Si l'on représente par N {fig* 87) la longueur PN de
Fig. 87.
la normale en P, par ^ l'angle FPN compris entre la normale et le rayon vecteur FP issu du foyer, on a
Nrz:— (nol81), 005^1.=: 1^ (nM88), s. — Geom, à deux dim. 26
et, par suite,
COS*i)/
On peut donc trouver le centre C et le rayon PC de courbure en élevant sur la normale PN, au point N où elle rencontre le grand axe, une perpendiculaire NQ qui coupe en Q le rayon vecteur FP issu du foyer; le centre de courbure C se trouve sur la perpendiculaire QG élevée en Q au rayon vecteur FP, et PC représente le rayon de courbure.
244. On peut encore construire le centre de courbure en s'appuyant sur la proposition suivante : Les cordes d'intersection d'un cercle et d'une conique sont également inclinées 5wr fe^ranrfûwcerfe /a co/iilgrwe. Cette proposition n'estdureste qu'une extension du théorème : Dans un cercle, les rectangles construits sur les segments de deux cordes qui se coupent sont égaux ; il résulte, en effet, de cette égalité, que les diamètres de la conique, menés parallèlement aux cordes d^intersection, sont égaux (n® 149), et, par suite, que ces diamètres sont également inclinés sur le grand axe de la conique ( n^l62). Dans le cas du cercle de courbure, la tangente en T (,//^.866) est une des cordes d'intersection, et la ligne TL est Tautre; il sufBt donc, pour déterminer le point L, de mener par T une droite TL faisant avec l'axe le même angle que la tangente. Le cercle de courbure est ainsi déterminé pair I^^ points L et T et par la tangente en T.
Cette construction fait voir, en outre, que le cercle oscula-
teur mené à l'un des sommets a un contact de troisième ordre
avec la conique.
Exercices.
1. Former, en se serçant de la notation de V angle excentrique, la condition pour que les quatre points a, p, y? ^ d'une conique appartiennent à un même cercle (*).
C) JoACHiiisTAL, C relie, t. XXXVI, p. 96.
THÉOBÊMES ET PBOBLàMBS SUE LES SECTIONS CONIQUES. 387
Les cordes ap et f^ ont pour équations
-cos{(a-f-?)-f-'^sinl(a-HP) = cos|(a~-3),
îco8i(Y-+-3) + -J»ini(Y + 8)=cosA(Y-8),
et comme elles sont également inclinées sur l'axe de la conique, on a
tang|(a-H 3) H- tang{(Y-f- o) = o,
d'où
«-4-^-^-^ + 0 = 0, ou a-h 3h- Y-+- 3 = 2/nTB.
2. Trouver les coordonnées 8, X e^ Y dupoint où le cercle osculateur en{x\y) rencontre de nouveau la conique.
On a dans ce cas et, par suite,
3. Quand les trois normales menées par les points a, p, y concourent en un même point, la quatrième normale, menée à la courbe par ce dernier point, rencontre la courbe en un point 8,
tel que
aH-P-t-'Y-*-5 = (2/n-h i)tïj.
4. Trouver V équation de la corde de courbure TL {fig. 866). Réponse. — cosa — "^sina = cosaa.
5. Sur toute conique il existe trois points dont les cercles osculateurs passent par un point donné de la courbe; ces points appartiennent à un cercle qui passe par le point donné, et forment un triangle dont les médianes se coupent au centre de la conique {^),
Soit 8 le point donné. Pour déterminer le point de contact a du cercle osculateur qui rencontre la conique en 8, on aura, d'après
(') SrimBR, C relie f t. XXXII, p. 3oo; ~ Joachiiibtal, C relie, t. XXVI, p. 95.
l'Exercice 2|a = — ^; et comme le sinus elle cosinus d'un angle 3
ne changent pas lorsque cet angle augmente de 36o<*y on pourra aussi
bien prendre a = — ^ h- 120°, a = — ^ -h 240» que œ = — -; ces
trois points et le point 8 sont d'ailleurs (Ex. 1) sur un même cercle.
Les équations du troisième degré, qui servent (Ex. 2) à déterminer les coordonnées af eiy des points de contact en fonction des coordonnées X et Y du point h, n'ont pas de second terme ; il en résulte que la somme des trois valeurs de af est nulle, ainsi que celle des trois valeurs de^', et par suite (n<>7| Ex. 4), que l'origine se confond avec le point de concours des médianes du triangle formé par les trois points. Il est d'ailleurs facile de voir que, lorsque le point de concours des médianes d'un triangle inscrit dans une conique coïncide avec le centre de cette conique, les normales menées par les sommets du triangle sont les hauteurs du triangle^ et par suite se coupent en un même point.
