On démontrerait, comme au n** 76, que la condition

ABC -h 2FGH — AF* - BG» — GH« = o

exprime que l'équation

AX"-+-B[i*-h Cv^-i-2F[Av-+- 3GvA4- 2HAjjt. = o

peut se décomposer en deux facteurs et se mettre sous la forme

(a'X 4- ,^'(1 -+- y'v) (a'X -H p'^L 4- y'v) = o. Cette condition exprime donc (n^ SI) que la droite

Xa -h ap -f- vy

passe par Fun ou Tautre des deux points fixes, dont on obtient les équations (n®70), en ég^alant séparément à zéro les deux facteurs suivant lesquels se décompose Téquation AX^-f- . . . = o.

En remplaçant, comme au Numéro précédent, A, B, ... par bc — /^j ca — g^^ . . . , on voit facilement que la quantité

ABC-haFGH-h ...

n'est autre chose que le carré de abc + ^/gà -+-....

Exercice.

Lorsqu'une conique passant par deux points donnés a un double contact avec une conique fixe, la corde de contact des deux coniques passe par un point fixe.

Soient S = o Téquation de la conique fixe, S =(Xa-+- [x^ -+- vy)* celle de l'autre conique ; en remplaçant, dans cette dernière équation, les coordonnées courantes par les coordonnées des points donnés

(a',P',Y'), (et', p', y'), on a

S' = (Xa'H-|jL3'+vY')' S' = (Xa'-f-{xP'+vY')«. d'où

(Xa'H-|j.p'4.vY') v/S* = ±:aa'-f.îxp'-4-vY') /S^;

la corde de contact Xoe + [jl^ + vy passe donc par l'un ou Tautre des deux points fixes définis par cette équation, puisque S' et S' sont des constantes.

287. Trouçer l'équation générale des coniques ayant un double contact avec deux coniques données S et S'.

En désignant par E et F les deux cordes de l'un des couples de cordes communes à S et S', on a

S — S' = EF, et Téquation

|i« E« — 2îx(S 4- S') + F= = o

représente un système de coniques doublement tangentes à S et S', puisqu'elle peut se mettre sous l'une ou l'autre des formes

(|xE -h F)« = 4jaS, (|xE - F)* = 4|xS'.

Les cordes de contact [xE -f- F, jxE — F, des coniques de ce système passent toutes, d'ailleurs, par le point de rencontre des cordes E et F, et forment avec ces cordes une série de faisceaux harmoniques ( n® 57 ) .

Les coniques S et S', admettant en général trois couples de cordes d'intersection, il existe trois systèmes distincts de coniques ayant un double contact avec deux coniques données. Toutefois, lorsque S' se transforme en un couple de droites, il n'y a plus que deux couples de cordes distinctes, et, par suite, deux systèmes de coniques; quand S et S' se transforment toutes deux en couples droites, il n'y a plus qu'un seul système.

Remarquons, en outre, que l'équation de l'un quelconque de ces systèmes est du deuxième degré en jx, et par conséquent, que l'on peut toujours faire passer par un point quelconque deux coniques de chacun de ces systèmes.

Exercice.

Trouver V équation générale des coniques tangentes à quatre droites données.

Soient A, 6, G, D les quatre côtés et E, F les diagonales du quadrilatère formé par les droites données ; on a alors AG — BD = EF ; ce qui donne pour l'équation cherchée

jji«E« — 2H^(AG -T- BD)-h F2 = o.

Quand on représente par L, M et N les diagonales^ les côtés ont pour équation L ± M ib N = o, et Féquation des coniques prend la forme symétrique

IJL«L« — pL(L« -f- M» — N*)H- M« = o, qui montre que ces courbes sont tangentes à

On peut aussi mettre cette dernière équation sous la forme

Nî=-V-4--^ (no 278).

cos'îp sin-«p

288. L'équation générale des coniques ayant un double contact avec deux cercles G et C peut s'écrire

JJL-- — 2 ja(G -1- G') -h (G — G')- == o,

et on en déduit pour les cordes de contact

G — G'-f-[i = o, G — G' — [x=ro;

ces cordes sont parallèles à l'axe radical des deux, cercles, et situées à égale distance de cet axe.

En mettant l'équation des coniques sous la forme

on voit que : Le lieu des points tels que la somme, ou la différence, des tangentes menées de ces points à deux

cercles fixes, soit constante^ est une conique ayant un double contact avec les deux cercles.

En supposant les deux cercles infiniment petits-, on retombe sur la propriété fondamentale des foyers (n®" 182-183).

Quand ja est égal au carré du segment déterminé par les cercles sur une de leurs tangentes communes, Téquation représente un couple de tangentes communes.

Exercices.

1. Trouver, d'après ce qui précède, les tangentes communes aux cercles proposés dans les Exercices des /i** 113 et 114.

2. On donne trois cercles G, G' et C '.h et L' sont les tangentes communes à G', G'; M et M' d G', G; N et N' à G, G'; si L, M c^ N passent par un même point, L', M' et N' passent aussi par un même point (*).

Soient

v/c-+-/G* = ^ ^^-4-/0 = /^, i/c-hi/a = t%

(') Ce théorème fournit, ainsi que l'a montré Steiner, une solution du problème de Malfatti : Inscrire dans un triangle trois cercles tels que chacun d*eux soit tangent aux deux autres et à deux des côtés du triangle. En inscrivant un cercle, dans chacun des triangles formés par un des côtés du triangle donn^ et par les bissectrices des angles adjacents à ce côté, on obtient trois cercles, qui ont trois de leurs tangentes communes concourantes, et qui admettent, par suite, trois autres tangentes concourantes, ces trois dernières tangentes sont en même temps des tangentes communes aux cercles cherchés. M. Hart a donné une démonstration géométrique de cette solution dans le Quarterly Journal of Mathematics, T. I, p. 219. On peut d'ailleurs donner plus d'extension au problème de Malfatti, en substituant aux trois cercles de l'énoncé, trois coniques ayant chacune un double contact avec une conique donnée; ce nouveau problème se résout en s'appuyant sur le théorème de l'Exercice 3, ou sur son réciproque, et non plus sur la proposition de l'Exercice 2.

les équations des couples de tangentes communes. La condition pour que L, M et N passent par un même point est t'dzt = t'; et il est évident que, lorsque cette condition est remplie, L', M' et N' passent aussi par un même point.

3. Lorsque trois coniques ont un double contact avec une quatrième, les six points déterminés, sur ces trois coniquts,par trois de leurs cordes communes, ne passant pas par un même point, appartiennent à une même conique. Dans le cas particulier où trois de ces points sont en ligne droite, il en est de même des trois autres.

Soient S — L* = o, S — M- = o, S — K^ = o, les trois coniques, et L -+- M = o, M -H N = o, N -4- L = o, trois de leurs cordes communes, ne passant pas par un même point; l'équation

S -H MN -^ NL -+- LM =(S — L2)-^(L-HiM)(L-i-N)

démontre le théorème.

§ V. — Équation générale du second degré.

289. Uéquation d'une conique quelconque peut toujours se mettre sous la forme

Cette équation est en effet du deuxième degré, et, comme elle renferme cinq paramètres arbitraires, il est toujours possible de déterminer ces paramètres de manière que la courbe qu'elle, représente passe par cinq points donnés, et coïncide, par suite, avec une conique donnée. Pour passer de cette équation, qui suppose les coordonnées trilinéaires, à l'équation en coordonnées cartésiennes, il suHit d'y remplacer a, 3 par x^ y^ et d'y faire 7 = 1, ce qui revient à supposer la droite Y à l'infini (n«» 69-76 ).

En général, toute courbe de degré n peut se représenter par une fonction homogène du même degré en a, ^ et y; il est facile de voir, en effet, que l'équation complète de degré n entre deux variables, et l'équation homogène de même degré

entre trois variables ont le même nombre de termes, et, par suite, peuvent être assujetties au même nombre de conditions.

290. Nous avons vu (n®66) que les coordonnées d'un point quelconque de la droite passant par les deux points

(^'j S'j y)î ^ -i ^ -> t") peuvent s'exprimer par

/a'-^ma^ /p'-hm^^ li-^m^\

on obtiendra donc les coordonnées des points où cette droite rencontre une courbe, en substituant, dans l'équation de la courbe, les valeurs ci-dessus aux coordonnées courantes

a,P et Yj et en déterminant le rapport au moyen de la relation déduite de cette substitution (•). Ainsi (n®92), les points où cette droite rencontre une conique sont donnés par l'équation du second degré

H- 2 /m [aa'a^-h ^p'p'^-h cy'y''

-r- m* ( a a''- -h 6 p'- 4- c y"* -i- a/P'' y" -H 2 ^ y" *" h^"^") — o, que l'on peut écrire, pour abréger.

Lorsque le point (a', g', y') est sur la courbe, S' s'annule, et l'équation se réduit au premier degré. En la résolvant par rapport à /l /n, on trouve

S''a'-2Pa^ S'p'-2Pp^ S'y'-2Py'

pour les coordonnées du point où la droite, joignant un point quelconque (a', g', y) de la courbe à (/,P'',y")î rencontre de nouveau la conique. Quand P.-jzo, elles se réduisent

(*) Cette méthode est due à Joachimsthal.

à o/, P', y'* Ï^ ^^ résulte que, si a", ^'^ et y" satisfont à la relation

la droite joignant (/, p", y") à (a', P', y) rencontre la courbe en deux points qui coïncident en (a', P', */); autrement dit que (a", p", Y) ®^^ situé sur la tangente en (a!, p', y')- L'équation P = o représente donc la tangente en (a', g', y )«

291. La symétrie de cette équation en a, P, y» «'?&'? y' montre (n® 89) que, dans le cas où («', p', yO ne se trouve pas sur la courbe, elle représente la polaire de ce point. On peut d'ailleurs observer (n** 91) que l'équation P = o exprime que la droite joignant (a', g', y) à (a'', P", y") est divisée harmoniquement par la courbe.

L'équation de la polaire peut se mettre sous la forme

a'(aa + A p -h ^Y) -+" P' (^« -^ *P "+-/y) -+- / (o a ->-/P -*- ^r ) -- <>

qui se ramène à

en observant que les coefficients de a', P', y' sont respectivement proportionnels aux dérivées de l'équation de la conique, prises successivement par rapport à a, p, Yj ^^ ^^ posant pour abréger

^ dS ^ dS ç dS

^'-Tol' ^'-Tp' ^'-Ty'

Lorsque p' et ^ sont nuls, l'équation de la polaire se réduit à S| = o. L'équation de la polaire de V intersection de deux des lignes de référence s'obtient donc en prenant la dérivée de l'équation de la conique, par rapport à la troisième.

L'équation de la polaire étant symétrique en a, P, y et a', P', y peut encore se mettre sous la forme

aS',-i-pS',-hYS'i=o,

en désignant, suivant l'usage, par Sj, ce que devient S| lorsqu'on y remplace a, 3, y P^^ a'? P'» */•

292. Lorsqu'une conique se transforme en un couple de droites OP, OP', la polaire d'un point quelconque A passe par l'intersection O de ces droites.

La Géométrie nous apprend, en effet, que si l'on prend sur chacune des sécantes APF issues du point A la moyenne harmonique AQ des segments AP, AP' déterminés par les droites OP, OF, le lieu des points Q est une droite qui passe par le point O, et qui est, par rapport à OP et OP', la conjuguée harmonique de la droite unissant le point A au point O. Les formules du Numéro précédent conduisent du reste au même résultat; d'après ces formules, la polaire de (o/, f) par rapport aux droites a^ = o a pour équation P'a -1- û/p := o, et on sait que cette équation représente (n®57) la conjuguée harmonique, par rapport à a et p, de P'a — a P, c'est-à-dire de la droite qui joint (a, p) au point donné (a', ^').

Il résulte de ce qui précède, queues polaires des sommets (P, y)) (Yj a) (a, P) du triangle agy se coupent en un même point quand la conique se réduit à deux droites. Pour exprimer que l'équation générale représente un couple de droites, il suffit donc d'écrire que les équations de ces polaires,

représentent trois droites concourantes, ou, ce qui revient au même (n® 38), d'éliminer a, p, y? entre ces trois équations. On retrouve ainsi la condition bien connue (n'**76, 147, 151,

abc -H 2/gh — a/* — bg- — ch- = o, et on voit en outre que cette condition peut se mettre sous

forme de déterminant, et s'écrire *

Le premier membre de cette équation s'appelle le discriminant ( ' ) de l'équation de la conique. Nous le désignerons dorénavant par la lettre A.

293. Trouver les coordonnées a!, p', y du pâle d'une droite as: -h jjlP + vy pcif rapport à une conique représentée par l'équation générale.

On a, d'après le n« 291 ,

et, en résolvant ces équations par rapport à a', P', y'> il vient

Af' = X(/^ — c/0-hK-(ca — ^s)4-v(^/i— a/),

les coordonnées du pôle sont donc respectivement proportionnelles à

AX-hHfji-i-Gv, HX-hBfx-hFv, GX 4-Fjx-hGv (-). En exprimant que ces coordonnées vérifient l'équation

Xo -{- jjlP -H vy zn: O,

on obtient la condition pour que la droite Xa -\- [l^ ~r vy touche la conique, puisque le pôle d'une tangente quelconque

(* ) Voir les Leçons d'Algèbre supérieure, par G. Salmon; huitième leçon de la traduction française. (Paris, Gauthier-Villars.)

(-) Les coefficients A, B, C, . . . sont employés ici avec la même signification qu'au n* 151 ; on peut aussi les considérer comme les déterminants mineurs obtenus en supprimant successivement, dans le déterminant (a,bjC) du numéro précédent, les lignes et les colonnes qui contiennent a, 6, c

S. — Géom. à deux dim, aq

45o CHAPITRE XIV.

est situé sur cette tangente ; on retombe ainsi sur Féquation du n» 285

Quand on représente par 2 le premier membre de cette équation, les coordonnées du pôle, qui sont les dérivées parlielles de S par rapport à X, |Ji, v, se trouvent représentées par Si, 23a, Ss; la condition pour que la droite Xa + jx^-f-rf passe par le pôle de X'a -I- ;V3 -4- v'y, ou, en d'autres termes, l'équation tangcntielle du pôle de X'a -h fi'P -h v'f, prend alors la forme

xs; + as;-f-vs;=o,

qui présente une analogie remarquable (n*29l) avec la forme de l'équation de la polaire de (a', p', y)

Dans ce système de notations, la condition pour que les deux droites Xa -f ;j.? -h vy, X'a + /P H- /y soient conjuguées par rapport à la conique, autrement dit soient telles que le pôle de Tune soit situé sur l'autre, peut évidemment se mettre sous l'une ou l'autre des formes équivalentes

x'Si-i-|x's,-}-v'Sj-:o, xs;-+-fi.s;-f-vs;=:o.

Observons enfin que, d'après la manière même dont on a formé l'expression de 2, 1] est le résultat de l'élimination de fl/, p', y et p entre les équations

acf.' hAp' + ^r'-i-p^— o, Aa'-i-^p'H-/y'-+-p{jL=:o, ^a' -h /P' -+- c^' -{- cv — o, Xa' -+- {xp' -4- v/ = o,

et, par suite, peut être représenté par le déterminant

On démontrerait de la même manière que la condition pour que les droites Xa-f-pL^-f-vY, X'a + jjl'P + v'y se coupent sur la conique s'obtient en égalant à zéro le détermi nant

fJl' v'

Ezercices.

1 . Trouçer les coordonnées du pôle cfc Xa -f- jx^ -4- ^^par rapport à la conique ^Tol ^- //n3 -f- /'^Y'

L'équation tacgentielle de cette conique, qui est tangente aux trois droites a, p, y> peut s'écrire (n® 130)

/[xv -H /nvX -h /iXjx = o, et l'on a, pour les coordonnées du pôle,

a'= mv -f- n[x, p'=/iXH-/v, '^' = l^

2. Trouver le lieu du pôle de Xa -f- (ip -f- vy par rapport à un système de coniques tangentes aux trois droites a, p, y ^l satisfaisant, en outre, à une autre condition ( ' ).

£n résolvant par rapport k l, m, n les trois dernières équations de l'Exercice précédent, on voit facilement que /, m, n sont proportionnels à

X({xp'-+-vY'-Xa'), jx(vY'-f-Xa'~jjL?'), v(À!x'-i- pi?' — vy'),

quand le pôle est pris par rapport à une conique inscrite dans le triangle a^Yî pour obtenir l'équation du lieu, il suffit donc de porter ces valeurs dans la relation en /, m, n que l'on forme en exprimant que cette conique satisfait à la quatrième condition.

(*) La solution que nous donnons ici a été indiquée par M. Hbarn, Researches on Conic Sections,

Dans le cas particulier où X, p. et v représentent les côtés a, 6 et c du triangle de référence, on obtient ainsi le lieu du pôle de la droite située à l'infini aa-h b^ -{- c^, c'est-à-dire le lien du centre de la conique.

Quand les coniques doivent, comme quatrième condition, être tangentes à la droite Aa-nBp-hGY, ona (n* 130)

et le lieu du pôle de Xa + (a^ -h vy est la droite

X(fAp-+-vY — Xa) |x(vY4-Xa— (xP) v (Xa -4- p.? — vy) Â -^ B -^ G = ^-

Lorsque les coniques sont assujetties, comme quatrième condition, à passer par le point (a', ^', y'), /, m, n doivent satisfaire à la relation

v/7ô?-t- /mp' -H v'^nY = o,

et Ton a, pour le lieu du pôle de la droite Xa + (jl^ -H vy par rapport aux coniques tangentes à a, p, y ^^ passant par (ot', P', y').

v/Xa'(jxp-i-vY — Xa)-f- /{Ap'(vY -r- Xa— (x^)

-4- /vy'(^« -^- H^P — vY ) = o ; c'est une conique tangente aux droites

jip -H VY — Xa, vY -h Xa — [xp, Xa -i- jxp — vy.

Dans le cas particulier où Ton cherche le lieu du centre, ces trois droites sont celles qui joignent les milieux des côtés du triangle formé par les droites a, P, y-

3. Trouver les coordonnées du pôle de Xa -i- p.p -h >t^par rapport à la conique /pY H- m^<i -+- nap, circonscrite au triangle «Py»

L'équation tangentielle de la conique est alors (nol27)

/*X5-h /n*fJL*-f- /i*v* — 2/nnfJLv — 2ra/vX — 2/mXp. = o,

et l'on a pour les coordonnées du pôle

a'=/(/X — /njJL — /iv), P'=/n(/n|jL — nv — /X), y' = n(/iv — /X — wtfx).

ce qui donDe

en opérant comme ci-dessus, on trouve que les valeurs de /, m et n sont respectivement proportionnelles à

flt'(lJip'-i-vY'--Xa'), p'(n'-+-Xfle'-|xp'), -f'C Xa' -r- ji?' - v^ ).

La condition pour qu'une conique circonscrite à a^Y P^^se par un quatrième point (ot', P', y') étant donnée par

le lieu du p61e de Xot-f- [jip + vY, par rapport aux coniques passant par quatre points, a pour équation

quand la droite est à Tinfini, ce lieu est une conique qui passe par les milieux des côtés des triangles que Ton peut former avec les quatre points.

La condition pour qu'une conique soit tangente à la droite A ce -f- B p -f- Gy étant exprimée par

le lieu du pôle de Xa + {ip + vy par rapport aux coniques passant par trois points et tangentes à cette droite est donné par l'équation

i^Aa(|x|iH-vY — Xa)-+-v^Bp(vY-hX«— (xp)-h/GY(XaH-jAp — vy)"0, qui représente en général une courbe du quatrième degré.

294. LorsquW point (/^^^y^) appartient à la tangente menée à une courbe par le point fixe (a/, P', y^)» '^ droite joignant (a', p', y')? (a^ P^ y") rencontre la courbe en deux points qui coïncident, et Péquation en /: m (n® 290), qui détermine

les points d'intersection de cette droite avec la courbe, a ses racines égales.

Pour obtenir Péquation de toutes les tangentes qu'on peut mener à une courbe par (a', P', y'), il suffit donc de substituer, dans l'équation de la courbe, /a -h mo/, /f + mg', /y + ^t'j à a, |3, Y et d'écrire la condition pour que l'équation en llm^ qui résulte de cette substitution, ait ses racines égales. On trouve ainsi (n®92) pour l'équation des tangentes menées à une conique par le point (o/, P', y),

ou, en employant les notations du u? 290,