P, AA'A'A"') ^ (Q, A A'A'A

5. Le lieu est encore une conique quand les angles a et p, au lieu d'être constants, interceptent des segments de longueur constante sur deux droites fixes.

L'égalité

résulte alors de ce que les faisceaux déterminent des segm^its de même longueur sur une droite fixe.

Ainsi la courbe décrite par le sommet d'un triangle dont la base reste fixe est une conique lorsque les autres côtés interceptent sur une droite fixe un segment de longueur constante.

6. Le lieu du sommet V de V Exercice 1 est encore une conique, quand les extrémités de la droite ah glissent sur une conique passant par les points A, B.

En prenant quatre positions du triangle, on a, en effet, d'après .'e premier théorème du n» 276,

{aa!c^^')=^{bb'h'b'"),

5lO CHAPITRE XVI.

et, par suite,

{k,aa'a''a'") = {h,bb'b'b'").

7. La base ab d*un triangle passe par V intersection G des tan-gentes communes à deux sections coniques, et ses extrémités a,b glissent sur l'une et l'autre des coniques pendant que les deux autres côtés du triangle pivotent autour de deux points fixes A et B pris sur l'une et l'autre des coniques : le lieu du sommet est une conique passant par A et B.

Ce théorème se démontre de ]a même manière que les théorèmes précédents, en s'appuyant sur la deuxième proposition du n<* 276. Voici, du reste, une démonstration géométrique assez simple de cette proposition. Soient 0, A, B, G, D les points de la deuxième conique qui correspondent aux points o, a, 6, c, dàt la première; les droites OA et oa se coupent en r sur Tune des cordes communes aux deux coniques (n» 272, Ex. 1); les droites OB et ob se coupent également sur celte même corde en r, ... ; les faisceaux (0, ABGD), (o, abcd) ont donc même section rectilignç {rr^r^r^) et, par suite, même rapport anharmonique.

8. Même énoncé que pour l'Exercice 7, en supposant que la base, au lieu de passer par un point fixe, enveloppe une conique ayant un double contact avec les coniques données (n^ 27G).

9. Les n sommets (a, b, c, ...) d'un polygone glissent sur une conique, tandis que tous ses côtés moins un pivotent autour de (n — i) points fixes : démontrer que le côté restant enveloppe une conique ayant un double contact avec la conique donnée.

£n considérant le polygone dans quatre positions abc- y a'b'c',..^ a'b'c'..., a'"b'"c'"..., on a la série d'égalités

{a a' a" a'") = (bb'b'b") = {cccTc"'),

ce qui ramène le problème à celui qui est indiqué au n'* 277 : Étant donnés trois couples de points aa'a'y ddd'^ trouver l'enveloppe de a'^d", de telle sorte que

{aa'a''a^)-^{ddd'd'').

10. Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent respectivement par des points fixes.

PROPRIÉTÉS HARU0NIQI7RS ET ANHARMONIQUES.

5ll

Prenons arbitrairement un point a de la conique et construisons, en partant de ce point, un polygone dont les côtés passent respectivement par les points donnés : le point ^, où le dernier côté de ce polygone rencontrera la conique, ne coïncidera pas en général avec le point a. Construisons de même trois autres polygones, en partant des points a', a', a"', et soient z', z'y z" les points où leurs derniers côtés rencontrent la conique; on aura, en se reportant à TExercice précédent,

et, si le dernier polygone essayé satisfait à la question, a* coïncidera avec 3^: La question proposée se réduit donc à celle-ci : Étant donnés trois couples de points, aa'a'y zj^z', trouver un point K tel que

(KaaV) =-. {Kzj^z").

Si nous considérons a, V', a', z, a", z' comme les sommets d'un hexagone inscrit, et si nous supposons que ces sommets se succèdent

Fig. io3.

dans l'ordre que nous venons d'indiquer, de manière que a, a', a" soient les sommets opposés à^, -j*, ^, le point K sera l'un des points où la droite passant par les intersections des côtés opposés rencontre la conique. Soient, en effet, A, G, E et D, F, B {Jig. io3) les points a, tf', a' et z, z\ z'\ en prenant les sommets dans Tordre ABGDEF, les côtés opposés se coupent respectivement en L, M, N et les faisceaux (D, KAGE),(A, KDFB) ont même section rectiligne (KPNIO

5ia CHAPITRE XVI.

On a donc

(KACE) = (KDFB),

ce qui justifie la construction (*).

Il est d'ailleurs facile de voir (Ex. 9) que K est Tun des points de contact d'une conique tangente aux droites aZy a'z\ a'js'y et doublement tangente à la conique donnée. La solution précédente peut donc s'appliquer au problème : Décrire une conique ayant un double contact avec une conique donnée et tangente à trois droites données.

41 Démontrer le théorème de Pascal {n^ 267) en s* appuyant sur la propriété anharmonique des points d'une conique.

On a, en raison de cette propriété {fig, io3),

fE, CDFB) = (A, CDFB),

et, si Ton compare les segments que ces faisceaux déterminent respectivement sur BG et sur DC,

(CRMB) = (CDNS).

Il en résulte que les faisceaux formés en joignant le point L à chacun des points de BC et de DC ont trois rayons communs CL. DE, AB, et, par suite, que les quatrièmes rayons NL, LM de ces faisceaux ne forment qu'une seule ligne droite. On démontrerait de même le théorème de Brianchon, en s'appuyant sur la propriélr anharmonique des tangentes.

12. Trouver V enveloppe des cordes CE déterminées, dans les coniques circonscrites à un quadrilatère ADFB, par deux droites fixes DC, D¥, passant par Vun des sommets D de ce quadrilatère.

( ' ) Cette construction du polygone inscrit à une conique a été indiquée par Poncelet {Traité des Propriétés projectiles, n* 559). La démonstration donnée dans le texte est due à M. Townsend; elle permet de voir que la construction de Poncelet s'applique également à la solution du problème suivant : Inscrire dans une conique un polygone dont chaque côté soit tangent à une conique ayant un double contact avec la conique donnée. Toutes les coniques touchées par les côtés du polygone peuvent être différentes.

PROPRIETES HARMONIQUES ET ANHARMON IQU E S. 5l3

Les sommets du triangle GEM {fig» io3) glissent sur les droites fixes DG, DE, NL, et deux de ses côtés passent par des points fixes B, F; le troisième côté GE enveloppe donc une conique tangente aux droites fixes DG, DE. Gette description d'une conique est réciproque de la description indiquée par Mac Laurin. (Ex. 1).

13. Les cordes GF déterminées, dans les coniques circonscrites à un quadrilatère ABDE, par deux droites fixes AF, DG passant respectivement par deux des sommets A, D du quadrilatère, passent par un point fixe.

Deux des côtés du triangle GFM {fig. io3) passent par les points fixes B'et E, les sommets glissent sur les droites fixes AF, GD, NL, qui concourent en un même point : donc GF passe par un point fixe (no30i).

On trouvera dans le Ghapitre suivant l'énoncé des propositions bien connues (n^ 355, Ex. 3 et 4), qui ont conduit à ces deux derniers théorèmes.

14. Dans une conique, le rapport anharmonique de quatre diamètres quelconques est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués.

Ge théorème est un cas particulier du théorème du n» 297, Ex. 2 : Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique de leurs polaires. Mais on peut le démontrer directement, en observant que le rapport anharmonique de quatre cordes issues d'un même point de la courbe est égal au rapport anharmonique des cordes supplémentaires (n* 179).

15. Trouver le lieu des centres des coniques circonscrites à un quadrilatère donné (n^ 151, Ex. 3).

Menons, dans l'une quelconque des coniques du système, les diamètres qui ont pour cordes les côtés du quadrilatère : le rapport anharmonique de ces diamètres est connu, puisqu'il est égal à celui de leurs conjugués, c'est-à-dire au rapport anharmonique du faisceau dont les rayons sont parallèles aux côtés du quadrilatère. Donc le lieu est une conique passant par le milieu des côtés du quadrilatère. Dans le cas où la conique se réduit à deux droites, les intersections des diagonales, ainsi que les points de concours des côtés opposés»

5l4 CHAPITRE XVI.

sont des points du lieu : ces points appartiennent donc à une conique qui passe par les milieux des côtés et des diagonales.

329. Nous laisserons au lecteur le soin de former et de démontrer directement, au moyen de la propriété anharmonique des tangentes à une conique, les théorèmes réciproques des théorèmes que nous venons d'énoncer; ils sont presque tous renfermés dans la proposition suivante :

Les droites qui joignent les points correspondants j ou homologues, de deux dis^isions homo graphiques a, bj Cj dj . . >, a' y b'j c', cP^ . . . de bases ( ' ) différentes enveloppent une conique. Il résulte, en effet, de la propriété anharmonique des tangentes, que la conique, tangente aux deux bases et aux trois droites aa'^ bb\ ce', est également tangente à la droite dd {^).

Ce théorème est le réciproque du théorème énoncé au n® 297 ; on peut d'ailleurs le démontrer directement en considérant les équations du n^ 297 comme des équations tangentielles. Quand P, P; Q, Q' représentent, en coordonnées

(') On appelle base d'une division la ligne droite sur laquelle sont situés les points qui forment une division.

(*) II résulte, en outre, du n* précédent (Ex. 1) que le Heu des intersections des droites Pdf P'cf , qui joignent les points de ces deux dirisions à deux points fixes P et P', est une conique passant par ces points fixes. Quand deux systèmes de points a, b, Cfd, . . ., a', 6', c'y d\ . . ., situés sur une même conique sont homographiques, c'est-à-dire tels qu'on ait toujours {abcd) = {a'b'c'd')y l'enveloppe de dd' est une conique ayant un double contact avec la conique donnée ( n* 277 ) ; de même le lieu des intersections des droites Fd, P'd'f menées à ces deux systèmes par deux points fixes P et P' de la conique, est une conique passant par P et P'. Lorsque deux coniques S et S' ont un double contact arec une troisième S', les tangentes à S' déterminent dans S et dans S' des systèmes homographiques abcd. . . et a'b'c'd' ..., tels que (abcd) = {a'b'c'd') (n* 276); mais on ne peut pas dire que, réciproquement, les droites qui joignent les points homologues de deux systèmes homographiques appartenant à deux coniques différentes enveloppent nécessairement une conique.

PROPRIETES HARMONIQUES ET ANH ARUONIQUES. 5l5

langenlielles, deux couples de points homologues, P-f-XP, Q -i- aQ' représentent un troisième couple de points homologues, et la droite qui joint ces deux derniers points est évidemment tangente à la courbe définie par l'équation tangentielle du second ordre PQ' = P'Q.

Exercice.

Par un point fixe P, on mène une transversale FA' qui rencontre en A, A' deux droites fixes 0 A, 0 A' ; on prend sur ces droites, à partir de A et de A', des segments A a, k'a' de longueur donnée : trouver l'enveloppe de aa\

En donnant à la transversale les quatre positions PA, PB, PC, PD, on a évidemment

(ABGD) = (A'B'G'D'j, (ABGD) = {ahcd), (A'B'G'D') = {a'b'c'd');

la droite aa' enveloppe donc une conique tangente à OA et OA'.

330. Lorsqu^on a reconnu, en suivant la méthode exposée ci-dessus, qu'une droite mobile enveloppe une section conique, il convient d'examiner si, dans Pune de ses positions, cette droite ne se trouve pas tout entière à l'infini, puisque, s'il en est ainsi, l'enveloppe est une parabole (a® 234). Dans l'Exercice précédent, en particulier, la droite aa! ne peut être à l'infini que si la transversale AA' peut elle-même être à l'infini, autrement dit, que si le point P est à l'infini; pour que l'enveloppe soit une parabole, il faut donc que les transversales, au lieu de passer par un point fixe, soient menées parallèlement à une droite donnée.

On peut, de même, reconnaître assez souvent la nature du lieu décrit par un point mobile, en étudiant quelques positions particulières de ce point (n® 328, Ex. 15).

331. Étant donnée une division sur une droite^ on peut toujours former, sur une autre droite^ une disfision homographique telle qu'à trois points a, 6, c de la première

5l6 CHAPITRE XVI.

correspondent^ dans la seconde^ trois points a', 6', c', pris arbitrairement.

Pour que l'on puisse trouver, sur la deuxième droite, un point x' correspondant à un quatrième point x^ choisi arbitrairement sur la première, il faut que l'on ait (n** 66)

{abcx)-=z{a'b'dx'), •

ou, en désignant, d'une manière générale, par a^b^c, ... les distances des points a, 6, c, . . . d'une division, à un point quelconque de la base de cette division^ pris pour origine,

Cette condition, qui peut s'écrire (n®277)

Axx'-^-Bx-hCx' -hl> — o (0,

est du premier degré, par rapport à chacune des distances x et a?'; elle fournit donc toujours une valeur pour x' et elle n'en fournît qu'une seule.

(*) On peut encore démontrer ce théorème en partant de Téquation à trois termes à l'aide de laquelle Chasles exprime l'égalité du rapport anharmonique des deux divisions abcx, a'b'c'x'; les points a, b, c, a', b',c' étant considérés comme fixes, les rapports des segments ax : bx, c'x' : b'x' vérifient l'équation linéaire

ax c'x'

et si Ton représente, comme ci-dessus, par a, 6, . . ., les distances des points a, 6, . . . , à l'origine, cette équation devient

et se réduit à une expression de la forme

Kxx' -h Ba? 4- Cx' H- D = 0.

PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARUONI QUE6. 5l7

Lorsque cette condition est remplie, la droite qui joint les points x^ x^ enveloppe une conique qui est tangente aux bases des deux divisions : Quand* A =: o, x^ devient infini en même temps que j; . et la conique est une parabole.

Réciproquement : Deux divisions sont homo graphiques si à un point x de Vune correspond toujours un point a?' de Vautre, et s'il ne lui en correspond qu'un seul.

L'équation

kxx' -^Bx-\- C^'-hD =zo,

qui est du premier degré en x, ou en j;', est en effet l'expression la plus générale de la loi de correspondance indiquée dans l'énoncé. Lorsqu'elle est vérifiée, le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première division est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues de la seconde, puisque le rapport -, ZJ±1 1 ne

change pas lorsqu'on y remplace x^y, . . . , par — -r ^>

Aj-hD'

332. Trouver la condition pour que les deux couples de points (A, B), (A', B'), situés sur une même droite, et dont les distances (a, p), (a', g') à une origine commune vérifient respectivement les équations

ax^ -\- 2 hx 4-^ = 0, a'j7* 4- a h'x -h 6' = o, forment une division harmonique.

En exprimant la condition (n®323)

AA' AB'

5l8 CHAPITRE XTI.

en fonction des distances a, g; a', g', on a

ou, en développant,

(g -h p) (g' 4- p') = 2gp -+- 2g'p',

et comme on a d'ailleurs

il vient pour la condition cherchée

ab' ^a'b — ^hh'=zo{').

On démontrerait de même que les deux couples de droites

ag'-haAgp -h 6p* =o, a' a' -f- 2 A' gf 4- 6'f'=:o

forment un faisceau harmonique, lorsque les coefficients a, 6, A; a', 6', A' vérifient la relation

aV H- a'6 — 2 AA' = o.

333. Tout couple de points a^^ -h 2A^ -{-6 = o, formant une division harmonique avec l'un et l'autre des couples a'a;2 + 2A'a: + è' = o, ci' x^ -{- ^h" x -^ b'' = o, forme une division harmonique avec tous les couples de points compris dans l'équation

(') On démontre de ia môme manière que le rapport anharmonique de ces quatre points est déterminé lorsque le rapport

{ab' -ha'b-'àhh'Y

ab — h'){a'b—h") est donné.

PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARMONIQUES. 5l9

En effet, la condition

a{b' ■^Xb')-hb{a' -hXoL') — 2h(h'-i-Xk')—o est remplie lorsqu'on a séparément

ab' H- ba' — 2 hh' = o, ab' -+- ba" — 2 hh' == o.

334. Trouver le lieu d^un point tel que les couples de tangentes menées de ce point à deux coniques données forment un faisceau harmonique,

La solution suivante est basée sur la propriété évidente des rayons d'un faisceau harmonique, de déterminer, sur l'une quelconque des lignes de référence, une division harmonique. Supposons les coniques définies par l'équation générale en coordonnées trilinéaires, et mettons sous la deuxième forme indiquée au n^ 294 l'équation du couple de tangentes menées à chacune des coniques par le point (a', p', y). En faisant y = o dans l'équation du premier couple, on a, pour déterminer les points où les tangentes de ce couple rencontrent la droite y?

(Cp^-hB/»— aFpY)*' — 2(Ga'p' - FqlY - GpY "^ H/»)ap

(G a'* 4- Ay'« — 2GaY) p* — o.

On trouverait une relation analogue pour déterminer les points où cette même droite y rencontre le couple de tangentes, menées à la deuxième conique par (a', P', y); et, si l'on exprime (n® 332) que les deux couples de points forment une division harmonique, on obtient pour la condition à laquelle doit satisfaire le point (a', g', y)

(Cp* 4- By* — 2Fpy) (G' a* 4- A'y' — 2G'aY)

-+- (Ga« -H Ay* — 2GaY) (G'p» 4- B'y» — 2Fpy) = 2(Gap — Fay - Gpy -H Hy») (G'ap - F'ay - G'? r y H' y*).

Développant et divisant par y*, il vient pour Téquation da lieu

(BO -h B'C — aFF) a» -h {CM -h C'A - aGG') p«

(AB' H- A'B - 2HH')y*-H2 (GH 4-&H - AF - A'F) py 2(HF H- HT — BG' — B'G) ya

-+- 2 (FG' -+- F'G - CH' - C'H) ap = o;

c'est l'équation d'une conique qui jouit, ainsi que nous le verrons plus loin (n® 378), de propriétés importantes par rapport aux deux coniques données.

Quand les couples de tangentes doivent former un faisceau de rapport anharmonique donné, le lieu est une courbe du quatrième degré qui a pour équation

S, S' et F représentant respectivement les deux coniques données et la conique dont nous venons de trouver l'équation.