ET A LEUR CORDE DE CONTACT
270. Lorsqu'une conique est rapportée à deux tangentes |j, M et à leur corde de contact R, son équation prend la l'orme LM zi^ R^ (n® 2S2), et Ton peut définir la position de Pun quelconque de ses points à Taide d'une seule variable (n** 229). Soit, en effet, jjlL = R l'équation de la droite joi- ^mant le point LR à un point quelconque de la courbe, que nous appellerons le point [l. En éliminant successivement L et R entre cette équation et l'équation de la conique, on
DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. iiy
obtient les équations M = ;xR, [x*L = M qui représentent les droites joignant le point (ji, àMR et à LM ; on a ainsi trois équations en (A, et il sufBt évidemment de deux quelconques de ces équations pour déterminer un point de la conique. L'équation
(xjx'L — (a-|-;j.')RH- M = o,
qui est évidemment vérifiée parTune ou Tautre des hypothèses
(|JlL=:R, îjlR = M), ({x'L=:R, {x'RmM),
représente la corde joignant les deux points \l et [l de la courbe. En écrivant que \x et (jl' coïncident, on obtient Téquation
fX*L— 2{JlR-l- M =:0,
qui renferme l'indéterminée jjl au second degré, et qui représente la tangente en (ji,. Réciproquement, toute droite dont l'équation jjl^L — 2 |i.R + M = o renferme une indéterminée \t, au second degré enveloppe la conique LM = R^.
271. Trouver l'équation de la polaire d'un point quelconque (L'j M', R').
En substituant les coordonnées L', M', R' dans l'équation de l'une ou l'autre des tangentes menées par ce point, on obtient la relation
|X«L'-2|xR'H-M'=0,
qui devient
ML' — 3 RR' -f- LM' =: o,
en observant que l'on a au point de contact (n* 270)
et cette relation n'est autre chose que l'équation de la polaire
4l8 CHAPITRE XIV.
cherchée, puisqu'elle est vérifiée par les coordonnées du point de contact.
On démontrerait de même que, quand un point est défini par l'intersection de deux droites aL = R, 6R = M, sa polaire a pour équation
abh — 2aR -h M = 0.
272. Les diverses équations, auxquelles nous venons d'arriver, donnent lieu à plusieurs remarques qu'il n'est pas sans intérêt de signaler. En éliminant R entre les équations de deux tangentes
uM. — 2 jjlR -4- M — G, [jl'«L - 2{x'R 1- M — o,
on obtient l'équation jjljjl'L -= M, qui représente la droite menée du point LM à l'intersection de ces deux tangentes. Il en résulte que les tangentes en [jl et jjl' se coupent sur la droite fixe aL=^M, toutes les fois que le produit \l\>! est égal à une constante a. Il est d'ailleurs facile de voir, en se reportant à l'équation de la corde(n® 270 K que, si cette même condition est remplie, la corde joignant les points |ji., jjl' passe par le point fixe ( a L -~ M, R ) .
On peut remarquer en outre que les points -f- jjl et — [jl appartiennent à une même droite passant par le point LM, puisque la droite joignant un point quelconque jjl au point LM a pour équation jjl^L -= M.
Enfin, lorsque deux coniques LM -- R=*, LM == R'^ ont L et M pour tangentes communes, la droite qui joint le point -r- [f* de la première de ces coniques à l'un des points li: \), de la seconde, passe par l'intersection^LM des tangentes communes, puisque l'équation {x^L— M est indépendante de R et de R'. On dit alors que le point 4- \j. de l'une dos coniques correspond directement au point — {/,, et inversement au point - ja de l'autre; on dit, de même, que la corde joignant deux points quelconques de l'une des coniques
correspond à la corde menée par les points correspondants de l'autre conique.
Exercices.
1. Les cordes correspondantes de deux coniques se coupent sur l'une des cordes d'intersection des deux coniques.
Les coniques LM — R*, LM -- R'» ont R' — R'* pour cordes communes, et les cordes correspondantes
[xjx'L — ( |jL 4- jjl') R -f- M = o, {X|x'L — ( jx -h fx') R' -+- M ^ o,
se rencontrent évidemment sur R — R', ou sur R -h R', suivant que (j. et \i! sont de mêmes signes, ou de signes différents, dans les deu\ équations.
2. Un triangle est circonscrit à une conique; deux de ses sommets glissent sur des droites fixes : trouver le lieu du troisième sommet.
Prenons pour lignes de référence les deux tangentes menées à la conique par l'intersection des droites fixes et la corde de contact de ces tangentes ; soient, en outre,
ah — M = o, bL — M~o
les équations des droites fixes, et
LM — R« = o
réquation de la conique.
Nous avons vu (n© 272) que, lorsque deux tangentes se coupent sur aL — M, le produit des (x des points de contact est égal à a; il en
résulte que, si fx est le point de contact d'un des côtés du triangle, — et
— sont les points de contact des autres côtés, et par suite que ces côtés ont pour équations
-rL — 2—R-}-lVf = o, —L — a— R-4-M = o.
{XÎ p. fX* jx
En éliminant p. entre ces deux équations, on trouve, pour le lieu cherché,
c'est une conique^ ayant avec la conique donnée un double contact suivant la corde R(*)*
3. Un triangle est inscrit dans une conique, deux de ses côtés passent par deux points fixes : trouver l'enveloppe du troisième côté.
Prenons pour R la droite menée par les points fixes, et soient LM = R^ réquation de la conique, aL — M = o, bh — M = o les équations des droites qui joignent les points fixes à LM .
On sait (n^^ 272) que le produit des p. des extrémités d'une corde passant par (aL — <M)R) est égal à a. Le sommet opposé au troisième côté du triangle étant pris pour (jl, on aura pour les autres
JL
sommets -? - > et par suite, pour Téquation du troisième côté,
a6L — (rt-i-^)(xR-+-|x2M = o; ce côté est donc constamment tangent (no270) à la conique
LM= T— r^RS
qui a un double contact avec la conique donnée, suivant la droite déterminée par les points fixes.
4. Inscrire, dans une section conique, un triangle dont les côtés passent par trois points donnés.
Prenons, comme dans l'Exercice précédent, pour R la droite joignant deux des points fixes, et pour \l le sommet du triangle qui se trouve à l'intersection des côtés passant par ces deux points. L'équation du côté opposé à fi peut s'écrire
aô L — (a -H ô ) [A R -h [X» M = o,
('} Le même raisonnement s'applique également au cas où, le point LM étant à l'intérieur de la conique, les tangentes L et M sont imaginaires. On peut aussi démontrer, par des procédés qui seront indiqués au paragraphe suivant, que, lorsque l'équation de la conique est donnée sous la forme L*+M*=R-, le lieu est représenté par une équation de même forme.
et, en exprimant que ce côté passe par le troisième point fixe cJj — R = o, dR — M = o, on obtient Téquation
ab — (a-f- 6){jLC-h [L^cd = o,
qui suffît pour déterminer p.. Quant aux coordonnées de (x, elles satisfont évidemment à la relation
abL — (a-{-b)cl\-hcdM—Oj
puisqu'on a, à la fois,
[jlL = R, [x«L = M.
La question admet donc deux solutions, qu'on obtient eji prenant successivement pour le sommet (jl du triangle les deux points où cette dernière droite rencontre la conique. Nous indiquerons plus loin (n<> 297, Ex. 7) comment on peut construire géométriquement cette droite.
5. La base d'un triangle touche une conique donnée; ses extrémités glissent sur deux tangentes fixes, et les deux autres côtés passent par deux points fixes : trouver le lieu du sommet.
Soient L et M les deux tangentes fixes, LM = R' l'équation de la conique. Les coordonnées L, R, M du point d'intersection de la droite L avec une tangente ({x*L — 2{jlR -h M) sont respectivement proportionnelles à o, i, 2{i; et l'équation de la droite qui joint ce point à un point fixe (L', R', M') peut s'écrire (n^ G5)
LM'— L'M = 2|x(LR'— L'U).
On aura de même, pour l'équation de la droite joignant le point fixe (L', R", M') à l'intersection (2,fx,o) de M avec la même tangente
2(RM'— R'M) = jjL(LI\r — L'M);
et en éliminant {jl, on trouve, pour le lieu du sommet, l'équation
(LIVr-L'M)(L>r — L'M)= 4(LR'-L'R)(RM*'— R'M),
qui représente une conique passant par les deux points donnés.
273. Lorsque l'angle 9 est constant, la corde joignant les points (ji, tangf , ^ cotç enveloppe une conique ayant un double
4aa CHAPITRE XIV.
contact avec la conique donnée. L'équation de cette corde (n«270)
{jL-L — (i.R( tangcp -+- cotç) h- M = o
représente, en effet, la tangente en pi à la conique
LMsin«2<prz:R«, puisque Ton a
tangç -h cotç =: 2 coséc2 9.
On prouverait de même que le lieu de l'intersection des tangentes enpitangf, (xcot^ est la conique LM =^ R^sin^2 9.
Exercice.
Dans V Exercice 5 du n« 272^ on remplace les deux tangentes fixes par une conique ayant un double contact avec la conique donnée et passant par les deux points fi^es : trouver le lieu du sommet.
Soient
LM — R« = o, LM sin«2<p ~ R« = o
les équations des deux coniques, [x' et (x' les points fixes. Toute droite qui touche la deuxième conique au point \k rencontre la première aux points p. tangcp, [xcotcp; on a donc pour les équations des deux côtés
(XfjL'L tangcp — (|x'h- {xtangcp)R-h M = o,
fjLfx'Lcotcp — ([l'-hfjL cot<p)R-4- M = o,
et^ en éliminant (x, on trouve pour l'équation du lieu
(M — [x'R)(|jl'L — R)= tang»<p(M — ix'R)(hl'L-R).
274. Le rapport anharmonique du faisceau obtenu en joignant un point quelconque ^ d'une conique à quatre points fixes jx', {x", |x'", |x'^ de cette conique est constant
Les droites qui joignent les quatre points fixes (x', pi.'', ... de la conique au point variable (x ont pour équations
jil'(jAL~R)4-(M — {JlR)=:0, jx''({xL — R)-h(M — aR)--:-:0,
ja^'CulL — R)-h(]M — |jlR)=o, fxïv(jj,L — R)-i-(M — îjlR) izio, et le rapport anharmonique
du faisceau qu'elles forment (n® 58) est indépendant de la position du point pi.
Nous appellerons, pour abréger, rapport anharmonique de quatre points d^une coniquele rapport anharmonique du faisceau obtenu en joignant ces quatre points à un point quelconque de la courbe.
275. Le rapport anharmonique des points suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant.
Supposons que les tangentes fixes soient celles des points {jt.', jx', jjl"', [i.'^, et que la tangente mobile soit celle du point pi.. Le rapport anharmonique des quatre points de la tangente mobile est le même que celui du faisceau obtenu en joignant ces quatre points au point LM. Mais les droites de ce faisceau , ayant pour équations (n®272)
jà'plL — M=o, ,fji.'(xL — M = o, [x'^jaL— M=iio, pLi^L — M — o,
forment un système homo graphique (n®59) avec celui du numéro précédent, et ont, par conséquent, même rapport anharmonique. Le rapport anharmonique des quatre points de la tangente mobile, ou plus simplement, le rapport anharmonique des quatre tangentes est donc égal au rapport anharmonique des quatre points de contact.
276. L'expression du rapport anharmonique de quatre points d'une conique jx', [jl^, •/", [i.'^' (n**27i) ne change pas lorsque tous ces points changent de signe; donc (n®272) le rapport anharmonique de quatre des points (jjl', ^, \)i'\ jjl^^ ) déterminés sur une conique par quatre droites issues du point LM est égal au rapport anharmonique des quatre autres points ( — p/, — ^!\ — ^'\ — |ji*^) déterminés par ces mêmes droites sur la conique.
Pour la même raison, le rapport anharmonique de quatre points d^une conique est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants dune autre conique. Enfin, si l'on observe que la valeur du rapport anharmonique (n** 274) ne change pas quand on y remplace jx par ;jLlang<p, ou [jLCOt^, on obtient le théorème suivant qui a été indiqué par M. Townsend : Lorsque deux coniques S et S' ont un double contact, le rapport anharmonique de quatre des points déterminés sur S par quatre tangentes quelconques à S' est égal au rapport anharmonique des quatre autres points déterminés par ces tangentes sur la même courbe S, ainsi qu^à celui des quatre points de contact sur S'.
277. Réciproquement, étant données une conique et trois de ses cordes aa'y bb', cc\ V enveloppe d'une quatrième corde dd^^ telle que le rapport anharmonique de abcdsoit égal au rapport anharmonique de a! V d d', est une conique ayant un double contact avec la conique donnée.
Soient, en effet, a, 6, c, a', b\ cf les valeurs de jjl pour les six points fixeS; (jl et ^ les valeurs de ^ aux extrémités de la corde mobile; l'équation
qui exprime l'égalité des rapports anharmoniques, peut se mettre sous la forme
A[jl;/ ■+- B|jl h- Ca' 4- D = g,
A, B, C et D étant des constantes, et en éliminant [t! entre cette équation et celle de la corde
(jljjl'L — ({jl-|-|jl')Rh-M =0,
il yient successivement
fjL(By. 4-D)L4-R[jx(A|i.-+-C) — (Ba-hD)]— M(A;j.4-C)=:0,
fx'(BL + AR) -h îJi[DL 4- (C — B)R — AM] —(DR -h CiM) = o.
La corde mobile (n®270) est donc constamment tangente à la conique
[DL -h (C — B)R — AM]- 4- 4(BL 4- AR)(Dn 4- CM) = o,
et cette conicjue a un double contact avec la conique donnée LM — R- = o, puisque son équation peut se mettre sous la forme
4(BC - AD) (LM — R2) 4- [DL + (B 4- G) R 4- AM]« = o.
Dans le cas particulier où B = G, la relation entre jjl et \i! devient
AijLj/ 4- B({JL 4- fx') 4- D = o ;
elle exprime (n® 51) que la corde [ji.[jl'L — (;a -|- jji.')R 4- M passe par un point fixe.
§ m. — Des équations rapportées aux côtés d'un triangle
AUTOPOLAIRË.
278. Quand une conique est rapportée aux côtés d'un triangle autopolaire, son équation prend la forme (n**258)
et on peut représenter un point de la courbe à l'aide d'une
4^6 CHAPITRE XIY.
seule variable <p. En posant la = n^ cosç, m^ = ny sinç, et en suivant la marche indiquée aux Numéros 102, 231, on a, pour la corde joignant les deux points 9 et 9',
U cos|((p -h <p') H- mp sin|(9 -h ?') — ny cos|((p — 9'), et pour la tangente en 9,
/a C0S9 -i- m^sin^ •=. ny.
Quand on représente, pour plus de symétrie, la conique par Téquation
aa* 4- 6p*-hCY*=:o,
on a pour la tangente en (a', P', y')
aaa' -h £>pp' -h cy^ = o,
et Téquation de la polaire d'un point quelconque (a', P', y') est nécessairement de la même forme (n°89). En comparant l'équation de la polaire avec l'équation de la droite
Xa -7- {Ji.p -f- vy = o,
on voit que le pôle de cette dernière ligne a pour coordonnées -5 T? -; et, puisque le pôle d'une tangente est situé sur
la courbe, la condition pour que la droite Xa -4- p.p H- vy soit tangente à la conique peut s'écrire
Lorsque cette condition est remplie, la conique est évidemment tangente aux quatre droites Xa rt |x3 =ii vy, et les lignes de référence sont les diagonales du quadrilatère formé par ces droites (n®146, Ex. 3). On verrait de môme que la condition aa ^-r 6p'* -r cy'^^^ o exprime que la conique passe par les quatre points {ol^'àz p', =t y').
Exercices.
1. Trouver le lieu du pôle d'une droite donnée Xan- jx^ -4- vy par rapport aux coniques passant par quatre points fixes
Xa'* (a3'» vy'»
Réponse, \- H — I — — = o.
2. Trouver le lieu du pôle dune droite donnée Xa -i- jip -f- vy = o par rapport aux coniques tangentes aux quatre droites fi^es
„. /«a m»? /i«Y Réponse. -x — i ^ H *- = o.
Le lieu des centres des coniques est donné par les mêmes formules, puisque le centre est le pôle de la droite à l'infini
a sin A -4- 3 sin B 4- Y sin C = o.
3. Former l'équation du cercle ayant le triangle de référence pour triangle autopolaire.
Réponse, a' sinaA— 3* sinaB -f- Y'sinaC = o (128, Ex. 2).
Il est facile de voir que le centre de ce cercle se trouve au point de concours des hauteurs du triangle, puisque le carré du rayon est égal au rectangle construit sur les segments que ce cercle détermine sur une quelconque des hauteurs, rectangle qui a le signe + lorsque le triangle a un angle obtus, et le signe — dans le cas contraire. Dans ce dernier cas, le cercle est imaginaire.
279. La détermination des propriétés des foyers est une des applications les plus remarquables de Téquation qui fait l'objet de ce paragraphe. L'équation d'une conique quelconque peut, en effet (n"186), se mettre sous la forme
en prenant pour lignes de référence une directrice y et deux
4a8 CHAPITRE XIV.
droites rectangulaires quelconques, a: = o, y = o, se coupant au foyer qui correspond à y.
Cette forme montre que le foyer (x^y) est le pôle de la directrice y, et que la polaire d'un point quelconque de cette directrice est perpendiculaire à la droite qui joint ce point au foyer (n® 192). Elle fait voir, en outre, que les deux droites imaginaires X' -h y- = o sont des tangentes menées par le foyer, et puisque ces droites sont les mêmes, quel que soit y, il en résulte que : Toutes les coniques qui ont un même foyer ont deux tangentes imaginaires communes passant par ce foyer. Donc : Toutes les coniques confocales ont quatre tangentes imaginaires communes et peuvent être considérées comme inscrites dans le même quadrilatère. Les tangentes imaginaires (a;-4-j^-i=o) menées par le foyer se confondent avec les droites qui joignent ce foyer aux points cycliques, c'està-dire aux deux points imaginaires , et, à l'infini, communs à tous les cercles d'un même plan (n** 257). De là une conception générale des foyers : Les tangentes menées à une conique par chacun des points cycliques forment un quadrilatère ayant deux sommets réels, qui sont les foyers de la conique, et deux sommets imaginaires, qui peuvent être considérés comme les foyers imaginaires de cette même conique.
Exercice.
Déterminer les foyers de la conique représentée par V équation générale.
Il suffit, pour cette détermination, d'exprimer que la droite
est tangente à la courbe. En remplaçant, dans la formule du no 151,
X, p. et V respectivement par i, ^ — i, — {sZ-^y ^ — 1), et en égalant séparément à zéro Tensemble des termes réels et Tensemble
des termes imaginaires, on voit que les foyers se trouvent à l'intersection des deux hyperboles équilatères
C(arï— ^«)-+- aFj^ — 2Ga?-+-A — B = o, Ga?j^— Fa; — G7-4- 11 = 0,
qui sont concentriques à la conique donnée. En mettant ces équations sous la forme
{Cx — G)« — (Cy — F)« = G« — AG — F* -f- BC = A(a — 6), (Car — G)(C7 — F) = FG — CH = A A,
on trouve, pour les coordonnées x,y du foyer,
{Cx — Gy =:\1{R'¥' a — b), (C7 — F«) = ;a(R-»-6 — a),
R et A ayant la signification indiquée précédemment (n** 15i, n** 157, Ex. 3).
Lorsque la conique est une parabole, on a G = o, les équations cidessus se réduisent au premier degré et il vient
(F2-HG»)ir = FH4-i(A — B)G, (F*-f-G*)7 = GHh- j(B- A)F.
280. Les tangentes menées par le point (y? ^) à la courbe x^ -^y^ = ^'*^Y* ont évidemment pour équations
ev-HJ7 = o, ey c=o;
dans le cas de la parabole, où e = i , elles sont dirigées suivant les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle (^, y). Donc : Les tangentes menées à la parabole par un point quelconque de la directrice se coupent à angle droit.
Dans le cas général, on peut poser x = ry cos ç, y = ey sin 9, ce qui donne
^mlangtp;
autrement dit,(p est l'angle que le rayon vecteur issu du foyer fait avec l'axe des x. Cette remarque permet de trouver l'enveloppe d'une corde vue du foyer sous un angle constant; la
, 4'3o ' CHAPITRE XIV.
corde passant par les deux points ç et ç' a, en effet, pour équation
X cosl((p "+- ç') +7 sin 1(9 -h 9') = ey cosl((p — 9'),
et comme 9 — 9' est constant, elle est constamment tangente à la conique
x* -h 7' = c'y" cos*i(9 — 9'), qui a même foyer et même directrice que la conique donnée.
' 281. L'équation de la droite qui joint le foyer à l'intersection de deux tangentes s'obtient en retranchant l'une de l'autre les équations
a:cos9 -f^sin9 — eY = o, a?cos9'-i- j'sin9' — «y = 0,
ce qui donne
a?sin-l(9 -H9')-- jcos|(9H-9')=r o;
cette droite, faisant un angle 1 (9 -I- <p') avec l'axe des x^ est par conséquent la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs allant du foyer aux points de contact 9 et ©'.
La droite qui joint au foyer le point où la corde de contact rencontre la directrice a pour équation
• X cosi(9 -h 9O 4-/ sinl(9 + 9') =: o;
elle est perpendiculaire à la précédente.
Trouver le lieu de V intersection des tangentes dont la corde de contact est vue du foyer sous un angle donné 2 S.
En éliminant 9 et 9' entre les équations des tangentes et la relation 28 = 9 — 9' (n® 102, Ex. 2), on trouve, pour l'équation du lieu.
( j;- -h /-) cos' 8 = e* y* ;
DES SECTIONS GONI0UE8. NOTATIONS ABRÉGÉES. 43t
c'est i'équatîon d^une conique dont l'excentricité est égale
à — ^> et qui a même loyer et même directrice que la
conique donnée.
Lorsque la courbe est une parabole, l'angle formé par les tangentes se trouve donné ; cet angle est, en effet, la moitié de l'angle o — 9' compris entre les droites j^cosçH-^ sînç et X COS9' -\-y sinç', puisque la tangente x cosç +jk sin© — y est la bissectrice de l'angle compris entre les droites
ojcoscp -h^ sincp et y.
Uangle compris entre deux tangentes à une parabole est donc la moitié de V angle sous-tendu au foyer par leur corde de contact. Par suite : Le lieu du sommet d^ un angle de grandeur donnée, circonscrit à la parabole, est une hyperbole ayant même foyer et même directrice que la parabole et dont V excentricité est égale à la sécante de Vanglç donné, ou, ce qui revient au même, dont les asymptotes se coupent sous un angle égal au double de l^ angle donné (n** 167).
282. Deux coniques quelconques admettent toujours un triangle autopolaire commun.
Soient, en effet (n**146, Ex. 1), A, B, C, D les points d'intersection des deux coniques ; E, F, O les points de concours des cordes opposées. Le triangle EFO est autopolaire par rapport à l'une et à l'autre des coniques, et si on désigne par a, g, Y les côtés de ce triangle, les équations des coniques peuvent se mettre sous la forme
('} Nous indiquerons plus loin les procédés analytiques à employer pour ramener à cette forme les équations des coniques.
Les droites a, ^, Y' V^^ ^^^^ évidemment réelles quand les coniques se rencontrent en des points réels, sont encore réelles lorsque les coniques se coupent en quatre points imaginaires. On sait, en effet, que toute équation à coefficients réels, qui est vérifiée par les coordonnées du
point {x' -h x"^ — 1 , y -4- /"v^ — i), est également vérifiée
par les coordonnées du point [x' — x''\/ — i, y — ^'"y/ — i) : on sait, en outre, que la droite qui joint ces points est réelle. Les quatre points imaginaires communs aux deux coniques forment donc deux couples de points [x^ ±x"\/ — i,
y ±y y/— I, et (^"' ±z x^"" \/~^ I , y"±y^ y/— i], auxquels correspondent deux cordes communes réelles et quatre cordes imaginaires. Il est d'ailleurs facile de voir que les équations
de ces dernières cordes sont de la forme L ± ?.I y/ — i ,
L' lii M'y/ — I , et par suite que ces cordes se coupent en deux points réels LM, L'M'. Les points E, F, O sont donc tous réels.
Lorsque les coniques ont deux points communs réels et deux points communs imaginaires, la corde qui joint les deux points réels et celle qui joint les deux points imaginaires sont toutes deux réelles ; les quatre autres cordes communes, qui passent chacune par un des points réels, ne peuvent avoir un deuxième point réel, et sont par suite imaginaires. Il en résulte que le triangle autopolaire EFO, commun aux deux coniques, n'a de réels qu'un sommet et le côté opposé à ce sommet.
Ezercices.
i. Vn triangle est circonscrit à une conique S; deux de ses sommets glissent sur une autre conique S' : trouver le lieu décrit par le troisième sommet.
Soient x^ H- 7* — -5' = o, ax- -H by^ — cz^ = o, les équations de S et de S'. Les coordonnées de l'intersection des tangentes à S, en a et y?
sont (n° 102, Ex. 1) cos|(a-+-Y), sin^Ca-^Y)» cos|(a — y)> ^^> <^ii exprimant que ces tangentes se coupent sur S', on a
acos*^(a-+- Y)-h bsin^^{a-^-() = ccos3|(a — y), ou
(a-4- 6 — c)-+-(a — & — c) cosa cosyh- {b — c — a)sinasinY = o.
On a de même
{a -\- b — c) -î' {a — b — c)cos3 cosy -i- (6 — c — a) sinp siny — o;
et, par suite,
(a-h b — c)cos|(a-i- j3 ) — (6 -f- c — a) cosi(a — P)cosy, (cf-h6 — c)sin|(a-+- 3) = (a-h c — 6)cosj(a— 3)sinY;
ce qui donne, pour l'équation du lieu,
(^-i-c — a)^ (c-T-a — b)' {a-^b — c)^ puisque le troisième sommet a pour coordonnées
cosi(a-+-;5), sin}(a-h?), cosi(a-3).
Cette solution est due à M. Burnside.
2. Un triangle est inscrit dans une conique X'-\-y^ = z*; deux de ses côtés sont tangents à la conique ax^ -\- by^ = es* : trouver Venveloppe du troisième côté.
Réponse, {ca -hab — bc)^ X' -{- (ab -h bc — ca^y^ = (6c-+- ca — ab^z'^*
§ rv. — Des courbes enveloppes.
283. Lorsque Téquation d'une droite renferme une indéicrminée [jt. àun degré quelconque, elle représente, en réalité, un système de droites qui correspondent chacune à une valeur particulière de jj., et qui sont toutes tangentes à une certaine courbe, qu'on appelle co^rèe enveloppe ou, plus simplement,
S. — Géom. à deux dim. a8
enveloppe du système. Nous nous bornerons àmon trer ici comment on peut obtenir l'enveloppe des droites [ji^ L — 2 jxR - 1- M (n** 270); cet exemple suffira pour indiquer la marche à suivre dans le cas le plus général.
Les deux droites de ce système, qui correspondent aux deux valeurs de [i., p. et jjl -f- A:, ont pour équations
a*L — 2(jLR-i-M — Oy (u -h X:)*L — 2((A-i-X:)RH-M = 0,
et leur point d'intersection se trouve déterminé par l'équation de la première droite et par Péquation
obtenue en divisant par k la différence entre les équations des deux droites.
La deuxième droite est d'autant plus voisine de la première que k est plus petit; lorsque k s'annule, les deux droites deviennent consécutives et leur point de rencontre est alors défini par les équations
(x*L — 2{xR -f- Mz=:o, |xL — Rt=3 0,
ou, ce qui revient au même, par les suivantes :
|aL — R=:o, jjlR — M = o;
ce point appartient à l'enveloppe, puisque ces deux droites sont tangentes à l'enveloppe, et que tout point d'une courbe peut être considéré comme l'intersection de deux tangentes consécutives à cette courbe (n® 147); il coïncide d'ailleurs avec le point où la droite [jl^L — 2jjLR-hM touche l'enveloppe. Il suffit donc, pour obtenir l'équation de l'enveloppe, d'éliminer jx entre les deux équations précédentes, ce qui donne LM — R2.
On peut encore procéder de Ja même manière quand L, M et R cessent de représenter des droites; dans ce cas, JI.2L — i^K -h M représente un système de courbes, et il
est facile de voir que toutes ces courbes sont -constamment tangentes à la courbe LM =^ R^.
L'enveloppe de la droite Lcosç -j-Msin© — R, où 9 est indéterminé, peut s'obtenir directement comme celle de la droite ja^L — 2(i,R + M; mais on peut aussi la déduire de l'enveloppe de cette dernière droite en posant
tanglç = [x, car on a alors
