L-M--:ro, M-t-Nino, N-4-L — o

ces cordes passent donc trois à trois par un même point.

On peut déduire de là, comme au numéro précédent, plusieurs théorèmes particuliers en supposant qu'une ou plusieurs des coniques se transforment en couples de droites.

Ainsi, par exemple, quand la conique S se transforme en un couple de droites, S représente deux tangentes communes à S -f- M* et à S -h N^ ; et si, en même temps, L représente une droite quelconque menée par l'intersection de ces tangentes, S -r- L^ se transforme en un couple de droites, et représente deux droites passant par cette même intersection. Donc : Si, par l'intersection des tangentes communes à deux coniques, on mène un couple de droites, les cordes que ces droites déterminent sur l'une et Vautre conique se coupent sur l'une des cordes communes aux deux coniques. C'est l'extension du théorème donné au n® 116. De même : Les tangentes menées aux points où ces droites rencontrent une conique se coupent sur l'une des cordes communes aux deux coniques.

265. Lorsque les coniques S + L^, S-i-M^, S-l-N^ se transforment toutes en couples de droites, elles forment un hexagone, qui est circonscrit à S, et qui a pour diagonales leurs cordes d'intersection ; le théorème du n® 264 devient alors le théorème de Brian chon : Dans tout hexagone circonscrit à une conique, les trois diagonales qui unissent les sommets opposés se coupent en un même point. Quand les côtés de l'hexagone sont numérotés dans l'ordre où ils se succèdent, ces- diagonales sont celles qui joignent (i,â) ù (4,0), (2,3) à (5,6) et (3,4) à (6,1). En changeant de toutes les manières possibles l'ordre des côtés, on peut former avec les six mêmes droites soixante hexagones différents : le théorème que l'on vient d'énoncer s'applique à tous ces hexagones.

On peut aussi démontrer le théorème de Brianchon en suivant la méthode indiquée au n° 263, Ex. 2, et en obser-

4lO CHAPITRE XIV.

vant que Péquation de S peut se mettre sous Tune ou l'autre des formes

^1^ — cJ = o, titt — c\=zo, ^,^e — cJ = o,

et que les équations C| = Ca = Ct représentent trois diagonales concourantes (*).

266. Lorsque trois coniques ont une corde commune^ leurs trois autres cordes d'intersection se coupent en un même point.

Soient L = o la corde commune, S = o Péquation de l'une quelconque des coniques ; les équations des deux autres coniques peuvent se mettre sous la forme

S + LM = o, S H- LN z= o,

et l'on a, pour leurs cordes d'intersection,

ce qui démontre le théorème, puisque la droite M — N passe par l'intersection des droites M et N.

Ce théorème n'est du reste (ii®257) qu'une extension du théorème démontré au n® 108 : Les axes radicaux de trois cercles considérés deux à deux se coupent en un même point. Les trois cercles ont, en effet, une corde commune, qui est la droite à l'infini, et les axes radicaux sont leurs trois autres cordes d'intersection.

(') M. Todhanter a fait observer, avec raison, qu'en l'absence de règle précise pour déterminer quelle est celle des diagonales de titit^t^ définie par C| = + C2y la démonstration qui vient d'être donnée ne prouve qu'une chose, à savoir : que les droites joignant (i,a} à (4» 5)» et (3,3) à(5,6)se coupent, soit sur la droite ( 3, 4)> (6, i ), soit sur la droite ( i, 3], (4, 6). Mais, dans ce dernier cas, les triangles ia3, 4^^ ^^'^^ homologiques (n* 60, Ex. 3). et les points i4, a5, 36 sont en ligne droite; en supposant alors que cinq des côtés de l'hexagone soient fixes et tangents à une conique, le sixième côté, an lieu d'élre tangent à la conique, passe par un point fixe.

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. ill

On peut aussi regarder le théorème du n? 264 comme une extension du même théorème, et considérer trois coniques, qui ont un double contact avec une quatrième, comme trois coniques ayant quatre centres radicaux par chacun desquels passent trois de leurs cordes d'intersection.

Enfin on peut encore énoncer comme il suit le théorème démontré ci-dessus : Les cordes suivant lesquelles toutes les coniques passant par quatre points donnés rencontrent une conique fixe, menée par deux de ces points, passent par un point fixe.

Exercices.

1. Par les points d'intersection k et li de deux coniques (fis* 9' )' ^^ mène les droites AP, BQ qui rencontrent les coniques

Fig. 91.

en P, /?, Q, ^ ; les cordes PQ^ pq se coupent sur la corde CD commune aux deux coniques,

' Les droites OA, OB peuvent en effet être considérées comme une troisième conique.

2. Par le point de contact de deux coniques qui se touchent, on mène deux droites qui rencontrent les coniques en P, Jt?, Q, ^r; les cordes PQ, pq se coupent sur la corde d'intersection des deux coniques.

Ce théorème, qui est une conséquence du précédent, peut aussi être considéré comme un cas particulier du deuxième théorème du no 264, puisque le point de contact de deux coniques qui se touchent peut être considéré comme le point d'intersection de deux tangentes communes.

267. L'équation des coniques circonscrites à un quadrilntère permet de démontrer facilement le théorème de Pascal : Dans tout hexagone inscrit à une conique, les points de concours des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite.

Soient a, 6, c, rf, e, /les sommets de l'hexagone eX, ab^=io l'équation de la droite joignant les points a et 6. L'équation de la conique circonscrite à l'hexagone peut se mettre sous l'une ou l'autre des formes

ab.cd — bc,ad^=io^ de, fa — ef,ad=^Oy

puisque cette conique est circonscrite à la fois au quadrilatère abcd^ et au quadrilatère defa\ et comme ces expressions sont nécessairement identiques, on a

ab.cd — de./a^={bc — ef) ad.

Le premier membre de cette équation qui, en raison de sa forme, représente une figure circonscrite au quadrilatère formé par les droites ab, rfe, crf, a/, peut donc se décomposer en deux facteurs, et représente, par suite, les diagonales de ce quadrilatère. D'ailleurs, la droite ad étant évidemment la diagonale qui joint les sommets a et rf, bc — ef ne peut être que la diagonale menée par les points (a6, de), (cd^ a/), et comme cette droite, d'après son équation même, passe par le point (6c, e/), il en résulte que les trois points (aè, rfe), (crf, af) et (6c, ef) sont en ligne droite.

268. On peut obtenir un certain nombre de théorèmes relatifs à six points d'une conique, en combinant ces six points de différentes manières. Ainsi, en considérant la conique comme circonscrite au quadrilatère bce/j on peut mettre son équation sous la forme

be.cf — bc.e/=^o\

et, en identifiant cette équation avec l'équation de la conique

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 4l3

considérée comme circonscrite au quadrilatère abcd(n^ 267), on obtient la relation

ab.cd— be.c/^=z{ ad — ef) bc,

qui montre que les trois points {ab^ cf), (cd, be) et (nd^ ef) sont situés sur une même droite ad — e/= o.

On verrait de même, en identifiant cette équation avec celle de la conique considérée comme circonscrite au quadrilatère de/a, que les trois points (de, c/)> (fa, be), (ad, bc) appartiennent à une même droite bc — ad=^o. Quant aux trois droites

bc — ef^^o, ef — «û?=o, ad — 6c = o,

elles se coupent évidemment en un même point (n® 41). De là le théorème de Steiner : Les trois lignes de Pascal, obtenues en prenant successivement les sommets de P hexagone dans l'ordre abcdef, adcfeb, afcbed, passent par un même point (').

Exercices.

1. Si l'on prend trois points a, h, c sur une droite, et trois points a'f b'j c' sur une autre, les intersections {bc', b'c). {coi, c'a), {ab'j a' b) sont en ligne droite.

Ce théorème n'est qu'un cas particulier du théorème de Pascal ; il subsiste encore lorsque, la droite a' b'c étant à l'infini, les lignes ba et ca', cb' et ab', ad et bd sont respectivement parallèles à trois droites données.

2. Quatre droites déterminent quatre triangles qu'on obtient en ne considérant successivement que trois d'entre elles; les points de concours des hauteurs de ces quatre triangles sont en ligne droite.

En désignant par a, b, c, d les quatre droites données et par a' y 6', c', d quatre droites perpendiculaires, on peut, en effet, appliquer

( ' ) Pour de plus amples développements sur ce sujet, voir la Note I, placée à la lin de ce Volume.

4l4 CHAPITRE XIV.

le théorème précédent aux trois points d'intersection de a, bj c avec J, et aux trois points situés à l'infini sur a', b' et c' (' ).

3. Le théorème de Steiner : « Dans tout triangle circonscrit à une parabole, le point de rencontre des hauteurs se trouve sur la directrice, » est un cas particulier du théorème de Brianchon.

Désignons, en effeti par a, b, c les trois tangentes, par a\ b', c' les tangentes perpendiculaires, et par oo la ligne à l'infini, qui est aussi une tangente (n<> 254). Les six droites a, 6, c, c',oo, a' étant des tangentes, les droites (aè, c'en ), {bc, a'oo ), {ce', aa') concourent en un même point. Or les deux premières sont des hauteurs du triangle, et la dernière est la directrice sur laquelle se coupent les couples de tangentes perpendiculaires (n<> 221). Cette démonstration est due à M. John C. Moore.

4. On donne cinq tangentes à une conique: trouver le point de contact de Vune déciles.

Soit A6GDE le pentagone formé par les tangentes; les diagonales AG et BE se coupant en 0, la droite DO passe par le point de contact de AB. Cette solution se déduit du théorème de Brianchon, en supposant que deux des côtés de l'hexagone deviennent infiniment voisins et en observant que le point de contact d'une tangente n'est autre chose que le point où elle est rencontrée par la tangente infiniment voisine (n* 147).

269. Le théorème de Pascal permet de déterminer autant de points qu'on le veut d'une conique dont on connaît cinq points A, B, C, D, E {fig, 92): il suffît pour cela de remar-

( * ) Cette démonstration m'a été communiquée à la fois par M. de Morgan et par M. Burnside. Le théorème lui-même peut se déduire du théorème de Steiner (n*227, Ex. 3), puisque les quatre points de concours des hauteurs se trouvent sur la directrice de la parabole tangente aux quatre droites données. On en conclurait, en se basant sur le Corollaire IV du n* 123, que les cercles circonscrits aux quatre triangles passent par un même point, qui est le foyer de cette même parabole. Dans le cas de cinq droites, les foyers des cinq paraboles tangentes à quatre d'entre elles se trouvent sur un cercle (Auguste Miquel). Voir Catalan, Théorèmes et Problèmes de Géométrie élémentaire, p. 93. Voir aussi le Traité de M. Salmor, Higher Plane Curçes, n« 146.

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRâcÉES.

quer que, F étant un sixième point de la courbe, les points d'intersection (AB, DE)ou O, (BC, EF) ou Q, (CD, AF)ou P sont en ligne droite. Dans le cas particulier où il s'agit de

Fig. 92.

trouver le point F, où une droite quelconque AP, menée par un des points donnés, rencontre de nouveau la courbe, les points O et P sont connus, et il ne reste plus qu'à déterminer le point Q, ce qui se fait en prolongeant PO jusqu'à sa rencontre avec BC; quant au point F, il se trouve à l'intersection de QE avec AP. En d'autres termes, F est le sommet du triangle FPQ dont les côtés passent par les points fixes A, E, O, et dont les deux autres sommets P e^ Q glissent le long de deux droites fixes CD et CB (n® 47, Ex. 3). Ce corollaire du théorème de Pascal a été indiqué par Mac Laurin.

Exercices.

1. Trouver le centre d'une conique dont on connatt cinq points.

Menons à BG la parallèle AP (Jig- 9a), et déterminons, comme ci-dessus, le point F où AP rencontre la conique. La corde AF ainsi obtenue est parallèle à la corde BG, et la droite, qui joint les milieux de ces cordes, est un diamètre. Pour compléter la solution, il suffit évidemment de trouver un deuxième diamètre, ce qui se fait en déterminant la corde parallèle à l'un des autres côtés du pentagone ABCDE.

2. Étant donnés cinq points d'une conique, mener la tangente en Vun de ces points.

|l6 CHAPITRE XIV.

Dans cette hypothèse, le point F coïncide avec le point A, et QF prend la position qA;pA est donc la tangente cherchée.

3. Étudier en coordonnées trilinéaires (n® 62), le mode de 'génération des sections coniques indiqué par Mac Laurin, Autrement dit : trouver le lieu décrit par le sommet d*un triangle dont les trois côtés pivotent autour de trois points fixes, tandis que les deux autres sommets glissent sur deux droites fixes»

Soient a, p, 7 les côtés du triangle formé par les points fixes,

/a-t- m^ -h ny — o, /'a-:- /n'p -{- /i'y = o

les équations des droites fixes, et a =: fxp celle de la base. L'équation de la droite joignant (^^ y) ^ Tintersection de la base avec la première droite fixe peut s'écrire

(/fx-H m)P -f- /lY = o;

on a de même pour la droite qui joint (a, y) ^ l'intersection de la base avec la deuxième droite fixe

( /' jx -H /n' ) a -4- /i' [lY = ^>

et, en éliminant {jl entre ces deux équations, on trouve, pour le lieu cherché,

Im'a.^ --' ym^-h- n^){l!(3L-\- n'^).

C'est une conique passant par les points

(P,Y)» (ï.«)» (a, ^ot-h/np+nY), (3, /'«+ m'P -f- n'Y).

§ IL — Des équations rapportées a deux tangentes