Trouver le rayon de courbure de la parabole

L'équation de la parabole, rapportée à une tangente et au diamètre qui lui correspond, étant y'=p^Xy on a (n'241) pour le rayon de courbure

2 smO

6 représentant l'angle formé par les axes. L'expression trouvée

plus haut — j— pour les coniques à centre s'applique également à la parabole, ainsi que la construction qui s'en déduit, puisqu'on a

Ni=J-/?'sinô (n~ 212,213), et 4^ = 90» — 6 (n»217).

Exercices.

1. Dans toutes les sections coniques, le rayon de courbure est égal au cube de la normale, divisé par le carré du demirparamètre.

2. Exprimer le rayon de courbure d^une ellipse en fonction de V angle que la normale fait avec Vaxe.

3. Trous?er la longueur des cordes du cercle osculateur qui passent: 1^ par le centre ; 2P par le foyer d'une conique à centre.

Réponse. !<» — j-\ 79 •

4. La corde focale de courbure (*) d'une conique est égale à la corde de la conique menée par le foyer parallèlement à la tangente au point d'osculation.

5. Dans la parabole, la corde focale de courbure est égale au paramètre du diamètre passant par le point d'osculation.

246. Tromper les coordonnées x et y du centre de courbure d*une conique à centre.

L'ordonnée s'obtient évidemment en retranchant de l'ordonnée du point d'osculation [od^y) la projection du rayon de courbure sur l'axe desj^, ou, ce qui revient au même, le

6" r' produit du rayon de courbure — par "^ > puisque le rapport

de ce rayon à sa projection sur l'axe des y est le même que celui de la normale N à l'ordonnée^'. On a ainsi

et cette expression se réduit à

en observant que — '-^ = / et que b'^ = 6^ t- j-^y'^' On trouverait de même

(•) C'est-à-dire la corde du cercle osculateur passant par le foyer et par le point d'osculation.

Sgo CHAPITRE XIII.

Nous serions arrivés au même résultat en partant de Féquation de TExercice 8 du numéro 231, et en y faisant

On peut encore trouver ces coordonnées en observant que le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés. Le cercle osculateur est circonscrit au triangle formé par trois points consécutifs de la courbe ; deux des côtés de ce triangle sont les tangentes consécutives, les perpendiculaires élevées en leurs milieux sont les normales correspondantes ; il en résulte que le centre de courbure d'une courbe est l'intersection de deux normales consécutis^es à cette courbe; et en faisant, dans les équations du numéro 181 (Ex, 4), j?' = x" = X,^' =y = Y, on retombe sur les valeurs données ci-dessus.

247. Trouver les coordonnées x et y du centre de courbure de la parabole.

La projection /^ ■ du rayon de courbure sur l'axe des y s'obtient, comme précédemment, en multipliant le rayon de courbure . ^ par —y et, en retranchant cette projection dejK', on trouve pour l'ordonnée du centre de courbure

^- tangue ~ p^ en /!.;, on a de même pour l'abscisse

Xz=zœ -^ r— rr z=.X -\- =: ix -h \p,

2 sm* 0 2 *^

Ces coordonnées peuvent aussi se déduire des expressions données au numéro 227 (Ex. 10).

THÉORÊUES ET PROBLÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 3gi

248. La développée d'une courbe est le Heu des centres de courbure de ses différents points. Pour trouver l'équation de cette développée, il suffit donc d'éliminer x* eiy entre l'expression des coordonnées du centre de courbure et l'équation de la courbe. On a ainsi, pour les coniques à centre.

et pour la parabole,

Cette dernière courbe porte le nom de parabole semicubique.