L'équation S = /r, c'est-à-dire
est un cas particulier de S := Xr a^ ; elle représente par suite (n''2o2) une conique ayant avec S un double contact suivant une droite à l'infini ; et, comme S — /r ne diffère de S que par un terme constant , les coniques S = oetS — A'=:o sont non seulement homothétiques, puisque les trois premiers termes de leurs équations sont identiques, mais encore concentriques, puisque les coordonnées du centre d'une conique sont indépendantes de la constante o (n® 140). Donc, deux coniques homothétiques et concentriques peuvent être considérées comme se touchant en deux points situés à l'infini. Il y a lieu de remarquer, d'ailleurs, que les asymptotes de ces deux coniques non seulement sont parallèles, mais encore coïncident; et, par suite, que ces courbes passent par les deux mêmes points à l'infini et ont mêmes tangentes en ces points.
Lorsque les courbes S, S — k^ sont des paraboles, elles ont même tangente à l'infini, et, par suite, ont un contact du troisième ordre à l'infini (n^ 251); mais deux paraboles dont les équations ne diffèrent que par une constante sont égales^ puisque les paraboles^- ^=px^y' =p(^x 4- /î), quisont évidemment égales, pestent encore égales quand on déplace les axes de coordonnées. D'ailleurs (n®205), l'expression du paramètre est indépendante du terme constant. Les paraboles S, S — k^ sont donc égales, et l'on voit que deux paraboles
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égales, et placées de manière que leurs axes coïncident^ peuvent être considérées comme ayant un contact du troisième ordre à V infini,
257. Tous les cercles sont des courbes semblables, puisque; leurs équations ne diffèrent que par les termes du premier degré; il en résulte que tous les cercles passent par les deux mêmes points imaginaires situés à Cinfini{ ''^ et, par suite, que deux cercles ne peuvent se couper en plus de deux points situés à une distance finie ; il en résulte, en outre, que tous les cercles concentriques se touchent en deux points imaginaires à Pinfini, et, par conséquent, que deux cercles concentriques ne peuvent se rencontrer en aucun point situé à une distance finie. Nous verrons par la suite que les théorèmes relatifs aux cercles ne sont, le plus souvent, qu'un cas particulier des théorèmes qui se rapportent aux coniques passant par deux points fixes.
258. Considérons encore Téquation /-a^ -f- m^gSrztr /^^y-, qui représente une section conique ayant le triangle aj^y pour Iriangle autopolaire (n°99) ; elle peut se mettre sous Tune ou Tautre des formes
La première montre que les droites /ly -f- m^^ /ly — /«ji, qui se coupent en (3, y), sont tangentes à la conique et ont a pour corde de contact; le point (3, y) est donc le pôle de a. La deuxième fait voir de même que (y, a) est le pôle de 3? et par suite que (a, 3) est le pôle de y. Mais cette dernière conclusion peut aussi se tirer de la troisième forme, (jui
(') On donne quelquefois à ces deux points le nom de points cycliques du pian. Voir Hougué et db Comberoussb, Traité de Géométrie, Tome II. 5* édition, page 869.
S. — Géom, à deux dim, a6
402 CHAPITBE XIV.
exprime que les deux droites imaginaires la± mf^^ — i sont tangentes à la conique et ont y pour corde de contact : ces droites se coupent, en effet, en un point réel (a, P) qui est le pôle de Yî et qui est à l'intérieur de la conique, puisque les tangentes issues de ce point sont imaginaires.
On verrait, en suivant le même procédé, que l'équation
représente une conique par rapport à laquelle (a, g) est le pôle de Yî puisque son premier membre peut se décomposer en deux facteurs qui correspondent à des droites se coupant en (a, g).
Corollaire. — Quand /^a» 4- m^^^ - ^^2.^2 représente un cercle, le centre de ce cercle se trouve au point de concours des hauteurs du triangle a^y; on sait, en effet, que dans le cercle la perpendiculaire, abaissée d'un point quelconque sur sa polaire, passe par le centre.
259. Notons ici quelques théorèmes, qui ne sont que la traduction des équations précédentes, faite au moyen du principe énoncé au numéro 34.
L'équation (xr( = k^^ fait voir que (n® 123) : Le produit des distances d'un point quelconque d^une conique à deux tangentes fixes est dans un rapport constant açec le carré de la distance de ce même point à la corde de contact*
L'équation ay^Ar^B peut s'énoncer ainsi (n® 122) : Le produit des distances d'un point quelconque d'une conique aux deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit est dans un rapport constant avec le produit des distances de ce même point aux deux autres côtés.
De là résulte le théorème suivant : Le rapport anharmonique du faisceau obtenu en joignant un point O quelconque d^une conique à quatre points fixes A, B, C, D de
DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 4o3
cette conique est constant, quelle que soit la position du point O sur la conique.
On a, en effet, pour les distances du point O {fig* 90 aux côtés du quadrilatère ABCD,
OA . OB sinAOB OC.ODsinCOD
""- ÂB ' ^- CD ' •••'
en portant ces valeurs dans l'équation «y = Arg^? elle devient, toutes réductions faites,
sinAOB sinCOD AB.GD
sinBOGsinAOD ~ BC.AD'
et reproduit l'énoncé même du théorème, puisque le premier
Fig. 90.
membre représente le rapport anharmonique du faisceau OA, OB, OC, OD, et que le second est constant.
Les conséquences de ce théorème sont si nombreuses et si importantes que nous consacrerons un Chapitre spécial à leur développement.
260. Lorsque S = o est l'équation d'un cercle, S repré sente (n^90) le carré de la tangente menée au cercle par le poinl {Xy y), et l'équation S — koL^ = o, qui est celle d'une conique ayant a et p pour cordes d'intersection avec le cercle, exprime que : Si le carré de la tangente, menée par un point à un cercle fixe, est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point à deux droites fixes,
4o4 CHAPITRE XIV.
ce point décrit une conique qui passe par les quatre points cV intersection des droites avec le cercle.
Ce dernier théorème subsiste, quelles que soient la grandeur du cercle et la nature, réelle ou imaginaire, des points d'intersection des droites avec le cercle. Dans le cas où le cercle est infiniment petit, il peut s'énoncer de la manière suivante : Le lieu décrit par un point tel que le carré de sa distance à un point fixe soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux droites fixes, est une section conique. Les droites fixes doivent être alors considérées comme les cordes d'intersection imaginaire de la conique avec un cercle infiniment petit ayant le point fixe pour centre.
261. On peut tirer des déductions analogues de 1 équation S — koL^ = o, lorsque S représente un cercle. Ainsi donc : Le lieu des points, dont les distances à une droite fixe sont dans un rapport constant avec les tangentes menées par ces mêmes points à un cercle fixe, est une conique qui touche le cercle aux deux points où il est rencontré par la droite ; et réciproquement : Quand un cercle a un double contact avec une conique, la tangente menée au cercle par un point de la conique est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la corde de contact.
Dans le cas particulier où le cercle est infiniment petit, on retombe sur la propriété fondamentale du foyer et de la directrice ; par suite : Le foyer d'une conique peut être considéré comme un cercle infiniment petit touchant la conique en deux points imaginaires situés sur la directrice.
262. En général : Le résultat obtenu, en remplaçant dans Véquation d^une conique les coordonnées courantes par les coordonnées d'un point quelconque, est propor-
DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 4o5
tionnel au produit des segments de la corde menée par ce point, parallèlement à une direction donnée (*).
En désignant par c (n® 134) le résultat de la substitution indiquée, ce produit a, en eCet, pour expression (n® 148)
acos*0 -H 2/icosô sinô -h 6sin-ô et il est proportionnel à c', tant que 0 reste constant.
1. Lorsque deux coniques ont un double contact, le carré de la perpendiculaire abaissée d*un point de la première sur la corde des contacts est dans un rapport constant avec le produit des segments déterminés par la seconde sur cette perpendiculaire,
2. Étant données deux coniques, on mène une droite quelconque qui rencontre les coniques aux points P, Q, jt?, q ; puis on prend sur cette droite un point 0, tel que les produits OP.OQ et Op,Oq soient dans un rapport donné; trouver le lieu du point O quand la droite se déplace parallèlement à elle-même.
Une conique passant par les points d'intersection des coniques données.
