Le diamètre du cercle circonscrit au triangle, formé par

deux tangentes à une conique à centre et par leur corde de

b'b' contact, est égal à , b' et b' désignant les demi-diamètres

parallèles aux tangentes, et p la distance du centre à la corde de contact, (M. Burnside.)

Nous supposerons, pour simplifier, qu'on ait multiplié Féquation de la conique par une constante telle, que le résultat de la substitution des coordonnées du centre soit égal à l'unité.

Soient ^, f les longueurs des tangentes, S' le résultat de la substi-

(*) Ce théorème s'applique aux courbes de degré quelconque.

4o6 CHAPITRE XIV.

tution des coordonnées de leur point d'intersection dans Téquation de la conique, et m la distance du sommet du triangle à la corde de contact; on a, d'après le théorème énoncé ci-dessus,

et, d'après la remarque du numéro 152,

il en résulte que

ff b'b'

et Ton sait, par la Géométrie élémentaire, que le premier membre de cette équation représente le diamètre du cercle circonscrit au triangle.

4. La valeur (no 242) du rayon de courbure peut se déduire de l'expression précédente, en observant que le diamètre du cercle circonscrit devient égal au rayon de courbure quand les deux tangentes coïncident; mais on peut aussi la déduire du théorème ci-après, qui a été indiqué par M. Roberts.

Si Von représente par n et n' les longueurs de deux normales qui se coupent, par p et p' les distances du centre de la conique aux tangentes correspondantes, et par V le demi-diamètre parallèle à leur corde de contact, on a la relation

np-h n'p' =■ 26'*.

Soient S' le résultat de la substitution des coordonnées du milieu de la corde de contact dans l'équation de ia conique ; m, w^ les distances de ce point aux tangentes, et 2 ^ la longueur de la corde; eo suivant la même marche que dans l'Exercice précédent, on trouve

pî = 6'«S', T3=pS', rn'=^p'S'; et comme on a en même temps

il en résulte que np -h n'p' = 26'».

263. Lorsque deux coniques ont un double contact avec une troisième^ leurs cordes de contact avec cette troisième

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. ioy

conique et deux de leurs cordes d'intersection concourent en un même point et forment un faisceau harmonique.

Soit S = o Téquation de la troisième conique; les équations des deux autres coniques seront

S + L« = o, S-hM« = o;

en les retranchant membre à membre, on trouve

pour l'équation de deux cordes d'intersection; ces cordes L + M = o, L — M = o passent par l'intersection des cordes de contact L et M et forment avec elles un faisceau harmonique (n*» 57).

Exercices.

1. Les cordes de contact de deux coniques avec leurs tangentes communes passent par l* intersection de deux de leurs cordes communes.

Ce théorème n'est qu'un cas particulier du précédent, dont il se déduit en supposant que la conique S se transforme en deux droites.

2. Les diagonales de tout quadrilatère inscrit passent par le même point que les diagonales du quadrilatère circonscrit correspondant, et forment avec elles un faisceau harmonique.

Ce théorème peut se déduire du précédent en y considérant S comme une conique, S + L*, S -t- M* comme des couples de droites ; on peut aussi le démontrer de la manière suivante. Soient ti, t^, t^, ti^ les deux couples de tangentes, Ci et Cj les cordes de contact, c'està-dire les diagonales du quadrilatère inscrit correspondant. L'équation de S peut se mettre sous Tune ou l'autre des formes

qui ne peuvent différer que par un facteur constant X. Les expressions cj — XcJ, ^1^2 — X ^8^4 sont donc identiques. La première Cj — X c J =0 représente deux droites qui passent par l'intersection de Cl, Os, en formant avec elles un faisceau harmonique ; la deuxième

•loS CHAPITRE XIV.

/i^2— >f3«4 = o est celle d'un lieu passant par les points (^ii^a), ( ^2> h )y (h, h )i et (ti, ts) et montre par suite que ces droites joignent respectivement les sommets du quadrilatère circonscrit(<|, ^3)7(^1} ^4);

3. Trouver les équations des diagonales du quadrilatère formé en menant des tangentes à une conique à centre par quatre points qui ont pour angles excentriques 2 a, 2 p, a y» 38.

On a dans ce cas

tx r- - cos2a-f-7-sin2a — i, ^j = -cosaS -n'usina S — i, a 0 a o

Cl = -cos(a-f- p)-f-^sin(a-4- p) — cos(a — p), et, par suite,

En appliquant la méthode de l'Exercice précédent, on trouve, pour les équations des diagonales,

sin(^a — P) sin(Y — 0)

264. Lorsque trois coniques ont un double contact avec une quatrième, six de leurs cordes d^ intersection passent trois à trois par le même point et forment ainsi les côtés et les diagonales d'un quadrilatère complet.

Les équations des coniques étant alors

S-hL^ — o, SH-M-=ro, Sh-Nî = o,

celles de leurs cordes d'intersection seront, d'après le numéro

précédent :