Le point qui correspond à un point quelconque x

Hx H- B étant situé en général à la distance — -r ^ de l'origine,

A. X "~r~ il

passe à l'infini, lorsque A:r -H H = o; donc : Le point central est le point dont le correspondant est à V infini. On arrive à la môme conclusion en partant de la relation

{abcd) — {db'dc), c'est-à-dire de

acbc' a'c'.b'c

ad .bc~' a' c.b' c'^

lorsque le point d est à l'infini on a bd = ad ^ a'd = b'dj et cette relation se réduit à

ac.afc^=bc,b' c,

exprimant ainsi que le produit des distances d'un point c à deux points homologues est constant lorsque ce point c correspond à Finfini.

La relation entre les distances du point central à deux points correspondants peut évidemment se présenter sous l'une ou Tautre des formes

ca.ca' = -+■ k*, ca,ca' = — A:* ;

dans le premier cas, le point central reste constamment en dehors des points qui se correspondent; dans le second, il reste toujours compris entre ces points.

340. Dans une involution, on donne le nom de point double ( ' ) à tout point qui coïncide avec son correspondant. Toute involution a évidemment deux points doubles,/ et/', qui sont situés à égale distance c/, et de part et d'autre du point central c. On a, en effet, en prenant ce dernier point pour origine,

c/=z±kK

Lorsque k^ a le signe +, c'est-à-dire lorsque le point central reste constamment en dehors des points qui se correspondent, les points doubles sont réels ; dans le cas contraire ils sont imaginaires.

En faisant :r ^:= ^' dans Téquation générale (n® 336), qui relie les distances des points correspondants à une origine quelconque, on trouve, pour déterminer les distances des points doubles à cette origine,

A^* -f- 2 Ha? -h B = o.

( ' ) Nous ayons adopté la dénomination proposée par Chasles [Gconiétrie supérieure, n* 198} et usitée en France. M. Salmon donne à ces points le nom de foyers.

PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANH ARMONIQUES. 525