Lorsqu'un couple de points correspondants est défini

par l'équation

ax^ M-2Aa?H-6=:o,

on a nécessairement (n® 336)

Aô-hBa — aHA = o.

Donc (n® 332) : Tout couple de points correspondants forme a^ec les points doubles une division harmonique. Ce théorème peut aussi se déduire de l'égalité

ia/fa!) = {a!/fa), qui donne

a/.a'f a'far

ad.Jf-^ aJa.Jf' ou

af~ a!f

Les points a, ci divisent donc, intérieurement et extérieurement, la distance ff* des points doubles en deux parties qui sont respectivement dans le même rapport.

Corollaire, — Lorsqu'un des points doubles / est à l'infini, l'autre point double /' est le milieu de tous les segments aol , 66', . . . compris entre deux points homologues, et la distance ah de deux points quelconques est égale à la distance dV des points correspondants.

342. Deux couples de points homologues suffisent pour déterminer une involution. En prenant arbitrairement deux couples de points

ax^-^ a A^ H- 6 = 0, a'x*~h 2h'x-^ b' = (y,

on peut, en effet, toujours déterminer A, B, H à l'aide des équations (n® 336)

A6-+-Ba — 2HA = o, A6' + Ba'— sHA'^o.

Il est d'ailleurs facile de voir (n^ 3â3) que tout couple de points, formant une involution avec les deux couples cîdessuSy peut être représenté par une équation de la forme

{ax^ -^ihx-^b) -hX {a! X* 4- 2 h! x -h b')=zo,

puisque les valeurs de A, B, H, qui vérifient les deux équations précédentes, satisfont évidemment à la relation

A(Ô4-X6')-HB(a-f-Xa')-.2H(A-hXA')=o (»).

Dans le cas actuel, A, B, H sont proportionnels à

2{ah' — a'h), i{hb'—h'b), {ab^ — a!b)\

les points doubles de l'involution déterminée par les deux couples de points ax^ -i- . . ., afx^ -{-••• sont donc représentés par Téquation

{ah' — a' h) x*-\-{ab' — a' b)x -h{hb' - h' b) = o.

On peut mettre cette équation sous une autre forme. En introduisant une nouvelle variable y dans les équations des couples de points, pour les rendre homogènes, et en posant

V ^=ax'-\- ihxy-\- by^y V=r a'a?*4- ^h' xy -\- b'y-y

il vient, en effet, pour déterminer les points doubles,

dx dy dy dx Les points doubles de l'involution déterminée par les deux

t (') La condition pour que trois couples de points ax* + ^hx + 6 = 0, c'a:' -+- ih! X -+- 6' = o, a' a?' -h ih' x 4- ô' = 0 forment une involution, s'obiient évidemment en égalant à zéro le déterminant

a h h a' K b' oT h" b"