Prouver que les théorèmes suivants sont réciproques

Les hauteurs de tout triangle circonscrit à une parabole se coupent sur la directrice.

Les hauteurs de tout triangle inscrit dans une hyperbole équilatère se coupent sur Vhyperbole.

3. Déduire le théorème précédent du théorème de Pascal (no 268, Ex. 3).

4. Les axes de la conique réciproque d'une conique donnée sont respectivement parallèles à la tangente et à la normale menées par l'origine, à la conique qui passe par cette origine, et a mêmes foyers que la conique primitive.

C'est une conséquence (n^ 189) de ce que les axes de la réciproque sont parallèles aux bissectrices extérieure et intérieure de Tangle que forment les tangentes menées par l'origine à la courbe primitive.

316. Étant donnés deux cercles, on peut toujours placer l'origine de telle sorte que les réciproques de ces deux cercles soient des coniques confocales. Les réciproques de ces cercles ont, en effet, un foyer commun qui est l'origine; pour qu'elles en aient un autre, il suffit qu'elles aient le même centre, c'està-dire que la polaire de l'origine soit la même par rapport aux deux cercles ; il faut donc que cette origine coïncide avec un des points déterminés au n^ 111. Donc : Quand on prend

un des points limites pour origine y à un système de cercles ayant même axe radical (n® 109) correspond comme réciproque un système de coniques confocales.

On verrait de même que les réciproques de deux coniques sont concentriques lorsque l'origine est un des trois points E, F, O (n° 282) qui ont chacun la même polaire par rapport aux deux courbes primitives.

Deux coniques confocales se coupent à angle droit (n® 188).

Les couples de tangentes me^ nés par un point quelconque à deux coniques confocales ont même bissectrice (n® 189).

Le heu du pôle d'une droite fixe, par rapport à un système de coniques confocales, est une droite perpendiculaire à la droite fixe (n» 226, Ex. 3).

La tangente commune à deux cercles est vue sous un angle droit de chacun des points limites.

Les segments interceptés par deux cercles sur une sécante quelconque sont vus sous des angles égaux de chacun des points limites,

La polaire d*un point fixe, par rapport à un système de cercles ayant même axe radical, passe par un point fixe, et ces deux points fixes soustendent un angle droit à chacun des points limites.

317. La méthode des polaires réciproques fournit une solution assez simple du problème : Décrire un cercle tangent à trois cercles donnés. Le lieu du centre d'un cercle tangent à deux cercles donnés, (i) et (a), est évidemment une hyperbole, qui a pour foyers les centres des cercles fixes, puisque la différence des distances de ces deux derniers points au premier est une quantité constante. Il en résulte que la polaire de ce centre, par rapport à Fun des cercles donnés (i), enveloppe un cercle (o) qu'il est d'ailleurs facile de construire (n®308); les polaires, par rapport à (i), des centres des cercles tangents à (i) et (3), enveloppent de même

un cercle (o'). Il suffit donc de déterminer le pôle, par rapport à (i), de la tangente commune à (o) et (o'), pour avoir le centre du cercle tangent aux trois cercles donnés.

318. Troui^er l'équation de la réciproque d'une conique par rapport au centre de cette conique.

La longueur p de la perpendiculaire abaissée du centre sur une tangente est donnée par l'expression (n® 478)

p* =z a* ces' 6+6" sin* 6,

où 0 représente F angle que cette perpendiculaire fait avec l'axe a. On en déduit, pour l'équation polaire de la réciproque,

-—z=ia'Cos*b-h 6'sin'ô,

et, par suite, pour l'équalion de cette même réciproque en coordoi^nées rectangulaires,

La réciproque est donc une conique qui a même centre que la conique primitive, et dont les axes sont les inverses des axes a et 6 de celte dernière conique.

319. Trouver V équation de la réciproque d'une conique par rapport à un point quelconque {x'^y),

La distance p du point {x'^y') à une tangente étant

(iiM78)

p=^ — = v^a* cos* 6 + 6' sin* ô — œ^ cosÔ — /' sinô,

on a pour l'équation de la courbe réciproque

(xx' -\-yy 4- /:»)- = a^x- -f 6'jk*.

320. Étant donnée la réciproque d'une courbe par rapport à Vorigme^ trouver l'équation de la réciproque de cette même courbe par rapport à un point quelconque {x\y').

Soit P la distance de l'origine à Tune des tangentes de la courbe primitive; la distance du point {x\y) à cette même tangente sera (n** 34)

P — ^'cosô — /'sin6,

et, si l'on désigne par R le rayon vecteur du point correspondant de la réciproque donnée, on aura pour l'équation polaire de la réciproque, par rapport k{x\y')^

— =: TT — ^' cosô — y' sinO.

On en déduit successivement

k- xx' -h yy' -+- k* R ces 9 p cos6

il suffit donc, pour former l'équation cherchée, de remplacer x et y par

xx' -h y y -f- k* xx' -\- yy' -h k'

lï'

dans l'équation donnée. Pour effectuer plus facilement la substitution, on peut mettre cette dernière équation sous la forme

en désignant par Uny Un^t-, ••• l'ensemble des termes de degré /i, de degré n — i, ... ; il vient alors, pour l'équation de la réciproque, par rapport à (^',^').

xx' -+- y/ ^- /r* / xx' -+- y y' -4- A-'X ^

Un -h Wrt-i p h Un-t ( '-j7i ) -f- • • • = O;

celle réciproque esl donc une courbe de même degré que la réciproque donnée.

321 . Trouver, par rapport au cercle x^ H- jv'^ — k^ = o, la réciproque de la conique définie par l'équation générale,

La polaire, par rapporl à l'auxiliaire, d'un poinl de la courbe réciproque esl langenle à la courbe primitive; on obtiendra donc l'équation de la réciproque en écrivant que la polaire XJI^ -^yy — k^i ^e [x'^y')^ est tangente à la conique donnée, ou, ce qui revient au même, en remplaçant, dans l'équation tangentielle (n** ISl) de cette conique, X, (x et v par x'^y^ — k^. On trouve ainsi pour la réciproque

kx^ -h 2H.r7 4- By- — iGk-x — aFA:»^ 4- C/t» = o

et on peut déduire de cette équation les diverses propriétés démontrées antérieurement. Ainsi, par exemple, quand la conique donnée est une parabole, on a afr — h^ = o^ 0 s'annule, et la réciproque passe par l'origine.

Lorsqu'on fait, pour plus de symétrie, Ar^-— __.^2^ ^^ qyj revient à prendre la réciproque par rapport à la courbe x^ + r^ -u 5- =^ o, l'équation de la polaire prend la forme TX^ -hyy -+- zz' = o, et l'équation de la réciproque s'obtient en remplaçant, dans l'équation tangentielle, X, [jl, v par^, î', z. La condition pour que la droite "kx -\- \xy -hvz soit tangente à une courbe peut donc être considérée comme l'équation de la réciproque de cette courbe par rapport k x^ -^ y^ -^ z'^ =^ o.

L'équation tangentielle du /i'^'™® degré représente toujours une courbe de la /i^ème dasse. Quand la droite Xx + [xy -{-uz passe par un point donné {x\ y' ^ z')^ on a, en effet, \x^ -1- ;x v' 4- v^' ^- f>, et, si l'on élimine v entre cette équation et l'équation tangentielle donnée, on obtient une équation

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de degré n pour déterminer le rapport X ! [x ; on peut donc mener n tangentes à la courbe par le point donné.

322. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur une classe de théorèmes qu^on peut transformer en prenant, comme auxiliaire, une parabole au lieu d*un cercle, et en s^appuyant sur le principe suivant (n® 211 ) : Le segment déterminé, sur l'axe d' une parabole, par deux droites quelconques, est égal au segment qu'interceptent les perpendiculaires menées à cet a^e par les pôles de ces droites (*).

Les théorèmes auxquels on peut appliquer ce mode de transformation sont ceux dans lesquels on a à considérer des segments situés sur des droites parallèles. On en trouvera quelques exemples ci-après, mais, avant de s'y reporter, il y a lieu d'observer que, si Ton prend une parabole pour auxiliaire, les deux points à l'infini de la réciproque correspondent aux deux tangentes menées à la conique primitive parallèlement à l'axe de la parabole, et par suite que la réciproque est une hyperbole ou une ellipse, suivant que ces tangentes sont réelles ou imaginaires. Il est d'ailleurs évident que la réciproque est une parabole, lorsque l'axe de l'auxiliaire passe par un point à Tin fini de la courbe primitive.

Comme exemple, transformons le théorème du n* 179 (Ex. 2) : Dans une conique, le produit des segments qu'une tangente quelconque détermine sur deux tangentes fixes et parallèles est constant. Aux points de contact des tangentes parallèles correspondent les asymptotes de l'hyperbole réciproque; aux intersections de ces tangentes avec la tangente variable correspondent dçs parallèles menées par un point

{*) Cette méthode de transformation a été indiquée par Chasles, Correspondance mathématique de Quetelet (T. V et VI, 1829). Voir aussi Géométrie supérieure, p. 407»

quelconque aux asymptotes. On a donc les deux théorèmes suivants :

Le produit des segments^ que déterminent sur une droite fixe les asymptotes et les parallèles menées à ces asymptotes par un point quelconque de la courbe, est constant;

Le rectangle construit sur les parallèles menées aux asymptotes par un point quelconque de la courbe est constant.

Les cordes qui joignent deux points fixes de l'hyperbole à un point quelconque de cette courbe déterminent sur Vasymptote un segment de longueur constante ( qo 199, Ex. 1 ).

Dans une parabole, les perpendiculaires menées à la tangente au som,met, par les intersections de deux tangentes fixes avec une tangente quelconque, déterminent, sur cette même tangente au sommet, un segment de longueur constante.

Les applications auxquelles se prête cette méthode de transformation sont assez limitées.

S. — Geom. à deux dîm.