Démontrer que

tanglPFG = l/f=^ tangicp.

14. Par le sommet d'une ellipse, on mène un rayon vecteur à un point {s/, y) de la courbe, et par le centre une parallèle à ce rayon vecteur ; trouver le lieu de l'intersection de cette parallèle avec la tangente en (se', y),

La tangente de Tangle que le rayon vecteur fait avec l'axe étant

égale à -— — j la parallèle menée par le centre a pour équation

y y 6sincp b i — cos<p

a;"* a:'-+-a~" a(i-h coscp) ~~ a sin<p

ou bien

"y OP ûP

•^^sinçH — cosç = -• b ^ a ^ a

Le lieu de l'intersection de cette droite avec la tangente

V sino -\ — C0S9 ^ i b ^ a ^

est évidemment - = i, c'est-à-dire la tangente menée par le somme

opposé à celui d'où part le rayon vecteur.

On trouverait de la même manière le lieu de cette intersection lorsque le rayon vecteur est mené non plus par le sommet, mais par un point quelconque de la courbe; il suffit pour cela de remplacer, dans ce qui précède, a et 6 par a' et b\ Le lieu est alors la tangeote menée par le point diamétralement opposé à celui par lequel passent les rayons vecteurs.

15. Trouver la longueur de la corde d'une ellipse, menée tan-

gentiellement à V ellipse confocale, ayant /a* — A*, /ô* — h^pour demi-axes.

La condition pour que la corde joignant les points a et ^ de la première ellipse soit tangente à l'ellipse confocale peut s'écrire (no 169, Ex. 1)

^!^cos4(flc-f-P)+^^^sin«i(a-i-P) = cos4(a«P), ou

sin4(a-P) = ^[6*cos4(a-i-P) + a«sin|(a-4-p)],

et devient, en représentant par b' le demi-diamètre parallèle à la

corde (Ex. 4),

sin|(a-P)=^*'.

On en déduit, pour la longueur cherchée,

26'sin^(a— p) = — j--' (M. BiTAKsmE.)

Ce résultat permet d'étendre aux cordes tangentes à des coniqaes confocalcs plusieurs théorèmes relatifs aux cordes menées par le foyer. Il fournit également une démonstration immédiate du théorème énoncé au numéro 226 (Ex. 13), en indiquant que les cordes OR — OR', OS — OS' sont entre elles dans le même rapport que les carrés des diamètres qui leur sont parallèles, et, par suite (n«149), dans le même rapport que les rectangles OR. OR' et OS. OS'.

232. La méthode que nous avons exposée dans les numéros précédents ne s'applique pas à l'hyperbole ; cependant on peut poser, lorsqu'il s'agit de cette dernière courbe,

a;' =ia séc«p, y ^=b tangcp, puisque

THÉORÈMES ET PROBLàMBS SUR LES SECTIONS CONIQUES. SjS

L'angle 9 est l'angle QCM(/î^. 84), sous lequel on voit

Fig. 84.

du centre C la tangente MQ menée par le pied M de l'ordonnée du point P, ou {x\y)^ au cercle décrit sur l'axe iransverse comme diamètre ; on a, en effet,

CMz=a:'==CQsécQCM;

on a également QM = a tangç, et comme PM =y = b tangç^ il en résulte que la tangente menée, par le pied de l'ordonnée d'un point de l'hyperbole, au cercle décrit sur l'axe transverse comme diamètre, est dans un rapport constant avec cette ordonnée.

Pour représenter un point {acf^y) de l'hyperbole conjuguée

on peut faire de même

j"^: ftséccp', d?" = a tangç'.

La relation à laquelle doivent satisfaire les angles 9 et 9', pour que les points (^',^'), (a?',/") soient les extrémités (n° 16G) de deux diamètres conjugués, s'obtient en exprimant, à l'aide de 9 et de 9', les angles 8 et ô' que les diamètres aboutissant en {00! ^y') et (^',^''") font avec l'axe des a?. On a successivement

tango m -^ =: - smç,

Ung6' =^ — - -. — .; " ocr a sm9^'

et, en portant ces valeurs dans la relation du n^ 170,

tangO tango' = — ,> elle devient

ou plus simplement

sincp = sln^\

(M. TtlRKUl.]

§ III. — De LA SIMILITUDE DANS LES SECTIONS CONIQUES.

233. Deux figures sont semblables et semblablement placées^ ou homothétiques (Jig. 85), lorsque les rayons vec-

teurs OP, OQ, menés dans la première par un point O, sont dans un rapport constant avec les rayons vecteurs parallèles opj oq menés dans la seconde par un point o. Quand il existe deux points O et o jouissant de cette propriété, il y en a une infinité. Prenons, en efiet, dans la première figure un point quelconque C, et joignons OC; dans la seconde figure, menons oc parallèle à OC, de telle sorte que le rapport oc : OC soit égal au rapport constant op : OP; les triangles POC, poc sont semblables; par suite, cp est parallèle à CP, et le rapport de cp à CP est égal au rapport constant op : OP. On prouverait de même que tout autre rayon vecteur passant par c est proportionnel au rayon vecteur parallèle mené par C.

TIlBORàMBS ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 377

Lorsque deux coniques à centre sont homotkétiques, tous les diamètres de Tune sont proportionnels aux diamètres de l'autre, puisque les rectangles OP.OQ et op.oq sont pro- . portionnels aux carrés des diamètres parallèles aux cordes PQet/>5r(nM49).

234. Trouver la condition pour que deux coniques représentées par des équations générales soient homothétiques.

Le carré d'un demi-diamètre quelconque de Tune des coniques s'obtient, ainsi qu'on peut le voir par une transformation de coordonnées (n® 152), en divisant une constante par la quantité

acos'Ô4- 2Acosôsinô -h ôsin'ô,

où 6 représente l'angle compris entre ce diamètre et l'axe des x] le carré du demi-diamètre qui lui est parallèle dans l'autre conique s'obtient de même, en divisant une constante par la quantité

a'cos'ô-i- 2Acos6sinô-i- ô'sin'Ô.

Le rapport de ces^diamètres ne peut donc être constant, ou indépendant de 0, que si l'on a

Il en résulte que deux coniques sont homothétiques lorsque les coefficients des termes du deuxième degré de leurs équations sont égaux ou proportionnels.

235. Les axes de deux coniques homothétiques sont parallèles, puisque le plus grand et le plus petit diamètre de l'une doivent être respectivement parallèles au plus grand et au plus petit diamètre de l'autre.

Quand un diamètre de i^une de ces coniques devient infini, il en est de même du diamètre parallèle de Tautre ; ainsi les asymptotes de deux hyperboles homothéliques sont parallèles. Cela résulte aussi du théorème démontré au numéro précédent, puisque (n® i ) les directions des asymptotes sont déterminées par l'ensemble des termes du deuxième degré de Péquation de la courbe.

Les coniques semblables ont même excentricité, puisqu'on a évidemment

on peut donc considérer les coniques semblables et semblablement placées comme des coniques de même excentricité, ayant leurs axes parallèles.

Lorsque deux hyperboles ont leurs asymptotes parallèles, elles sont homothétiques. Elles ont, en effet, leurs axes parallèles, puisque les axes d'une hyperbole sont dirigés suivant les bissectrices des angles formés par les asymptotes (n® 155); et, tie plus, elles ont même excentricité, puisque l'excentricilé d'une hyperbole ne dépend que de l'angle compris entre ses asymptotes (n®i67).

236. Toutes les paraboles ayant même excentricité (e = i)< il suilGt, pour que deux paraboles soient homothétiques, qu'elles aient leurs axes parallèles. On arrive, du reste, a la même conclusion en observant que l'équation d'une parabole rapportée à son sommet y'=px peut se mettre sous la forme

/?cos6

P~ sin-O '

et, par suite, que les rayons vecteurs petp', correspondant à un même angle 0, et se rapportant à deux paraboles dont les

THÉORÈMES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. SjQ

axes sont parallèles, sont entre eux dans le rapport constant de p kp.

Exercices.

1. Par un point fixe O on mène des rayons vecteurs à une conique, et sur chaque rayon vecteur OP on prend une longueur OQ proportionnelle à OP; trouver le lieu des points Q.

Il suffit de remplacer p par /np dans l'équatioD de la conique pour obtenir l'équation du lieu, qui est une conique homothétique à la première.

Le point O s'appelle le centre de similitude des deux coniques : c'est évidemment (noll5) le point d'intersection des tangentes communes aux deux coniques, puisque, les deux rayons vecteurs infiniment voisins OP, OP menés à la première devenant égaux, il doit en être de même des deux rayons vecteurs correspondants OQ, OQ' menés à la seconde.

2. Par le centre de similitude de deux coniques homothétiques^ on mène deux rayons vecteurs; démontrer que les cordes qui joignent les extrémités de ces rayons vecteurs sont parallèles ou se rencontrent sur la corde d'intersection des deux coniques.

Ce théorème se démontre comme celui du numéro 116.

3. Les six centres de similitude de trois coniques homothétiques sont situés trois par trois sur une même droite

4. Les segments que deux coniques homothétiques et concentriques interceptent sur une sécante quelconque sont égaux.

Toute corde menée dans la conique extérieure, tangentiellement à la conique intérieure, est divisée au point de contact en deux parties égales.

Ces théorèmes peuventse démontrer comme ceux des numéros 196 et 197, qui n'en sont qu'un cas particulier. Les asymptotes d'une hyperbole peuvent, en effet, être considérées comme une conique semblable à l'hyperbole, puisqu'elles ont pour équation l'ensemble des termes du deuxième degré de l'équation de l'hyperbole.

5. On donne deux ellipses homothétiques et concentriques ; par un point quelconque P de r ellipse intérieure, on mène à cette ellipse une tangente qui rencontre F ellipse extérieure en T etT',

38o chapithe xiii.

démontrer que toute corde menée dans l'ellipse intérieure par le point P est égale à la demi-somme des cordes de l'ellipse exté' rieure qui lui sont parallèles et qui passent par les points T et T.

237. Deux figures sont semblables, mais non semblablement placées, lorsque les rayons vecteurs proportionnels, au lieu d'être parallèles, font entre eux. un angle constant 0, de telle sorte que, en faisant tourner l'une des deux figures de l'angle 0, on obtienne deux figures homothétiques.

Trouver la condition pour que deux coniques représentées par des équations générales du second degré soient semblables, quoique non semblablement placées.

Pour trouver cette condition, il suffit de rapporter la première conique à un nouveau système d'axes faisant un angleO avec le premier, et de voir si l'on peut trouver une valeur de 6 qui rende les nouveaux coefGcients a. A, b de cette équation proportionnels aux coefficients a', A', 6' de la seconde, c'est-à-dire égaux à ma\ mh'^ niV ,

Lorsque les axes primitifs sont rectangulaires et qu'on transforme les coordonnées, les quantités a -h 6, ab — A* ne changent pas (n® 157); on a alors

a -h b=:m{a' -h 6'), ab-'/r = m^a'b'-'h'^);

ce qui donne, pour la condition cherchée,

ab — A« a'b'— h'^ (a4-&)*~ {a'-\-b'Y'

En se basant sur le théorème du numéro 158, on trouverait de même, dans le cas des axes obliques,

ab — A« a' b' — h'-

(a-i- 6 — iAcosd))* (a' -\- b' — 2A'cosa))- Cette condition exprime (n"* 74, 154) que l'angle compris

THÉ0RÔHE8 ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 38l

entre les asymptotes, réelles ou imaginaires, de chacune de ces coniques est le même pour l'une et l'autre conique.

§ IV. — Du CONTACT DES SECTIONS CONIQUES.

238. Deux courbes de degré m et n se coupent en mn points, puisque l'équation à une seule variable que l'on obtient en éliminant x ony entre les équations de ces courbes est en général de degré mn. Cette équation est quelquefois d'un degré moindre, lorsque, dans l'élimination, un ou plusieurs des termes renfermant l'inconnue à ses plus hautes puissances viennent à disparaître ; mais alors un ou plusieurs points d'intersection se trouvent à l'infini (n® 13S), et, en tenant compte de ces points, ainsi que des points imaginaires, on peut toujours considérer les courbes comme se rencontrant en mn points. Il en résulte que deux coniques se coupent toujours en quatre points , et, comme on peut joindre quatre points i , 2, 3, 4 par six droites 1 2, 34 ; 1 3, 24 ; i4, 23, il s'ensuit que deux coniques ont toujours trois couples de cordes d'intersection.

Nous examinerons d'abord le cas où plusieurs points d'intersection des deux coniques viennent à coïncider, et nous renverrons au Chapitre suivant l'étude des particularités que présentent les coniques qui ont des points d'intersection à l'infini.

239. Lorsque deux des points d'intersection coïncident, les coniques se touchent en ayant pour tangente commune la droite menée par ces deux points, et se rencontrent en deux autres points L, M [Jig^ 86 (a)], réels ou imaginaires, mais distincts du point de contact T. Les coniques ont alors un contact du premier ordre. Lorsque trois des points d'intersection coïncident en T, les coniques ont un contact du second ordre et sont dites osculatrices ; elles ne peuvent

alors se couper qu en un seul autre point L \^fig' 86 (6)]. Enfin, si leurs quatre points d'intersection coïncident en T, elles ont un contact du troisième ordre [yÏ5'-86(c)]; t,

Fig. 86.

comme elles ne peuvent se couper qu'en quatre points, c'est là l'ordre de contact le plus élevé qu'elles puissent avoir. Considérons, par exemple, les deux coniques

ax -I- ihxy -f- by^ -t- 2gx •^- o, dx -h 2 Kxy-\- Vy^ -i- i^x =^ o;

ces coniques passent par l'origine, sont tangentes (n**144) à l'axe des y^ et l'équation

x[{ab' — a' b)x -h 2{hb' — h' b)y -h 2{gb' -- g" b)]-o

représente (n* 181, Ex. 2) la figure passant par leurs quatre points d'intersection. Le premier facteur correspond à la langenle commune, autrement dit à la droite déterminée par les deux points d'intersection qui coïncident; le second, à la droite LM menée par les deux autres points.

Lorsque gb' = g^b^ la droite LM passe par l'origine, et les coniques ont un contact du second ordre. Quand on a, en outre, hb' := h'bj la droite LM, dont l'équation se réduit à X = o, coïncide avec la tangente, et les coniques ont un contact du troisième ordre. Dans ce dernier cas, les équations des coniques peuvent se mettre sous la forme

ax'-\~2hxy-{- 6j* H- 2^0:^0, d x- -i- 2 kxy -hby^ -^ 2^a:— 0,

et ne diffèrent que par le coefficient de x^.

240. Deax coniques ont an double contact lorsque leurs quatre points d'intersection coïncident deux à deux. La condition pour que les deux coniques du numéro précédent, qui passent par l'origine et sont tangentes à Taxe des y^ se touchent en un deuxième point, s'obtiendra en exprimant que la droite LM leur est tangente, ou, plus simplement, que les droites joignant l'origine aux deux autres points d'intersection coïncident. En retranchant l'une de l'autre les équations des coniques, après les avoir multipliées respectivement par g et ^, il vient, pour Péquation de ces deux droites,

{ag — a' g)x^ -^ 2{hg' — h' g)xy ^ {bg^ — b* g)y^^ o. et ces deux droites coïncident lorsqu'on a

{ag' --a! g){bg' -^ b' g) .-^{hg' ^ h' gy-,

241. Nous avons vu (n® 133) qu'une conique peut être assujettie à cinq conditions ; on peut donc toujours tracer une conique tangente à une conique donnée et satisfaisant de plas à trois autres conditions ; toutefois ces trois conditions se réduisent à deux quand le contact est du deuxième ordre, et à une seule s'il est du troisième. Ainsi, en particulier, on peut toujours construire une parabole ayant, à l'origine, un contact du troisième ordre, avec la conique

puisqu'il suffit, pour obtenir l'équation de celte parabole (n** 239), de remplacer dans cette dernière équation a para', a! étant déterminé par la relation db=^h^»

Pour que l'équation du second degré représente un cercle, il faut qu'elle remplisse deux conditions; il n'est donc pas possible, en général, de construire un cercle ayant un contact du troisième ordre avec une conique donnée, autrement dit, on ne peut assujettir à passer par quatre points un cercle

qui est complètement déterminé par trois points ; mais il est facile de trouver Téquation du cercle passant par trois points consécutifs d'une conique, c'est-à-dire ayant avec elle un contact du deuxième ordre. En exprimant, en effet, qiu l'équation de la conique (n*> 239)

ax^ -h 'ihxy -h by- -h2gx — o,

et que Téquation du cercle (n*84, Ex. 3)

X' 4- 2a?7 cosoj 4- 7* — 2 ra: sinw =r o,

qui lui est tangent à l'origine, satisfont à la condition gl/ z= g'b, trouvéau numéro 239, on obtient, pour déterminer le cercle ayant un contact de deuxième ordre avec la conique,

g = — résina), et, par suite,

6sin(o

On a donné à ce cercle le nom de cercle osculateur ou de cercle de courbure; son rayon r est le rayon de courbure de la conique au point T.

242. Trouver le rayon de courbure en un point P d'une conique à centre.

(') Dans les problèmes suivants, nous déterminerons la grandeur du rayon de courbure r, sans nous préoccuper de son signe, qui indique, d'après l'usage adopté, la direction suivant laquelle ce rayon doit être mesure, et celle des équations

a?'-haa?^cosci) -h^'qi2ra?sin«i) = o,

qu'il convient d'altribuer au cercle osculateur. On doit prendre le signe supérieur quand le centre est dans la direction positive de Taxe des â? cl !c signe inférieur dans le cas contraire. La formule du texte donne pourr une valeur positive ou négative, suivant que la conique est concave on ronvcxe Ters leè x positifs.

Soit

l'équation de la conique rapportée au diamètre du point P et à son conjugué ; pour appliquer les formules du numéro précédent, qui supposent la courbe tangente à l'axe des y^ il faut transporter les axes parallèlement à eux-mêmes au point P, ce qui revient à remplacer x par a: -\- a^ dans l'équation précédente. L'équation de la conique est alors

"ZT* ' Â7* "•" "irr — ^> a - O' a

et on a pour le rayon cherché

a sin 0)

OU, en observant que le dénominateur a'sino) représente la distance p du centre à la tangente,

r=^y et r = ^ (nol75).

p ab ^