Trouver V enveloppe de la ligne — ! — 7 — 1, quand les
indéterminées (x et ji' sont assujetties à la relation (jl h- ji' == G.
En remplaçant |x' par G — (Ji, et chassant les dénominateurs, on trouve, pour Tenveloppe, l'équation
A« H- B«-^ G» — aAB — 2AG — 2BG = o, qui peut se mettre sous la forme
di /Â =ii /B ± /G = o.
Exemples : i» On donne, dans un triangle, un angle et la somme c des côtés qui le comprennent : trouver l'enveloppe du troisième côté.
Ge côté a pour équation
et,' comme a-h b = Cj on a pour Tenveloppe
jpi^jri — 'ixy — 1CX — icy -\- c^ = o ;
c'est une parabole tangente aux côtés ;r et^ du triangle.
2* On donne de position deux diamètres conjugués d'une ellipse, et la somme c' de leurs carrés : trouver V enveloppe de l'ellipse.
Si, dans l'équation
on introduit la condition a'* -+- b'^ = c*, on trouve pour l'enveloppe
xzhyzh c = o.
L'ellipse est donc tangente à quatre droites fixes.
288. Lorsque les coefficients de V équation d^une droite Xa -r [A^ + vY sont liés par une équation du second degré en X, [JL et v,
AX- 4- B(JL- -f- Cv- -f- aFfxv -H 2GvX + 2 HX(jl = o, cette droite a pour em^eloppe une conique.
En éliminant v, entre cette dernière équation et l'équation de la droite, on trouve en effet
( Ay* — 2GYa 4- Ca«) X* -H 2 (Hf — Fya — Gy p -f- Cap) XjjL
-H(By»— 2FYp+Cp*)u.-rz:0,
ce qui donne pour l'enveloppe
(Ay*— 2GYa 4- Ca«) (By» — 2FyP 4- Cp^) — (Hy* — FyoL — GyP -+- Gap)^ ou, en développant et divisant par y*?
(BC — F*)a» + (CA — G*) p«-f- (AB — H») y*
-f-2(GH — AF)Py4-2(HF — BG)Ya4-2(FG — CH)ap = o.
On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante : Toute équation tangentielle du second degré^ en X, pL et V, représente une conique dont Véquation en coordonnées trilinéaires se déduit de Véquation tangentielle, de la même manière que celle-ci se déduit de Véquation en coordonnées trilinéaires.
Nous avons vu, en effet (n® 151), que la condition pour que Xa -h \}.^ H- vy soit tang^ente à
aa'-l- ôp'-hCY* 4- 2/pY-h 2^yo^~+" 2AaP = o est exprimée par l'équation
( bc —f)\^ H- {ca — g^) ]j}-\-{ah~- A«)v*
i{gh — af)]vt -h2{h/— bg)^\ -h 2{/g — c/i)Xjx = o,
qui n'est autre que l'équation tangentielle de la conique. Réciproquement, la conique aa^+...=o est l'enve-
loppe de la droite dont les coefficients X, (x, v satisfont à la condition AX^-f- ... = o, puisqu'on remplaçant A, B, ... par bc — /^, ca — g^^ . . . , dans l'équation
(BC — F*)(x'-h ...=o
donnée plus haut, elle devient
( abc -h '^fgh — ap — bg^ — cA')
X (aa* -hZ/p*4-CY*-+- 2/Py H- 2^y*"^ 2Aap):rro.
Exercices.
1. Démontrer, comme cas particulier de ce qui précède, que les lignes qui satisfont aux conditions
T- H 1 = O, /F X -h JQ iJL -h /ïîv = o
ont respectivement pour enveloppes (n®» 127, 130)
2. Trouver la condition pour que la droite Xan- jxp H- vy rencontre la conique représentée par Inéquation générale en deux points réels.
Cette droite rencontre la conique en des points réels ou imaginaires, suivant que la quantité {bc — /*)X'-h ... est négative ou positive. Lorsque cette quantité s'annule, la droite est tangente à la conique.
3. A quelle condition les tangentes menées par le point (*'> P'> t') sont-elles réelles?
Ces tangentes sont réelles quand la quantité (BG — F») a'* -i- . . . est négative; autrement dit, lorsque
abc ■+- ^/gh -h . . . et aa'* -+- 6 P'* -H . . .
sont de signes contraires. Les tangentes sont imaginaires, ou, ce qui revient au même, le point (a', p', y') est à Tintérieur de la conique lorsque ces quantités sont de même signe.
DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. Hl
