SS' — P

On peut encore mettre cette équation sous une autre forme en observant que la droite qui joint à (o/, P', 7') un point quelconque (a'', p", y') de l'une ou l'autre des tangentes menées par (a', P', y) est nécessairement tangente à la courbe. Pour obtenir l'équation du couple de tangentes, il suffit donc de former la condition pour que la droite

qui passe par ces deux points (n® 65), soit tangente à la courbe, et d'y considérer a*", p*^, ^ comme coordonnées courantes; en d'autres termes, il suffit de remplacer X, (jl et v par Py' — P'y> Y^'— y»? ^& — a'&j daiis l'équation du n^ 285,

L'équation obtenue de cette manière ne diffère pas, au fond, de celle qui a été donnée plus haut; en se reportant aux valeurs de A, B, C, ... (n®285), il est facile de voir, en

effet, qu'on a

(aa*-i-6p'-i- ...)(aa'--i- 6^'* -h ...) — (aaa'-i- ...)* = A(P/-P'y)«+....

Exercice.

Trouver le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une conique définie par l'équation générale (n» 160, Ex. 4).

L'équation du couple des tangentes menées par un point quelconque (n« 147) peut se mettre sous la forme

A(y — y )« -+- B(x — a/)« -H C{xy —ysf)'^ — aF (a? — a/) (a-/ — r^) 4- aG^x — /) («ir' — r^') — aH (a; — a:') {y -^y') = o,

et représente deux droites perpendiculaires lorsque la somme des coefficients de a?* et de j^' est nulle. Le lieu cherché,* qui a pour équation

G(a7«-hj'2)aGa7 — îiFj-h A -4- B = o,

est le cercle directeur de la conique. Lorsque cette conique est une parabole, on a G s o, et le lieu se réduit à la droite

qui est la directrice de cette parabole.

29S. Il résulte de ce qui précède que les couples de tangentes menés par (p, y), (y, a), (a, P) ont respectivement pour équations

By« -i- Cp' — aFfv = o, Ca» -i- Av^ — aG^a = o,

Ap«-}-Ba*— aHap=o(»),

(') On peut arriver directement à ce résultat, en mettant successivement Téquation de la courbe sous la forme

et sous les deux autres formes analogues.

et, par suite, que le produit kl^ des coefficients Ar et Âr' qui caractérisent les équations p — Ay = o, g — A/y = o des tangentes d'un même couple, est égal à j^> à ^ ou à jr> suivant

que ces tangentes sont issues de (p, y), de (y, a) ou de (a, g). Et comme le produit de ces trois dernières quantités est égal à l'unité, il s'ensuit, étant donnée la signification du coefficient X: (n^ S4), que, dans tout hexagone circonscrit à une conique, on a la relation

sin EAB . sin FAB . sin FBC . sîn DBC . sîn DCA . sin EGA sin EAG . sin FAC . sm FBA . sin DBA . sin DGB . sin EGB ~ ' '

où A, F, B, D, G, E représentent les sommets de l'hexagone, suivant l'ordre dans lequel ils se succèdent.

Lorsque les équations de trois couples de droites peuvent se mettre sous la forme

M* + N* 4- 2y'MN = 0, N* 4- L« 4- 2^'NL = o, L«4-M«4-aA'LM = o,

les six droites qu'elles représentent sont tangentes à une même conique, puisque les équation3 trouvées plus haut pour les trois couples de tangentes se ramènent à cette forme

quand on y remplace a par Ly/Â, p par My/B,

296. Lorsqu'on veut former les équations des droites qui joignent un point (a', P', y') ^ ^^"^ ^^® points d'intersection de deux courbes, il suffit de remplacer, dans les équations de ces courbes, les coordonnées courantes a, ^y Y P^^ /a + /no/, /p-f-'wp', /y -4- m-/ et d'éliminer l\m entre les équations ainsi obtenues. Un point quelconque de ces droites jouit en eflFet de cette propriété que la ligne qui le joint à (a', P'?*/) rencontre les deux courbes en un même point; il en résulte que les équations en l\m^ qui déterminent les points où

Tune de ces droites rencontre l'une et l'autre courbe, ont une racine commune; et, par suite, que la relation obtenue en éliminant / : m entre ces équations est vérifiée par les coordonnées de ces points. '

Ainsi les deux droites qui joignent (a', p', y') aux points où la droite L rencontre la conique S ont pour équation

L'*S — 2LL'P-i-L«S'=ro,

U et S' étant ce que deviennent L et S quand on y remplace a, p, Y ps^r «'> 3'j y > et cette équation se réduit à

L'S — aLPrno, lorsque le point (a', P', y) est sur la courbe.

Exercice.

Dans toute conique, les cordes qui sont vues sous un angle droit d'un point donné de la courbe passent par un point fixe (no 481, Ex. 2).

Prenons des coordonnées rectangulaires et formons, comme cidessus, Téquation des droites qui joignent le point donné (^,>^) aux intersections de la conique aâ?'+6^< H- ... avecladroiteXa7-+-[j.y-f-v. Pour que ces droites soient perpendiculaires, il faut que la somme des carrés des coefficients de x^ et de y^ soit nulle, ce qui donne

{\a/^ H"-/-*- v)(a-H b) = a(aXar'-i- ^jx/);

et comme X, fx, v n'entrent dans cette équation qu'au premier degré,

la corde passe par un point fixe ( j- a/, i.?^)'

Quand le point donné se déplace sur la courbe, le point fixe décrit une conique. Lorsque Tangle sous lequel on voit la corde n'est pas droit, ou s'il est droit et que le point d'où l'on voit la corde ne soit pas sur la courbe, on trouve^ pour le lieu, une expression qui

renferme X, (x et v au second degré; la corde enveloppe alors nne conique.

297. L'équation de la polaire d'un point ne renferme les coefficients de Féquation de la courbe qu'au premier degré; par cela même, toute indéterminée qui entre au premier degré dans l'équation d'une conique entre également au premier degré dans l'équation de la polaire d'un point. Ainsi, P et P représentant les polaires d'un point donné par rapport aux deux coniques S et S', P + ArP' représente la polaire du même point par rapport à S + ArS', puisqu'on a identiquement

{a -4- ka') clol' -h ••' = uolcl' -h . . . -+- k{a!wi' -H . . .)•

Par suite : Les polaires d' un point fixe quelconque, prises par rapport aux coniques circonscrites à un même quadrilatère, passent par un point fixe (n" 151, Ex. 2).

De même, Q et Q' étant les polaires d'un autre point par rapport à S et S', Q -h A* Q' sera la polaire de ce second point par rapport à S + A:S'. Les polaires de deux points fi^es quelconques, prises par rapport à un système de coniques circonscrites à un même quadrilatère, forment donc deux faisceaux homo graphiques (n®59).

Le lieu des intersections des rayons correspondants P -4- A-P', Q 4- A*Q' rfe deux faisceaux homo graphiques est une conique qui passe par les centres des faisceaux. En éliminant k entre P -|- ArP et Q + A:Q', on trouve, en effet, PQ':= P'Q. Dans le cas particulier qui nous occupe, l'intersection des deux rayons correspondants est le pôle par rapport à S+ArS' de la droite qui joint les deux points donnés. Donc : Le lieu des pôles d'une droite donnée quelconque, pris par rapport aux coniques passant par quatre points fixes, est une conique (n® 278, Ex. 2).

Lorsqu'une indéterminée entre au second degré dans Péquation d'une conique, elle entre également au second degré dans l'équation de la polaire d'un point donné, et cette polaire enveloppe une conique. Ainsi la polaire d'un point fixe, par rapport à un système de coniques ayant un double contact avec deux coniques fixes, enveloppe une conique, puisque l'équation de chacun des systèmes de coniques indiquées au n® 287 renferme l'indéterminée \k au second degré.

Exercices.

1. Un point glisse sur une droite fixe : trouver le lieu de Vin» tersection de ses polaires par rapport à deux coniques fi^es.

Soient («', P', y')> («'j P^ y") deux points quelconques de la droite fixe ; P' et P', Q' et Q' leurs polaires prises successivement par rapport à Tune et à l'autre conique. Les coordonnées d'un troisième point quelconque de la droite seront Xa'-4- jjia', Xp'-h (jl^', X^'-h fi-Y*» et les polaires de ce point, XP'-4- jxP', XQ'h- jjlQ', se coupent évidemment sur la conique P'Q'= P'Q'.

2. Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique de leurs quatre polaires.

Le rapport anharmonique des quatre points

/a -h ma', VoL-^-m'o^, l'a! -^ m'a.', f at' -{- m" a^ est, en effet, le même que celui des quatre droites

/P'-f-mP', /'P'H-m'P', rP'-hm'P', TPH-m-'P'.

3. Former l'équation des tangentes menées à la conique S aux points où elle est coupée par la droite y.

La polaire d'un point quelconque (oc', p') de y a. pour équation

a'S,-+-P'Ss = o,

46o CHAPITRE XIY.

et, si Ton fait y = o dans Féquation générale, on a, pour déterminer les points où y rencontre la courbe,

«ea'«-4-aAa'P'-f-6P'* = o.

Éliminant a' et p' entre ces deux équations, il vient, pour l'équation des deux tangentes,

aS\ — aASiSt-f- ÔSJ = o.

Quand la droite y s'éloigne à Tinfini, cette équation prend la forme

a T— V— aA — — ù /— V = o \(fyj dx dy \dx) *

et représente les asymptotes en coordonnées cartésiennes.

4. Une conique est circonscrite à un triangle donné; l'une de ses asymptotes passe par un point fixe; démontrer que Vautre asymptote enveloppe une conique inscrite dans le même triangle.

Prenons le triangle donné pour triangle de référence. Soient ^i, tf les asymptotes et aa+ 6^ + cy la ligne à l'infini; la conique aura pour équation

^1 r» = (aa H- 6 p H- c y)';

et, comme elle passe par les points (p, y), (y, oe), (a, P), cette équation ne devra contenir aucun terme en a', p*, y*» si donc tt est

représentée par Aa-f- [a^ h- vy, t^ le sera par -^«h ^-h — Yl^t

si tt passe par (a', P', y')i ^i sera tangente (n* 285, Ex. 1) à la conique

a /ôôP-f- h /PP' -h c v/y7 ~ ® inscrite dans le triangle. On prouverait de la même manière que, si Tune des cordes d'intersection d'une conique circonscrite à un triangle avec une autre conique définie par l'équation générale est représentée par Xa -t- [jlP -h vy = o, la corde opposée a pour équation

• -ï-aH Ph- -y = o.

5. Une conique a pour triangle autopolaire un triangle donné; l'une de ses cordes d'intersection avec une conique fixe

définie par l'équation générale passe par un point fi^e; démontrer que Vautre corde enveloppe une conique, (M. Burnside.)

termes

Ct I2I COa U^ «A lAAIrCiXa^UblVU #\IA ~T~ i^H ~I~ VT — VF UC V^CI

conique fixe a nécessairement pour corde opposée

6. Étant donnés deux coniques \} et\ et deux points A et k' situés sur ces coniques, on mène les cordes AB, A'B'; trouver le lieu de l'intersection C! de ces cordes, quand leurs extrémités B et B' se déplacent de manière que la droite BB' pivote autour d'un point fixe O. (M. Williamson. )

Soient ce, p, y les coordonnées du point G ; «i, ^o Yi ' ^s» P<) ïs celles de A et A' ; soient en outre P la polaire de A par rapport à U, Q la polaire de A' par rapport à V. Les coordonnées du point B, où AG rencontre une deuxième fois la conique (n^ 290), seront

Uai— aPa, Up, — aPp, Uyi— aPy;

les coordonnées du point B' seront de même Vaj — 2Q0C , ... ; et, en exprimant que la droite BB' passe par le point O, point que nous supposerons à Tintersection de oc et p, il yienti pour Téquation du lieu,

Uaj — 1P0L ^ Vas — ^Qa^

Up, — aPp"" Vp, — 2QP'

le lieu du point G est donc, en général, une courbe du quatrième ordre.

Lorsque les points A, A' et O sont en ligne droite, on peut prendre cette droite pour a, ce qui revient à faire ai = «2 = o ; l'équation devient divisible par a, et le lieu est la courbe du troisième ordre

PVp, = QUPi.

Enfin, quand les points A, A' et O sont situés sur une tangente commune à U et V, P et Q représentent la même droite, Téquation

46a GHAPiTaE xiv.

précédente se réduit à

Cl le lieu est une conique passant par Tintersection des coniques U et V.

7. Inscrire dans une conique, donnée par l'équation générale, un triangle dont les côtés passent respectivement par les trois points (^y^), (y, a), (a, P).

La droite qui joint un point quelconque (a, p, y) ^^ ^^ courbe à un autre point (oc', P', y') rencontre la courbe en un deuxième point (n«290) dont les coordonnées sont S' a — 2 F a', S'p — aP'P', S'y — 2P'y'- Lorsque (a', P', y') se trouve à l'intersection des droites P et Y> on peut prendre a' = i , p' = o, y' = o, ce qui donne S' = x, P'«= Si, et le point où la droite qui joint (a, P, y)> (P» ï) rencontre la conique a poQr coordonnées

aa — 2S1, ap, a^;

on trouverait de même, pour les coordonnées du point où la droite unissant (a, P» y) ^ (ï> ^) l'eQContre la courbe,

ba, èp — 2S1, ^Y-

Pour que la droite joignant les deux points dont on vient de trouver les coordonnées passe par (a, p), il faut que Ton ait

aa — 2S1 boL

aji ~6p — 2S,'

ou, en réduisant,

2SiSj= aaSj-h ôpSi,

et cette condition, qui doit être vérifiée par le sommet du triangle opposé à (a, P), suffît pour déterminer le triangle. En adoptant les notations du n9 291, et en remplaçant, dans cette équation, a a par Si — /^p — ^Y> et ^ p par S, — ^a — /y, elle devient

À(aSi-i-pSOH-Y(/SiH-^S,) = o,

et, comme («j P) y) appartient à la courbe aSi + pSf + YS3 = o, on a en définitive

Y(/Si + 5'S,-AS3) = o.

Le facteur y P^ut être supprimé comme n'ayant pas de signification géométrique; l'un quelconque des points où la droite y rencontre la courbe satisfait, il est vrai, aux conditions analytiques exprimées plus haut, c'est-à-dire qu'en le joignant à (p, y) ^^ (ïj >) on détermine sur la courbe deux points en ligne droite avec (a, ^), mais les droites qu'on obtient ainsi coïncident avec ^ et ne sauraient former de triangle avec y* Le sommet du triangle cherché se trouvera par conséquent à l'un des deux points d'intersection de la courbe avec la droite /Si-h gS^ — hS^. Il est d'ailleurs facile de voir que l'expression

/St=^St = ASa

représente les droites qui joignent les sommets correspondants des

Fig. 93.

triangles aPY, SiS|S8;la droite/Sj-h ^'S, — AS, = o (n* 60, Ex. 2) peut donc se construire de la manière suivante :

Former le triangle DEF (Jlff. 98) ayant pour côtés les polaires des points fixes A, B et G; les droites qui joignent les sommets correspondants des deux triangles DEF, ABC rencontrent le triangle polaire DEF en trois points L, M, N qui déterminent trois droites LM, MN et LN passant par les sommets du triangle cherché.

On peut arriver à cette solution par de simples considérations géométriques. Supposons, en effet, que nous ayons tracé les deux triangles laS, 4^6 inscrits dans la conique et passant par les points donnés A, B et G. En appliquant le théorème de Pascal à l'hexagone 123456, on voit que la droite BG passe par l'intersection de 16 et 34, et que ce dernier point est le pôle de AL (n» 146, Ex. 1). De même AL passe par le pôle de BG, et le point L est sur la polaire de A.

Lorsque les trois points fixes forment un triangle autopolaire, le problème est indéterminé et admet une infinité de solutions.

8. Lorsque deux coniques ont un double contact, toute corde de Vune qui est tangente à Vautre est divisée harmoniquement par le point de contact et par le point où elle rencontre la corde de contact des deux coniques.

Soient S et S -4- R* les deux coniques; («', P', y'), («', ?', y') ^^^ extrémités de la corde que nous supposerons menée dans S. Les points où cette corde rencontre S + R* sont donnés par l'équation en / : m

(IK-^mR'y — 2/mP = o,

obtenue en remplaçant, dans S + R', o(}p)Y P^'* /a'+ ma', ...,et en observant que a', P', y' ; «', P', y' vérifient la relation S = o.

Pour que cette corde soit tangente à S + R*, il faut que le premier membre de cette équation soit un carré parfait, et par suite que Ton aitP = 2R'R'. Quand cette condition est remplie, Téquation se réduit à

(/R'-mR')' = o,

ce qui démontre le théorème.