A, ABGoo) = (B, ABC oo

Estimons les rapports suivant Goo, et soient a, 6 et K {fig- 97) les points où cette transversale rencontre les tangentes en A et B et

3tf

leur corde de contact; on aura, en se reportant à Tobservation finale de l'Exercice \ ,

CaCK

CK"" Cb*

Il en résulte que : Dans l'hyperbole, le segment déterminé, sur toute parallèle à une asymptote, par la courbe et la corde de contact de deux tangentes est une moyenne proportionnelle entre les segments interceptés, sur cette même parallèle, par la courbe et les deux tangentes. Dans la parabole, il en est de même pour les segments déterminés sur un diamètre quelconque.

Réciproquement : Lorsqu'une droite ab (fig. 97), menée parallèlement à une droite donnée, rencontre les côtés d'un triangle en a, 6, K,

et que Ton prend sur cette droite un point G tel que GK = Ga. G6, le lieu des points G est une parabole, si la droite donnée est la médiane correspondante à la base AB du triangle (n^ 21 1 ) et, dans tous les ajtres cas. une hyperbole ayant une asymptote parallèle à ab,

8* Quand deux des points fixes sont à ^infini,

(00 .ABOOQC'J=-(00'.ABOOOO'),

et les rayons aooo, oc '00' coïncident avec les asymptotes, tandis

PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARlfONIQUES. 5o5

que la droite oo oo ' est tout entière à l'infini. Prenons pour transversale un diamètre quelconque OA, et soient a et a! {fig, 98) les points où ce diamètre rencontre les parallèles Boo , Boo' menées aux asymptotes par le point B; on aura alors, en écrivant l'égalité des rapports anharmoniques,

PAO d

Oa~"OA*

Donc : Si, par un point d'une hyperbole, on mène des parallèles aux

Fig. 9a

asymptotes, le produit des segments que ces parallèles déterminent sur un demi-diamètre quelconque, à partir du centre de la courbe, est égal au carré de ce demi-diamètre.

Réciproquement : Si, par un point fixe 0, on mène une droite OA qui rencontre en a, cù deux droites fixes Ba, Ba', et si l'on prend

sur cette droite un point A tel queOA" ^ 0 a. 0 a', le lieu du point A sera une hyperbole ayant pour centre le point fixeO, et po.ur asymptotes des parallèles aux droites fixes Ba, Ba.