AB 00 00'):^ (00', AB
En considérant les segments déterminés par ces faisceaux sur l'une et l'autre asymptote, et en tenant compte des observations de l'Exercice 1, on a
Oa Ob'
Ob~ Oa''
0 étant le centre de la courbe. Donc : Le rectangle construit sur les parallèles menées aux asymptotes, par un point quelconque de la courbe, est constant.
CHAPITHB XVI.
327. Les exercices suivants se rapportent à la propriété anharmonique des tangentes d'une conique (n°275).
Exercices.
1. Cette propriété se présente sous une forme très simple lorsque la conique est une parabole, puisque la parabole a toujours une de ses tangentes à Tinfini (n<*254). Il en résulte que : Dans toute para-
Fig- 99-
bole, le rapport AB : AG des segments déterminés par trois tangentes fixes sur une tangente variable est constant.
Si l'on fait coïncider successivement la tangente variable avec chacune des tangentes fixes TP, QP, QR {fig* 99), on obtient L relation
/>Q ÇP Qr QK" Py ^ rP*
2. Considérons le cas où deux des quatre tangentes fixes, à une
Fig. 100.
ellipse ou à une hyperbole, sont parallèles. En faisant coïncider la tangente variable successivement avec Tune et Tautre des tangentes
PROPRIÉTÉS H.VRMONIQUES ET ANHARM0NIQUE9. 5oy
parallèles, on obtient, pour la valeur du rapport anharmonique des quatre tangentes {Jlff. 'oo), les deux expressions Ab:\c et Dc'iDb'. Le rectangle Ab.Db' est donc constant (n® 179, Ex. 2).
On peut voir de même, en partant de la propriété anharmonique des points d'une conique, que les droites OA, ÂD, qui joignent un point quelconque O de la courbe aux deux points A et D, déterminent sur les tangentes parallèles deux points b et b\ tels que le rectangle Ab.Db' est constant.
328. Les propriétés anharmoniques des coniques permettent de résoudre assez facilement un certain nombre de problèmes.
Exercices.
i. Trouver le lieu du sommet V d'un triangle dont les côtés pivotent autour de trois points fixes A, B, G, tandis que les deux autres sommets glissent sur deux droites fixes Oa, Ob.
Supposons qu'on ait tracé (fig- lOî) quatre triangles satisfaisant à ces conditions, et soient aafafa'", bUb'b' les diverses positions des
sommets qui glissent sur les droites fixes. Les deux, faisceaux (G, aoCc^à!")^ (G, bb'b'b*) étant identiques, on a
(aa'a''a'')^{bb'b'b'"), et, par suite,
(A, aa'a'a") = (B, bb'b'b").
5o8 CHAPITBE XVI.
OU, ce qui. revient au même,
(A, VV'V'V") = (B, VrV'V");
les points A, B, V, V, V, V appartiennent donc à une même conique. Ce théorème (n» 269, Ex. 3) peut encore se démontrer de la manière suivante. Les faisceaux qui ont pour centres les points A et B, étant respectivement bomographiques du faisceau issu du point C, sont bomographiques entre eux; le lieu des intersections de leurs rayons correspondants est donc une conique passant par A et B (n^ 297). Les Exercices suivants peuvent, de même, être considérés comme des applications du principe énoncé au n» 297.
2. Le lieu du sommet V est encore une conique lorsque le côté abf au lieu de passer par un point fixe G, enveloppe une conique tangente à Oa et Ob, (Ghasles.)
Dans cette hypothèse, les points déterminés sur les droites Oa et Ob satisfont) en effet, à la relation (no275)
{aa'a''a'") = {bb'b'b'").
3. Deux angles de grandeur constante, a et p, tournent autour de leurs sommets P, Q {fig. 102), de manière que l'intersection A
de leurs côtés PA, QA glisse sur une droite fixe A A' : la courbe, lieu de l'intersection V de leurs deux autres côtés PV, QV, est une conique passant par les points fixes P ef Q (*).
( ' ) Ce théorème a été indiqué par Newton (Enumeratio linearum. tertii ordinis) sous le titre de I^escription organique des coniques.
PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARUONIQUES. Sof)
Figurons, comme ci-dessus, les deux angles dans quatre positions différentes. On a alors, d'après les données mêmes de la question,
