Former la condition pour que la droite

Xa -h p.6 -h vy = o

soit divisée harmoniquement par deux coniques données.

Supposons les coniques définies, comme au n^ 334; en éliminant y entre l'équation de la droite et l'équation de l'une des coniques, il vient, pour déterminer leurs points d'intersection,

(av* -i-cX' — a^Xv)a» — a (cXfA — /Xv — ^fjiv -H Av*)ap

-h (ôv= 4- c\k' — a/(i.v) p- = o ;

et si l'on exprime (n® 332) que ces points forment une division harmonique avec les points correspondants de l'autre conique,

PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARlf ONIQVBS 5ai

on trouve

{bc' 4- b'c — 2/f) X« H- (ca' 4- c'a — 2gg') jx»

-^(ab'-ha'b'-2hh')y* -^^{gh'-\-g'h--af'--a'f)^^-^2{hf'-\-h'f-bg'-b'g)>,\

'^i{fg ~^fg-ck' - c'A)Xjx = o.

Il faut donc que la droite enveloppe une conique (').

336. Deux divisions a, b, c^ . . ; a', b', (/, ... de même base sont homographiques (n® 331) lorsque les distances x^ ai de deux points correspondants, à une même origine prise arbitrairement, satisfont à une relation de la forme

Cette équation n^étant pas symétrique en x et x', un point n'aura pas, en général, pour correspondant le même point, suivant qu'on le considérera comme appartenant à l'une ou à l'autre division. Ainsi, au point situé à la distance x de l'origine, correspondent respectivement les points situés aux

j. B^4-D C^-hD . , .,,

distances — -r ^ > — -. rr j suivant au on considère

ce point x comme appartenant à )a première ou à la seconde division.

(*) Il est facile de voir, en opérant comme ci-dessus, qae, si

représentent les résultats obtenus en remplaçant, dans l'équation de deux coniques U et V, a par X* + |i,a', • • • , UV' + U'V — aPQ représente les deux droites qu'on peut mener par (a', ^Sï')» de manière qu'elles soient divisées harmoniquement par les coniques. On peut voir, en outre (no 296), que le système des quatre droites, joignant ( a', p', y') aux intersections des coniques, a pour équation

(UV 4- U'V - aPQ)' = 4 (UU' - ?•) (W - Q'),

UU' — F', W — Q' représentant les couples de tangentes menées aux coniques par (a', p', y')-

Deux divisions homographiques de même base forment une involution lorsqu'on peut trouver sur cette base un point qui, considéré successivement comme appartenant à Tune ou à l'autre division, ait toujours pour homologue le même point. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit évidemment que l'équation précédente ne change pas lorsqu'on y permute x el x'\ autrement dit, il faut que B = C. La relation entre les dislances de l'origine à deux points homologues peut alors se mettre sous la forme

et, si l'équation

ax* H-2Aa?-4-6 = o

représente un couple de points correspondants, on a nécessairement

AôH-Ba — aHA = o.

337. Il résulte de ce que nous venons de dire qu'^/iô inçolution se compose d'un certain nombre de couples de points a, a!] 6, 6', ... , en ligne droite, tels que le rapport anharmonique de quatre quelconques de ces points soit égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants. En exprimant l'égalité de ces rapports, on peut arriver à diverses relations entre les distances mutuelles de ces points. Ainsi^ de

. on tu*e

ce qui donne

{abca!) — {a'b'c'a)

ab . ca! a* V . da aa' .bc a'a.b'd*

ab.ca' ,b'c' ■=. — a' b' ,c'a.bc*

Le développement de semblables relations ne présente aucune difficulté.

PROPRIÉTÉS HARMONIQUBS BT ANH ARMONIQUES. 5^3