LL* . 2 IX

C0S9=:- --, Smcpnz: '—^9

et l'équation proposée se ramène à la forme

jx2(L — R) -H 2[i.M H- (L — R) — o,

où [A entre au second degré.

284. On peut encore procéder comme il suit : toute droite du système

est évidemment tangente à une courbe de la seconde classe (n® 145); on ne peut, en effet, mener par un point donné que deux droites du système; ce sont celles qui correspondent aux valeurs de [a tirées de l'équation

où U, R' et M' représentent les résultats obtenus en remplaçant dans L, R et M les coordonnées courantes par les coordonnées du point donné. Pour que ce point se trouve à l'intersection de deux tangentes consécutives, il faut donc que ses coordonnées vérifient la relation LM := R^ qui exprime que les deux valeurs de jx sont égales. Plus généralement, lorsqu'une indéterminée \t, entre algébriquement au degré n

dans l'équation d'une droite, cette droite enveloppe une courbe de la n'^'"*^ classe dont l'équation s'obtient en exprimant que l'équation en [x a des racines égales.

Exercices.

1. Les sommets d*un triangle glissent sur trois droites fixes z, p, Y« t<^n,dis que deux de ses côtés passent par deux points fixes (flf'>P'îï')»(a'> P%ï*) • trouver V enveloppe du troisième côté.

Soit a + (1^ = o l'équation de la droite joignant (a, P) au sommet qui glisse sur y ; l^s équations des côtés passant par les points fixes sont alors

et on a, pour le troisième côté,

puisque ce côté passe par l'intersection du premier avec a et du second avec p. Développant et ordonnant, suivant les puissances de p., on trouve, pour l'équation de l'enveloppe,

(a?'Y'+Pï'=''-Y«'?'-Y«'P')*=4a'P'(«ï'-»'Y)(PY'-p'-r).

On peut aussi résoudre ce problème, en ordonnant par rapport à a l'équation trouvée au n© 50, Ex. 3.

2. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que le produit de ses distances à deux points fixes soit constant et égal à 6*.

Prenons pour axes, la droite qui joint les points fixes et la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite; soient, en outre, ;k = o, j- = dz c, les coordonnée^ de ces points, et j^ — ma? -h /i = o, la droite mobile; on aura, pour exprimer les conditions du' problème,

(/i-h mc){n — me) = 6*(i -h /n*) ou

n^ = b^-\- b^m^ -h c*/7i*; et comme

n- = y^ — 2 mxcy -4- /n'a?' :

il vient

m*(a7* — 6* — c*) — imocy -\- y^ — fe* = o;

ce qui donne, pour Féquation de Fenveloppe,

OU bien

èl-f-c^ 6*

3. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que la somme b* des carrés de ses distances à deux points fixes (o, + c) soit constante.

4. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que la différjence des carrés de ses distances à deux points fixes soit constante.

Une parabole.

5. Par un point fixe O, on mène une droite OP qui rencontre en P une droite fixe AP : trouver L'enveloppe de la droite PQ faisant avec PO un angle OPQ constant (= go* — P).

Soient OA et OQ les perpendiculaires abaissées du point O sur les droites AP et PQ, 6 et p les angles AOP et POQ fai par OP avec OA et OQ, on aura, en faisant OA =p,

0P=/?séc6, OQ =/?séc6cosP,

et, si l'on prend OA pour axe des x, O pour origine, il vient, pour l'équation de PQ,

aîcos(6-f- p)-f-jsin(8-f- P) =/> séc6 cos^, ou

a:cos(26-f- p)-4-^sin(a6-i- P) = 2/7Cosp — a?cosp — ^sinp. Cette équation étant de la forme

L coscp H- M sincp = R, on obtient, pour l'enveloppe cherchée, l'équation

a7î l^t — : (a:cosP-f-^sinP — 2/?cosp)',

438 CHAPITRE XIY.

qui représente une parabole ayant le point O pour foyer.