) Briarcbon et Poncilet; — Gracoimi, Annales, t. XI. p. a lo; — Walton,

36a CHAPITRE XIII.

c'est-à-dire quand la courbe directrice est une hyperbole équilatère (nM74,'l74).

Cette proposition n'est qu'un cas particulier du théorème suivant : Quand deux triangles sont autopolaires par rapport à une même conique, leurs six sommets sont situés, sur une même conique (no 375, Ex. 1).

6. Tout cercle passant par le centre d'une hyperbole équilatère et par deux points quelconques pa^se aussi par l'intersection des parallèles menées par chacun de ces deux points à la polaire de l'autre.

7. Trouver le lieu des intersections des tangentes qui interceptent sur une droite fixe un segment de longueur constante.

Prenons cette droite pour axe des x. Les racines de l'équation du second degré, obtenue en faisant ^ = o dans l'équation des tangentes menées par {x^,y) à une conique quelconque (n<» 92), représentent les segments comptés à partir de l'origine, que déterminent ces tangentes sur l'axe des x. En exprimant que la différence de ces racines est constante, on trouve l'équation du lieu, qui est en général du quatrième degré.

Quand la droite fixe est tangente à la conique, on a^> = oc; l'équation du lieu devient divisible par y^f et se réduit au deuxième degré.

On trouverait de même le lieu des intersections des tangentes, qui déterminent sur une droite ûxe et à partir d'un point donné, des segments dont la somme, le produit, etc., sont constants.

8. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère.

Prenons des axes quelconques, et soit a?cosct-f-^sina— /) = o l'équation d'un des côtés du quadrilatère; soient, en outre, :r et ^ les coordonnées du centre de l'une des coniques, et 0 l'angle sous lequel l'axe des x rencontre le grand axe de cette conique. Dans ces conditions, l'angle compris entre ce grand axe et la perpendiculaire au côté du quadrilatère a pour valeur a — 6, et l'on a, d'après le numéro 178,

(j7Cosa-+-j'sina— /j)*= a' cos*(a — 0)h- 6*sin*(a — ô),

ou, en développant et remplaçant, pour abréger (n^SS),

a?cosa4-j^sina — p

par oe,

a* = ( rî^ CCS* 6-4-6* sin* 6 ) ces* a

2(a* — 6*) cosô sinô cosa sina H-(a' sin'ô -4- 6' cos*6) sin'a.

On obtient ainsi quatre équations, entre lesquelles on peut éliminer a', b*, 6, ou plutôt les trois quantités

a» cos« 6-4-6» sin» 6, ( a« — 6» ) cos 6 sin 6, a* sin» 64-6* cos* 6.

Le lieu est donc donné par Téquation

a* cos*a cosa sin a sin* a P* cos*p cos^sinp sin*p

Y* cos*Y cosY sin Y sin*Y §* cos*S cosS sin 8 sin*8

c'est-à-dire par

Aa«-!- Bp«-*- GY*-i- D8« = o,

Â, B, G et D étant des constantes. Cette équation, qui est en apparence du deuxième degré, est en réalité du premier. En effet, si, avant de développer le déterminant, on y remplace les quantités ^} P> ï) ^ P^r leurs expressions en x et y, on voit que les termes en X*, qui appartiennent aux éléments de la première colonne, ont respectivement cos»ot, cos*p, cos*y» cos'S, c'est-à-dire les éléments d'une autre colonne pour coefficients; et, par suite, que le terme en a?^ disparait dans le développement. Il en est de même* des termes en y* et en xy. Le lieu cherché est donc une ligne droite, et on peut le construire géométriquement, en observant que la polaire d'un point quelconque, par rapport à une des coniques, a pour équation

Attoc'-i- Bpp'-^ Gyy'-+- D88' = o,

et^ par conséquent, que la polaire de (a, p) passe par (y^ $)• D'ailleurs, quand une conique se réduit à une droite, par suite de l'évanouissement des termes du deuxième degré de son équation, la polaire d'un point quelconque est parallèle à cette droite, qui divise alors en deux parties égales la distance du point à sa polaire. Ge lieu cherché partage donc en deux parties égales les droites menées par les points (a, p) et (7, 8), (a, y) et (P, 8), (a, 8) et (p, y), c'est-à-dire les diagonales du quadrilatère 3Py8.

Réciproquement, si Ton se donne, sous une forme quelconque, les équations a = o, ... de quatre droites, l'équation de la droite qui passe par les milieux des diagonales du quadrilatère qu'elles forment peut s'obtenir en déterminant les constantes de la relation

Aaî-h Bp*-t- Gy«-+- D8« = o,

de telle sorte que cette équation représente une ligne droite.

La solution que nous venons de donner a été indiquée par M. P. Serret (1).

9. Trouver le lieu des centres des coniques inscrites dans un triangle, et dont les axes aetb vérifient la relation à^ -\-b^ = A:'.

Cette relation peut se mettre sous la forme

A-» = (a« cos«0 -h 6« sin«e)-+-(a« sin«e -h 6« cos'O)

et comme la première condition du problème fournit trois équations analogues à celles de l'Exercice précédent, on a, pour l'équation du lieu,

a* cos'a cosasina sin^a P' cos*p cos^sinp sin*p

Y* cos'y cosYsiuY sin*Y A:' I. o I

Cette équation, qu'on peut mettre sous la forme

Aa2 -h B pî -4- C Y^ -H D = o,

représente un cercle, comme il est facile de le voir, en suivant la même marche que dans l'Exercice précédent, et en observant que, dans le développement du déterminant, le terme en xy disparaît et que les termes en ar* et y^ ont même coefficient. Mais quand un cercle a pour équation Aa^H- Bp2| Qy' = o, son centre est le point de concours des hauteurs du triangle a^Y» l^ lieu cherché, dont l'équation ne diffère de la précédente que par une constante, est donc (n^ 81) un cercle ayant pour centre le point de concours des hauteurs du triangle circonscrit aux coniques.

Quand les coniques sont des hyperboles équilatères, Ar' est nul, et on voit que l'on peut inscrire deux hyperboles de cette espèce dans un quadrilatère donné. Les centres de ces hyperboles se trouvent

(*) Nouçelles Annales de Mathématiques, 2" Série, t. IV, p. i45.

à rintersection de la droite joignant les milieux des diagonales, et de Tun quelconque des quatre cercles qui ont pour centres les points de concours des hauteurs de chacun des quatre triangles que Ton peut former avec les côtés du quadrilatère. Il en résulte que ces quatre cercles passent par deux points fixes, et, par suite (n^ 109), que les quatre points de concours des hauteurs appartiennent à une même droite, perpendiculaire à la ligne qui joint les milieux des diagonales (n» 268, Ex. 2).

10. Trouver le lieu de l'un ou de Vautre des foyers des coniques circonscrites à un quadrilatère.

La distance p d'un des sommets (^x\y) du quadrilatère à l'un des foyers a pour expression (n» 186)

p = Aar'-hBy-hC,

et, en éliminant A, B et G entre cette équation et les trois équations analogues fournies par les autres sommets, on obtient l'équation

qui peut se mettre sous la forme

Ip -h /?ip'+ np'-^pp' = o,

en développant le déterminant du premier membre. Il est d'ailleurs facile de voir, en examinant (n<^ 36) la signification géométrique des coefficients /, m, n et /?, que cette équation n'est que l'expression du théorème de Môbius

OA.BGD H- OG.ABD = OB.AGD + OD.ABG,

sur les distances OA, OB,..., du foyer O d'une conique aux sommets A, B, G, D d'un quadrilatère inscrit, et sur les aires BGD,... des triangles que l'on peut former avec ces sommets (n® 94). Il en résulte que

et que l'équation du lieu, que l'on obtient en substituant à p, p', .••)

leurs valeurs ^(x — a?')» h- (y —y)*, • • • , et en faisant disparaître les radicaux, est en réalité du sixième degré et non du huitième, comme

on pourrait le croire. Pour faire disparaître les radicaux, en donnant à chaque radical le double signe, il suffit, en effet, de faire le produit des huit facteurs l p dz mp' dz np' ±: p p' ; le terme contenant x et > à la plus haute puissance s'obtiendra en multipliant (jr>+jS)^par le produit des huit facteurs Idzmdzn dzp, et il s'annulera, puisque ce produit sera lui-même nui en raison de la relation

Lorsque les sommets du quadrilatère sont sur un cercle, le iien se décompose en deux autres, qui sont respectivement du troisième degré, ainsi que Tont fait voir MM. Sylvester et Burnside.

On a en effet, d'après le théorème de Feuerbach (n<» 9i),

/pî -î- mp'- -^ np'- -hjDp'^ = o;

ou, en observant que /-t-m-h/i-h/^ =o,

(/4-m)(/p2-f-mp'*) = (/n-y?)(/ip'*-f./>p''2),

et, si l'on retranche cette expression de la relation obtenue ci-dessus et mise sous la forme

(/p-+-/np')« = (np'-+-^p')«,

on obtient l'équation

qui se décompose évidemment en deux facteurs. En combinant chacun de ces facteurs avec la relation Ip -h mp' -^ np' -^pp' = o, on arrive à un résultat de la forme Xp -h [xp' -f- vp' = o, où X -f- jx -i- V = o, et qui représente une courbe du troisième degré.

§ II. — De l'angle excentrique (*).

229. L'emploi d'une seule variable au lieu de deux coordonnées x^ et y, pour définir la position d'un point sur une courbe, est toujours avantageux lorsqu'il est possible; aussi, dans la discussion de certaines propriétés de l'ellipse, substi-

(*) L'emploi de cet angle a été indiqué par M. O'Brien {Cambridge, MathematiccU Journal^ t. IV, p. 99 ).

tuerons-nous aux coordonnées courantes x' et y' les expres-

sions

ar'nzacosç, y^ôsinç,

analogues à celles dont nous avons fait usage dans le cas du cercle (n® 102). Ces substitutions sont évidemment compatibles avec l'équation

La signification géométrique de l'angle 9 se rattache au mode de construction du numéro 163, qui consiste à tracer l'ellipse, en contractant, dans le rapport de a à 6, toutes les ordonnées QL {Jig' 81) du cercle décrit sur le grand axe AA' comme diamètre. L'angle 9, correspondant au point P de Feilipse ayant même abscisse x^ = CL que le point Q du

cercle, est précisément égal à l'angle QCL formé en joignant le centre C au point Q. On a, en effet,

CL = CQ cos QCL = a cos QCL, QL = a sin QCL,

et, par suite,

a:'r=acosQCL, /=-QL — 6cosQCL.