PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARM0NIQUE
couples de points a, d\ b, V peuvent aussi se déduire de l'égalité
qui donne
d'où
af.ba' a'f.b'a a'f. ba ~" af, b'a' '
af \a'f \\abMb'\a!b.a^V\
le point / est alors déterminé par la condition de diviser intérieurement, ou extérieurement, la distance aol dans un rapport donné.
343. Les relations segmentaires auxquelles peuvent donner lieu six points en involution rentrent dans la catégorie des relations étudiées au n" 313; il est d'ailleurs évident que les sinus des angles formés en joignant six points en involution à un point fixe ont entre eux les mêmes relations que les segments déterminés par ces six points. Donc :
Le faisceau formé en joignant à un point fixe six points en involution détermine sur une transversale quelconque six points en involution,
La figure réciproque de six points en involution est un faisceau en involution.
La plupart des équations obtenues précédemment peuvent s'appliquer aux droites issues d'un même point. Ainsi : un couple de droites a — [jl^, a — p-'P appartient à un faisceau en involution lorsqu'on a
A{jl{jl' -h H (fx M- [a') M- B = o;
et les deux couples de droites
U = aa* 4- 2 A a^ -h 6 PS V = a' a* -4- a A' ap + 6' p* déterminent un faisceau en involution qui a pour rayons
doubles les droites
{ah' — a'h)7} 4- {ab' — a'ô)ap 4-(/i6' — h' b)^^ = o,
ou
d[} d\ dVdW d% dp dp doL
344. Les coniques qui passent par quatre points fixes déterminent sur une transi^ersale quelconque une série de points en insfolution.
Prenons la transversale pour axe des x, et soient S et S' deux des coniques considérées ; en faisant ^ = o dans les
fig. 104.
équations de ces coniques, on a, pour déterminer les points où elles coupent la transversale,
ax^ -\- 2ga: -]-c^^Oy a'j7*-i- 2^j? 4- c' = o,
et ces points forment une involution (n*^ 342) avec les points
ax* -+- 2^0? + c-h X(a'j?' + 2g'x-\- c')=iO
suivant lesquels une troisième conique quelconque S 4- X S' du système rencontre la même transversale. On peut aussi démontrer ce théorème par de simples considérations géométriques. La propriété anharmonique des points d'une conique donne, en effet, en désignant par a, 6, c, rf les quatre points fixes {/ig> io4) et par A, A^ les points où la
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transversale AA' rencontre une des coniques,
{a, kdhk!) — {c, KdbM)',
et en se reportant aux sections faites dans les faisceaux par AA', il vient
(ACBA') = (AB'C'A')zz=(A'C'B'A).
Les points A, A' appartiennent donc à Pinvolution déterminée par les points B, B', C, C, où la transversale rencontre les côtés du quadrilatère formé par les points fixes.
Le théorème réciproque peut s'énoncer comme il suit :
Les tangentes menées (Vun même point aux coniques tangentes à quatre droites fixes forment un faisceau en in^olution.
345. Les diagonales ac, 6d/ peuvent être considérées comme une conique passant parles quatre points fixes. Le théorème : toute transversale, menée dans le plan d^un quadrilatère, rencontre ses côtés et ses diagonales en six points B, B'; C, C; D, D' qui sont en involution^ n'est donc qu'un cas particulier du précédent. Ce théorème permet de construire facilement le point C correspondant à un point C quelconque dans l'involution déterminée par lès points BB', DD'. Il suffit pour cela, après avoir pris un point quelconque a, de construire un triangle bcd de telle sorte que ses sommets soient sur les droites aB, aD, aC, et que deux de ses côtés passent par B' et D'; son troisième côté passera par C. En prenant le point a à l'infini, les droites ^B, aD, a G sont parallèles, ce qui simplifie la construction.
Pour obtenir le point central de l'involution, il n'y a qu'à supposer le point C à l'infini, ce qui donne la construction suivante : Mener par B, D, et suivant une direction quelconque, deux parallèles B6, De; mener de même par B',
S. — Géom, à deux dinu 34
53o CHAPITRE XVI.
D' deux autres parallèles D'è, B'c; la droite bc, qui joint les intersections de ces deux couples de parallèles, passe par le point cherché.
Exercices.
1. Lorsque trois coniques sont circonscrites à un même quadrilatère, toute tangente commune à deux d*entre elles est divisée harmoniquem,ent par la troisième.
Les points de contact de cette tangente sont, en effet, les points doubles de l'involution.
2. Par V intersection des cordes communes à deux coniques on mène une tangente à l'une de ces coniques; démontrer que cette tangente est divisée harmoniquement par Vautre conique.
Le point D {Jig, io4) coïncide alors avec le point D' et devient un point double.
3. Lorsque deux coniques ont un double contact, ou un contact du troisième ordre, toute corde de Vune, qui est tangente à Vautre, est divisée harmoniquement par le point de contact et par le point où elle rencontre la corde de contact des deux coniques.
Dans ce cas^ en effet, les cordes communes coïncident^ et le point où la transversale rencontre la corde de contact est un point double.
4. Décrire une conique passant par quatre points a, b, c, df et tangente à une droite donnée CC
Le point de contact, qui est un des points doubles de i'involution BB', ce, . . . , peut se déterminer d'après les indications du n* 342. Le problème admet donc deux solutions.
5. Lorsqu'une parallèle à une asymptote rencontre en G la conique circonscrite à un quadrilatère, et en a, by c, d les côtés de ce quadrilatère, on a la relation
Ca,Cc = Cb.Cd,
Le point G est, en effet, le point central de Tinvolution.
