APPUGAHON DE LA MÉTHODE DES NOTATIONS ABRÉGÉES

AUX SECTIONS œNIQUES.

249. L'équation S= kS' (n®40) représente une conique passant par les quatre points d'intersection, réels ou imaginaires, des deux coniques S = o, S'= o, et, comme on peut déterminer k de manière qu'elle soit vérifiée par les coordonnées d'un cinquième point, il s'ensuit qu'elle représente une conique passant par cinq points (' ).

Il en est évidemment encore de même lorsque l'une ou l'autre des expressions S et S', ou toutes les deux, se décomposent en facteurs. Ainsi l'équation S = /raf, étant vérifiée par les coordonnées des quatre points où les droites a, p rencontrent S, représente une conique passant par ces quatre points, ou, en d'autres termes, une conique ayant a et p pour cordes d'intersection avec S. Quand a, ou p, ne rencontre

( ' ) L'équation la plus générale d'une conique assujettie à quatre conditions doit évidemment renfermer une indéterminée, puisqu'il faut cinq conditions pour déterminer une conique, et la valeur de cette indéterminée ne pourra être fixée que si Ton donne ^une cinquième condition. Pour la même raison, l'équation la plus générale d'une conique assujettie à trois conditions renfermera deux indéterminées. Revoir, à ce sujet, les équations d'une conique passant par trois points ou tangente à trois droites (n"** 124 et 129).

Lorsque les quatre conditions auxquelles on assujettit une conique se traduisent par des équations où les coefficients de l'équation de la conique ne figurent qu'au premier degré, cette conique passe par quatre points fixes, puisqu'en éliminant tous ces coefficients, sauf un, on peut ramener son équation à la forme S = A:S'.

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. SgS

pas S en des points réels, on doit encore considérer a comme une corde d'intersection; l'intersection est imaginaire, mais la corde n^en possède pas moins, ainsi que nous avons pu le constater dans le cas du cercle, (n^ 106), un certain nombre de propriétés importantes par rapport aux deux coniques. On verrait de même que oy = ^ 3^ représente une conique circonscrite au quadrilatère «Py^ {^^ 122) (* ).

Ces diverses conclusions ne supposent pas nécessairement que a représente, comme au numéro 53, une droite dont l'équation a été mise sous la forme jrcosa +^sina=/?; elles s'étendent évidemment au cas où l'on représente par a l'équation du premier degré dans sa forme la plus générale.

250. La condition pour que S — A:S' = o représente deux droites s'obtient en remplaçant a, è,. . . par a -\- ka^ b -\- kb dans la relation

ahc 4- 3/^A — ap- — bg- — ch* = o,

ce qui donne une équation du troisième degré pour déterminer A". 11 y a donc trois valeurs de k pour lesquelles S — A:S'=o représente deux droites; et si l'on désigne ces valeurs par //, A^', //'', on a, pour représenter les trois couples de cordes qui joignent les quatre points d'interseclion de S et S' (n** 238), les trois équations

S — Ar'S'irzo, S — //S' = o, S-A-^S' = o.

Exercices.

i. Former l'équation d'une conique passant par les points où la conique S rencontre les axes de coordonnées.

(*) Quand deux des trois couples de cordes qui joignent quatre points d'une conique S sont représentés, l'un par «p, l'autre par yd, il est indifférent de mettre l'équation générale des coniques passant par les quatre points sous l'une ou l'autre des formes S — Ara^, S — A-yS, ap — A'y8, où k est indéterminé; puisque, en vertu du principe général, l'équation de S est elle-même de la forme 90 — AryS.

Ce sont les axes x =zo, y =^o qui sont ici les cordes d'intersection; l'équation cherchée sera donc S = kxy, k étant une indéterminée (nol51, Ex. 1).

2. Trouver Inéquation de la conique passant par les cinq points

En formant les équations des côtés du quadrilatère qui a pour sommets les quatre premiers points, on voit qu'on peut mettre l'équation de la conique sous la forme

(Sa:* — 2/-t- i)(5a7 — 2 j -H i3) = k(x — iy -+■ i'y){3x — iy -\- 5),

et en écrivant que cette équation est vérifiée par les coordonnées du

cinquième point ( — 4? 3), on trouve k = > ce qui donne, toutes

réductions faites,

79372 — S2oxy -h Soiy- ■+- iioi x — i665y -+- i586 = o.

251. Lorsqu'une des droites a,^ est tangente à S , ou lorsque ces droites se coupent en un point de S, les deux, coniques S et S — XraP sont tangentes, puisque deux de leurs points d'intersection coïncident. Ainsi, T = o étant l'équation de la tangente à S au point (^',j^'')>

S — T(/j; -f- my H- n)

sera l'équation la plus générale des coniques qui touchent S en {x\y) et si, à cette condition de contact, on ajoute trois autres conditions, on aura toutes les données nécessaires pour calculer /, m, /i, et par suite, pour déterminer la conique.

Quand la droite Ix -h my -f- n passe par {x%y')^ trois des points d'intersection des coniques coïncident; l'équation la plus générale d'une conique osculatrice à S en (x^y') est donc S = T{lx -\- my — Ix' — my'). Pour en déduire l'équation du cercle osculateur, il suffit d'exprimer que le terme en xy s'évanouit et que les coefficients de x^ et de y^ sont égaux : on a ainsi deux conditions pour déterminer / et /n.

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. SgS

Lorsque la droite Ix -\- my -1- n coïncide avec T, l'équation de la seconde conique prend la forme S = ArT^ et les deux coniques ont quatre points consécutifs communs. L'équation S = XrT* représente donc une conique ayant avec S un contact de troisième ordre (n®239).

Exercices.

1. La axes de S sont parallèles à ceux de S — A: S', lorsqu'ils le sont à ceux de S'.

Quand on prend pour axes coordonnés des parallèles aux axes de S, les équations S = o et S' r-= o n'ont pas de terme en xy^ et il en est évidemment de même de S — AS' = o. Lorsque S' est un cercle, les axes de S — X:S' sont parallèles aux axes de S. Dans le cas où S — kS' représente deux droites, les axes de S — X:S' ne sont autre chose que les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle formé par ces droites^ et on retombe sur le théorème du numéro 244.

2. Quand les axes de coordonnées sont parallèles aux axes de S et de S — koL^, les équations de a et ^ sont de la forme

Ix -+- my -h n = o, Ix — my -f- n' = o.

3. Former l'équation du cercle osculateur à une conique à centre.

Cette équation doit être de la forme qui se réduit à

lorsqu'on exprime que le terme en xy s'évanouit. Pour que les coef-

ficients de x^ et de^' soient égaux, il faut que l'on ait X = rj 1>

ce qui donne, pour le cercle osculateur cherché,

X^ -h- y- — ; TT hût" — 2t>' = 0.

H^ CHAPITRE XIT.

4. Trouver l'équation du cercle osculateur à une parabole. Réponse,

ip^-^ipa/){y^—px) = [2^y— /?(a?-H^)](2^/-t-/7îr — 3j[>aî').

252. Nous avons vu que l'équation S — kot!^ = o représente une conique passant par les quatre points P, Q,/>, g (Jig' 88), où a et p rencontrent S; il est d'ailleurs évident,

Fig. 88.

que les points P et/?, Q et y sont d'autant plus voisins, que les droites a et p sont elles-mêmes plus voisines l'une de l'autre. Quand ces droites se confondent, les points P et />, Q et gr coïncident, et la seconde conique touche la première en P et en Q. L'équation S — A'a2 = o représente donc une conique ayant avec S un double contact suii^ant la droite a. Lorsque a ne rencontre pas S, a est imaginaire, mais représente toujours la corde de contact de S et de S — ka^. On verrait de même que oy = ^P^ représente une conique qui touche les droites a et y, aux points ou ces droites rencontrent p (n® 123).

L'équation d'une conique, ayant avec S un double contact aux points (x'^y), (^",^"), peut encore se mettre sous la forme S = ATT', en désignant par T et T' les équations des tangentes en ces points.

253. Lorsque la droite a est parallèle à une asymptote de S, elle est aussi parallèle à une asymptote de S — A*aP, et l'équa-

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ÀBEÉeÉES. 897

tion s = Ara^ représente un système de coniques passant par quatre points donnés, dont un à Pinfini. Quand ^ est en outre parallèle à l'autre asymptote de S, l'équation S = Arag représente un système de coniques passant par deux des points à l'infini de la courbe S. On peut, du reste, reconnaître facilement les équations qui représentent des coniques ayant des points d'intersection à l'infini; il suffit, pour cela, de se rappeler que l'équation d'une droite à l'infini se réduit à une constante (n*^67), c'est-à-dire ào.:r 4- o,/ -h C = o, et par suite, qu'on peut rendre à une équation l'homogénéité qui lui manque (n® 69), en y remplaçant un ou plusieurs facteurs constants par o.x ■+■ o,y -\-G, Ainsi l'équation xy = Xr^, qui est celle d'une conique rapportée à ses asymptotes (n° 199), n'est qu'un cas particulier de l'équation oy = ^^ qui représente une conique rapportée à deux tangentes et à leur corde de contact (n®* 123, 252); en la mettant sous la forme xy = {o ,a: -i- o ,y ■+■ ky^ on voit, en effet, que les droites ^ et ^ sont des tangentes qui ont leur corde de contact à l'infini (n« 154).

254. L'équation de la parabole y^=px n'est elle-même qu'un cas particulier de l'équation générale ay = p^ ; on peut, en effet, la mettre sous la forme x(o,x -^ o.y -{-p)=y^, qui montre que la courbe est tangente non seulement à la droite x au point où cette droite rencontre y, mais encore à la droite à l'infini /?, au point où cette droite à l'infini rencontre y. On arriverait à la même conclusion en partant de l'équation générale de la parabole, qu'on peut écrire

{oLX -\-^y)--\- {2gx ~h 2/y-^c) {o.x -ho,y-h i) =o,

et qui montre que la droite 2gx -}- 2/y -|- c et la droite à l'infini sont des tangentes ayant le diamètre ax -f- ^y pour corde de contact. Il en résulte que toute parabole a une tangente située tout entière à IHnJini, Il y a lieu de remar-

quer, du reste^ que les deux points de la parabole situés à l'infini coïncident, puisque l'équation qui les détermine est un carré parfait (n®137), et par suite que la droite h l'infini peut être considérée comme une tangente (n** 83).

Exercice.

L'équation générale

ax^-\- %hxy -^^ by^-^-igX'^ '^fy-^ c = o

peut être regardée comme un cas particulier de V équation

«Y^-^pS (noi22).

Les trois premiers termes représentent, en effet, deux droites a et Y qui passent par l'origine, et les trois derniers, la droite ^ située à Tinfini , et la droite S ou 'xgx -f- if y -h c. Les lignes «2 et y rencontrent donc la courbe à Tinfini^ et 8 représente la droite passant par les points où a et ^ rencontrent la courbe à une distance finie.

255. En se reportant encore au numéro 253, on peut voir que S = A:^ représente un système de coniques passant par les deux points situés à une distance finie où 0 rencontre S, et par les deux points à l'infini où S est rencontrée par o.x-^-o.y -\-k\ et comme il est évident que les coefficients de x^^ de y^ et de xy sont les mêmes dans S = o et dans S — A:p=o, il s'ensuit que ces équations sont celles de deux coniques semblables et semblablement placées (n° 234). Donc^ deux coniques homothétiques se coupent toujours en deux points à P infini, et ne peuvent, par suite, se rencontrer qu^en deux points situés à une distance finie.

On peut arriver géométriquement au même résultat en considérant successivement les trois genres de coniques :

I® Hyperboles. — Les asymptotes de deux hyperboles homothétiques sont parallèles (n°285), ou, en d'autres termes, se coupent à l'infini; et comme chaque asymptote rencontre sa courbe à l'infini, il s'ensuit que le point à l'infini, où se rencontrent deux asymptotes parallèles, est un

DBS SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. Sgo

point commun aux deux hyperboles. Les points à l'infini, où se rencontrent les droites OY et oy^ OX et ox {fig» 89),

sont donc communs aux deux courbes ; on voit en outre, sur \difig. 89, un des points d'intersection situé à une dislance finie ; l'autre se trouve sur les deuxièmes branches des hyperboles.

2® Ellipses. — Les ellipses ne difi<èrent des hyperboles qu'en ce que les asymptotes sont imaginaires au lieu d'être réelles. Les directions des points à l'infini de deux ellipses semblables sont d'ailleurs déterminées par la même équation

ax^-^^hxy-^by^ — o (n*»» 136,234),

€t, bien que les racines de cette équation soient imaginaires, il n'en est pas moins vrai de dire que ces racines ont la même valeur pour l'une et l'autre ellipse, et, par suite, que ces ellipses peuvent être considérées comme se coupant en deux points imaginaires situés à l'infini. Cette manière de voir n'est, du reste, qu'une extension de ce que nous avons dit au numéro 249 sur les cordes imaginaires d'intersection des courbes S et S — Aro^, au cas où l'une des droites a, ^ passe à l'infini.

3° Paraboles. — Toutes les paraboles ont une tangente à l'infini (n®2S4); la direction du point de contact, ne dépendant que des trois premiers termes de l'équation, est

400 CHAPITRE KIV.

la même pour deux paraboles semblablement placées. Donc, deux paraboles homo thé tiques se touchent à V infini,

11 résulte de ce qui précède que les deux points à Pinfini, communs à deux coniques homothétiques , sont réels, imaginaires, ou coïncident, suivant que ces coniques sont des hyperboles, des ellipses ou des paraboles.