Si l'on mène par le point P une parallèle PN au
rayon CQ, on a
PM:GQ::PL:QL::6:a,
ce qui donne PM = 6, puisque CQ = a, PM = 6 ; et comme PN = a, il en résulte que, si Von mène par le point P d'une ellipse une droite PN, de telle sorte que la longueur de cette droite, limitée au petit axe, soit égale à a, la portion de cette droite comprise entre le point V et le grand axe sera égale à b.
En prolongeant l'ordonnée PQ jusqu'en Q', où elle rencontre le cercle une deuxième fois, on démontrerait de même que la parallèle PN' menée au rayon CQ' par le point P est divisée en ce point en deux segments de longueur <^onstante a et b. Donc, si les extrémités M et N d'une droite MN de longueur constante glissent sur les côtés d'un angle droit, un point quelconque P de cette droite décrit une ellipse ayant pour axes MP et NP (n*» 49, Ex. 12).
On a construit sur ce principe un compas elliptique qui permet de décrire une ellipse d^un mouvement continua. Cet instrument se compose de deux règles CAetCD, disposées à angle droit, et d'une règle mobile de longueur constante MN, dont les extrémités peuvent glisser le long des règles fixes : un crayon est adapté à la règle mobile. Quand on fait mouvoir cette règle, le crayon décrit une ellipse, à moins qu'il ne se trouve au milieu de MN, auquel cas, il décrit un cercle (').
231. L'emploi de l'angle 9 fournit un moyen très simple de construire géométriquement le diamètre conjugué d'un diamètre donné.
Si l'on observe qu'on a en général
tango =*^ = -«^aï»g?> (*) O'Bribn, Coordinate Geometry, p. 11 a.
la relation (n** 170)
devient
et donne
tango tangO' =
lang<ptang9'i= — i,
Pour construire le diamètre conjugué P'C du diamètre CP {Jig- 82), on peut donc procéder comme il suit : prolonger
Fig. 82.
l'ordonnée PM du point P jusqu'à sa rencontre Q avec le cercle décrit sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre; joindre QC, et mener le rayon CQ' perpendiculaire à CQ ; l'ordonnée Q'M' coupera Tellipse au point P', extrémité du diamètre cherché.
En partant de cette construction, on retrouve facilement les expressions données au numéro 172 pour les coordonnées x^ et y de P'. On a. en effet,
cos'i' = sin<p, sino'^r — cos«p,
par suite,
et il résulte de ces valeurs que les triangles PCM, P'CM'sont équivalents.
S. — Géom. à deux dim. , a4
370 GHAPITEB XIII.
Exercices.
1. Exprimer les longueurs de deux diamètres conjugués en fonction de V angle cp.
Réponse, a'* = a* cos'cp -f- 6* sin*^ , 6'* = a* sin^îp -i- 6' cos'o.
2. Trouver l'équation d'une corde en fonction des coordonnées ^ et f^' de ses extrémités (n® 102).
|cos|(ç-4-9')-h|sini(©.ho') = cos|(o-?').
3. Trouver l'équation de la tangente en fonction de la coordonnée 9 du point de contact.
Réponse. -coso^-*^sinïp = i.
4. Exprimer la longueur D de la corde qui joint les points s et ^. On a successivement
D* = a*(cosa — cosP)*-f- 6'(sina — sin^}»,
D =2sin|(x— p)[a«sin4(a-^?)-«-6'cos«i(a-^3)J2f
ou, en représentant par b' la longueur du demi-diamétre parallèle à la corde,
D=:a6'sini(a— ?);
cette dernière expression ^'obtient en observant que la quantité qui se trouve entre parenthèses dans l'expression précédente représente le demi - diamètre conjugué de celui qui passe par
le point|-(aH- p)(Ex. 1); et que la tangente menéeaupoint|(a-}- ,3) est parallèle à la corde passant par les points a et ^ (Ex. 2 et 3).
5. Trouver l'aire S du triangle formé par les trois points (t, p, ^f. On a, d'après le numéro 36,
aS = a6[sin(a — - P)-i- 8in(P — Y)-^ sin(Y — a)]
= aé»[!isini(a~-!3)cos{(a-?)— 2sin^{a-~P)cosi(aH-?-2Y)î = 4a6sin{(a^.3)sin|(P^7)sinl(Y-a),
THÉORâlIES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 871
et enfin
S = lab sin-^( 2 — ?) sin{( ? — 7) sin|(Y — a).
6. Vaire de tout triangle inscrit, dont les médianes ont pour point de concours le centre de la courbe, est constante.
7. Trouver le rayon R du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points a, pet y.
Soient d, e,f les côtés et £ Tair de ce triangle, on a
defb'b'b' 42 "" ab '
b\ b'j b' étant les demi-diamètres parallèles aux côtés du triangle : si Ton désigne par c', c'y c"" les cordes menées par le foyer parallèlement à ces côtés, on a aussi (n^ 227, Ex. 5)
8. Trouver l'équation du cercle circonscrit à ce triangle. Réponse.
x^+y^ ^^ cos|(a-h p)cos|(PH- y)cos^(YH- a)
^(^'~^')7sin.l(a-h3)sin|(p-f-Y)sinl(Y-f-«) = }(a«-l-6«) — -J(a«--6«)[cos(a-i-?)H-cos(P-hY)-i-cos(Y4-a)l.
