PROPRIÉTÉS HARMONIQUES ET ANHARUONIQUES

6. Résoudre les problèmes du n» 326, en se basant sur la théorie de Vinvolution.

Dans TExercice 1, K est un point double; dans rExercice % T est également un point double; dans TExercice 3, T est le point central ;

7. Les portions d'une sécante comprises entre Vhyperbole et ses cuiymptotes sont égales.

Dans ce cas un des points doubles est à l'infini (no 341, Cor.).

346. Les coniques qui admettent un triangle autopolaire commun a^y déterminent, sur toute transversale menée par un des sommets «^ de ce triangle, un système de points en immolation.

Les points où la transversale a = A'p rencontre la conique rta* + 63^ + cy^ = o, sont, en effet, donnés par

{ak- -h 6) S* 4- cy» == o,

et forment, par suite (n® 57), une division harmonique avec les points où cette même transversale rencontre p et y. Dans le cas particulier où les coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, elles déterminent une involution sur toute transversale menée par Tune des intersections des diagonales de ce quadrilatère (n^ 146, Ex. 3); les points où la transversale rencontre les diagonales sont les points doubles de rinvolution, et ceux où elle rencontre les côtés opposés du quadrilatère sont des points correspondants.

Exercices.

1. Deux coniques U et W touchent leurs tangentes communes A, B, G, D aux points a, ft, c, d^ a', b\ c', d; par a, b, c, on mène une conique S qui touche D en d\ démontrer que la corde d'intersection de S avec Y, opposée à Dépasse par les intersections de A, B e^ G, avec bc, ca et ab.

53a CHAPITRE XVI.

Soient a, p les points où V rencontre ab ; il résulte de ce qui précède que a, b et ol,^ appartiennent à Tinvolution dans laquelle les points où ab rencontre G et D sont des points correspondants, puisque ab passe par l'intersection des diagonales de ABGD (n« 263, Ex. 2). D'ailleurs (n» 345), les cordes communes à S et à V coupent ab en des points qui font partie de cette même involution considérée comme définie par les points a, 6 et a, ^ où S et Y rencontrent ab. Si donc D est une des cordes communes à S et à V, l'autre corde passe par l'intersection de G avec ab,

2. Dans un triangle, on inscrit une ellipse qui touche les côtés A, B, G en leurs milieux a, by c, et un cercle qui touche ces mêmes côtés en a\ b\ d ; démontrer que, si la quatrième tangente commune D au cercle et à Vellipse touche le cercle en d, d est le point de contact du cercle inscrit avec le cercle mené par les milieux a, b, c des côtés.

D'après l'Exercice i, une conique menée par a, 6, c touche le cercle inscrit en d lorsqu'elle passe par les points de rencontre de ce cercle avec la droite qui joint les intersections respectives de A, B et G avec bCf ca et ab. Dans le cas actuel, cette droite est à l'infini : la conique menée par a, 6, c tangentiellement au cercle inscrit est donc un cercle. Gette démonstration du théorème de Feuerbach (n^ 131, Ex.) considéré comme un cas particulier du précédent est due à M. W.-R. Hamilton.

On peut construire le point d et la droite D sans tracer l'ellipse, en observant que les droites ab, cd, a'b', c'd et celles qui joignent AD, BG; AG, BD passent par un même point, puisque les diagonales d'un quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit correspondant se coupent en un même point; et par suite que les droites a'oL, b'^, c'y se coupent en d; a, p, y étant les sommets du triangle déterminé par les intersections de bc et b'd, ca et c'a', ab et a'b'.

En d'autres termes, les triangles a^Y et abc, apY et a'b'c', sont homologiques et ont respectivement les points d et d pour centres d'homologie; quant aux triangles a^Y et ABG, ils sont homologiques et ont la droite D pour axe d'homologie.

§ I. — Projection conique.

347. La méthode des projeclions, dont nous allons donner un exposé succinct, permet de déduire d'un théorème donné et restreint le théorème général auquel il se rattache et dont il n'est qu'un cas particulier. Sa supériorité comme instrument de recherche ne saurait échapper au lecteur, qui a pu j voir déjà tout le parti qu'on pouvait tirer de l'étude des théorèmes particuliers renfermés dans un énoncé général.

On appelle projection conique ou centrale d'une figure la section faite par un plan quelconque, dans le cône obtenu en joignant tous les points A, . . . de la figure à un point fixe O, pris arbitrairement dans l'espace et considéré comme centre de projection. Le point O a reçu le nom de sommet; le plan de la section, celui de plan de projection ; les droites OA, . . . sont les lignes projetantes.

(*) La méthode des projections a été imaginée par Poncelet, qui Ta exposée dans son Traité des propriétés projectives des figures^ publié en 1822 et réédité en i865 (a vol. in-4; Paris, Gauthier-Villars). Cet ouvrage peut être considéré comme le point de départ de la Géométrie moderne; on y trouve développés les principes suivants : Les théorèmes relatifs à des points à TinQni peuvent s'étendre à des points situés à une distance finie sur une droite; les théorèmes se rapportant à des systèmes de cercles s'appliquent à des coniques ayant deux points communs; enfin, les théorèmes relatifs à des points et à des droites imaginaires peuvent s'étendre à des droites et à des points réels.

Tout point se projette suwant un point.

Le point a où la droite qui joint un point quelconque A au sommet O rencontre le plan de projection est, en effet, la projection du point A.

Toute droite se projette suivant une droite.

En joignant, en effet, tous les points d'une droite au sommet, on forme un plan qui rencontre le plan de projection suivajit une droite.

Lors donc qu'un certain nombre de points d'une figure se trouvent en ligne droite, les points qui leur correspondent dans la projection sont aussi en ligne droite; et lorsque plusieurs droites passent par un même point, leurs projections passent aussi par un même point.

y 348. Toute courbe plane se projette suivant une courbe

de même degré.

Lorsqu'une courbe donnée rencontre une droite en un certain nombre de points A, B, C, D, . . . , sa projection coupe la projection de la droite suivant le même nombre de points a, 6, c, d^ . . . : la courbe et sa projection sont donc de même degré, puisque, géométriquement, le degré d'une courbe se détermine par le nombre de points suivant lesquels elle peut être rencontrée par une droite. Quand AB coupe la courbe en des points réels et imaginaires, ab rencontre la projection suivant le même nombre de points réels et le même nombre de point imaginaires.

De même, lorsque deux courbes planes quelconques se coupent, leurs projections se coupent suivant le même nombre de points ; et tout point, réel ou imaginaire, commun à ces deux dernières courbes peut être considéré comme la projection de l'un des points d'intersection des deux premières, ou inversement.

La projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de cette courbe.

Toute corde AB d'une courbe se projette, en effet, suivant la droite ab qui joint les points a, b correspondants à A et B dans la projection; quand A et B coïncident, a et & se confondent et ab devient tangente.

Plus généralement, lorsque deux courbes se touchent en un certain nombre de points, leurs projections se touchent suivant le même nombre de points.

349. Lorsque le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection rencontre suivant la droite AB le plan de la figure primitive, tout faisceau de droites ayant son sommet sur AB se projette suivant un système de droites parallèles. L'intersection de deux droites quelconques, se croisant sur AB, se projette, en effet, à l'infini, puisque toutes les droites menées par le sommet aux divers points de AB rencontrent le plan de projection à l'infini.

Réciproquement : Tout système de droites parallèles se projette suivant un faisceau de droites ayant son sommet sur la droite DF, suivant laquelle le plan de projection rencontre le plan mené par le sommet, parallèlement au plan de la figure primitive.

Les droites parallèles peuvent donc être considérées comme passant par un même point à l'infini, puisque leurs projections sur un plan passent par un même point qui est, en général, situé à une distance finie. De plus, tous les points à Vinfini d^un plan quelconque peuvent être considérés comme appartenant à une même droite, puiaque la projection du point d'mtersection des droites parallèles doit se trouver quelque part, sur la droite DF du plan de projection.

350. Nous voyons ainsi que toutes les propriétés descriptives d'une figure, c'est-à-dire se rapportant exclusivement à la position relative des points ou des lignes, et ne concernant ni la grandeur des lignes, ni la grandeur des angles, subsistent pour toutes les figures suivant lesquelles on peut la projeter. Comme exemple de ce genre de propriétés, on peut citer le théorème suivant : les tangentes menées à un cercle par les extrémités des cordes issues d'un point fixe se coupent sur une droite fixe. Nous pourrons donc, par la méthode des projections, étendre à toutes les sections coniques les propriétés des pôles et polaires dans le cercle, lorsque nous aurons démontré qu'un cercle est la projection d'une conique. Le théorème de Pascal et celui de Brianchon sont aussi relatifs à des propriétés du môme genre ; en les démontrant dans le cas du cercle, on prouvera, par cela même, qu'ils s'appliquent à toutes les courbes du deuxième degré.

351 . Les propriétés d'une figure qui subsistent pour toutes les projections de cette figure portent le nom de propriétés projectiles. En dehors des propriétés descriptives dont nous avons parlé au numéro précédent, il y a un certain nombre de propriétés métriques, c'est-à-dire relatives à la grandeur des lignes, qui sont projectlves. Ainsi, par exemple, le rapport anharmonique (ABCD) de quatre points en ligne droite est le même que le rapport anharmonique {abcd) des quatre points suivant lesquels ils se projettent, puisque ces rapports ont l'un et l'autre pour mesure le rapport anharmonique du . faisceau (O, ABCD) formé par les lignes projetantes.

En général, toute équation

AB.CD.EF-i-Âr.AC.BE.DF. + /.AD.CE.BF 4- ... =0

entre les distances mutuelles d'un certain nombre de points en lie;ne droite A, B, C, D, . . . exprime une propriété projecti\e lorsque chacun de ses termes renferme le même

nombre de points, quel que soit d^ailleurs l'ordre dans lequel ils y figurent.

En remplaçant (n® 3H), en effet, AB^ . . . par

OA.OB.sîriAOB

OP

on obtient une équation dont tous les termes ont pour fac-

OA.OB.OC.OD.OE.OF ^ teur commun ^ > et qui, par suite,

OP se réduit à\ine relation entre les sinus des angles sous-tendus au point O par les segments AB, CD, .... Il n'est pas même nécessaire que les points A, B, C, D, E, F soient en ligne droite, autrement dit, que la distance OP soit la même pour les divers segments AB, CD, . . . , pour que l'équation cidessus exprime une propriété projective; il suffit qu'ils soient disposés de telle sorte, qu'après la substitution indiquée, chacun des termes de l'équation contienne au dénominateur le même produit OP . OF . OF, ....

Comme exemple de cette classe de propriétés, on peut citer le théorème suivant : Les droites menées d'un même point O aux sommets d'un triangle ABC rencontrent les côtés opposés en des points a, 6, c qui satisfont à la relation A6.Bc.Ca = Ac.Ba. Ce. Il suffit dès lors de le démontrer pour une projection quelconque du triangle. Si l'on suppose que le point C se projette à l'infini, AC, BC, Ce deviennent parallèles, et la relation précédente se réduit à l'équation

A6.Bc=: Ac.Ba, qu'il est facile de vérifier en construisant la figure.

352. Il résulte de ce qui précède que, pour démontrer une propriété projective, il suffit de prouver qu'elle a lieu pour la figure la plus simple, suivant laquelle on peut projeter la figure donnée.

Supposons, par exemple, qu'il s^agisse de trouver les propriétés harmoniques du quadrilatère complet ABCD. Les côtés opposés se coupant en E, F, les diagonales en G, joignons tous les points de la figure à un point O de l'espace et prenons pour plan de projection un plan parallèle à OEF. La ligne EF se projettera à Tinfini, et nous aurons un nouveau quadrilatère dont les côtés ab et crf, ad et bc seront respectivement parallèles, puisqu'ils se rencontrent en des points e et /situés à l'infini. On voit donc que tout quadrilatère peut être projeté suivant un parallélogramme ; et comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent mutuellement en deux parties égales, la diagonale ac est divisée harmoniquement en a, ^, c et au point où elle rencontre la ligne à l'infini ef. Donc la diagonale ÂB est divisée harmoniquement en A, G, G et au point où elle rencontre EF.

Exercice.

Quand les points d'intersection des côtés AB et A'B', BC et B'C, GA et C'A' de deux triangles ABC, A'B'C sont en ligne droite, les droites A A', BB', QG passent par un même point.

En choisissant le plan de projection de telle sorte que la droite suivant laquelle se coupent les côtés des deux triangles passe à Tinfini, on obtient deux triangles abc, a'b'd dont les côtés sont respectivement parallèles, et le théorème devient évident, puisque aà et hb* divisent ce' dans le même rapport.

353. Afin de ne pas interrompre l'exposé des applications de la méthode des projections, nous renverrons à un autre paragraphe la démonstration des principes suivants :

Toute conique peut être considérée comme la projection d'un cercle.

On peut toujours, en choisissant convenablement le sommet et le plan de projection, projeter une conique de

telle sorte que cette conique se projette suivant un cercle, et quhine droite donnée de son plan passe à V infini.

Ces principes étant admis, on en déduit les propositions suivantes :

On peut projeter une conique suivant un cercle de telle sorte qu^un point donné de son plan se projette au centre du cercle, II suffit, en effet, de faire la projection de telle manière que la polaire du point donné se projette à l'infini (nO*154).

Quand deux coniques sont situées dans un même plan ^ on peut les projeter suivant deux cercles. Il suffit de projeter l'une d'elles suivant un cercle, de telle façon qu'une des cordes d'intersection des deux coniques se projette à l'infini ; la projection de la seconde conique, passant alors (n^ 257) par les points cycliques du plan de projection, est nécessairement un cercle.

Lorsque deux coniques ont un double contact, on peut les projeter suivant deux cercles concentriques. Il suffit de projeter une des coniques suivant un cercle de telle sorte que la corde de contact des deux coniques se projette à l'infini (nO 257).

354. Les exercices suivants montrent comment on peut déduire les propriétés des sections coniques, soit des propriétés du cercle, soit de certaines propriétés plus simples des coniques elles-mêmes.

Exercices.

1. Toute sécante menée à une conique par un point jixe est divisée harmoniquement par la conique et par la polaire de ce point.

Ce théorème et son réciproque sont relatifs à des propriétés pro-

jectives (n<> 351); ils sont vrais pour le cercle, ils sont donc vrais pour les coniques. Par suite, toutes les propriétés du cercle qui découlent des propriétés des pôles et polaires subsistent pour les sections coniques.

2. Les propriétés anharmoniques des points et des tangentes à une conique sont des propriétés projectives, qui, ayant été démontrées dans le cas du cercle (n^ 312), sont, par cela même, démontrées pour toutes les coniques. Il en résiilte que toute propriété du cercle, qui peut être considérée comme une conséquence des propriétés anharmoniques de ses points, ou de ses tangentes, s'étend immédiatement à toutes les sections coniques.

3. Le théorème de Garnot (n<>3i3): lorsqu'une conique rencontre les côtés d'un triangle ABC en o, c', b, 6', a, a', on a la relation

A^».A6^Bc.Bc'.Ga.Ca'r^ Ac.Ac'.Ba.Ba'.Gô.Gô',

est une propriété projective qu'il suffit de prouver dans le cas du cercle. Mais alors elle est évidente, puisque A6.A6'= Ac. Ac', — Il résulte de cette démonstration même que le théorème est vrai pour un polygone quelconque.

4. Déduire du théorème de Carnot les différent théorèmes du no 148.

Il suffit, pour cela, de supposer le point G à TinGni ; car on a alors

kb.Xb'

Ac.Ac'

Ba.Ba' Bc.Bc'

les lignes A 6 et Ba étant parallèles.

5. Toute corde d'un cercle, tangente à un cercle concentrique, a pour milieu le point de contact.

Quand deux coniques ont un double contact, toute tangente à Vune est divisée harmonique ment par l'autre et par la corde de contact {n^ 345, Ex. 3).

La corde de contact des deux coniques n'est autre chose que la projection de la droite à l'infini suivant laquelle se touchent les deux cercles. Le théorème donné au n^ 236, Ex. 4, est un cas particulier du précédent.

MÉTHODE DES PROJECTIONS. 54l

6. Étant donnés trois cercles concentriques, toute tangente à Vun est divisée par les deux autres en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Étant données trois coniques ayant un double contact suivant la même droite, toute tangente à Vune est divisée par les deux autres en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Le premier théorème est évident, puisque les segments déterminés sur la tangente sont constants; le second peut être considéré comme une extension de la propriété anharmonique des tangentes à une conique (n<> 275). Le théorème du no 276, relatif aux rapports anharmoniques dans les coniques ayant un double contact, peut aussi s'obtenir immédiatement en projetant les coniques suivant des cercles concentriques.

7. Nous avons déjà dit qu'il suffisait de démontrer le théorème de Pascal pour le cas du cercle; mais on peut simplifier encore la figure, en s'appuyant sur le n^ 353, et en supposant que la droite qui joint l'intersection de (AB, DE) àcelic de (BG, EF) se projette à l'infini. Il suffit alors de démontrer que, si les côtés AB et DE, BG et EF, d'un hexagone inscrit dans un cercle sont respectivement parallèles, il en est de même des autres côtés GD et AF, démonstration qui ne demande que des considérations très élémentaires.

B. Un triangle est inscrit dans une conique, deux de ses côtés passent par deux points fixes : trouver V enveloppe du troisième (no 272, Ex. 3).

En projetant la conique suivant un cercle, de manière que la droite qui joint les deux points fixes s'éloigne tout entière à l'infini, on ramène ce problème au suivant : un triangle est inscrit dans un cercle, deux de ses côtés sont parallèles à deux droites fixes : trouver l'enveloppe du troisième côté. Gette enveloppe est un cercle concentrique, puisque l'angle du triangle, opposé à ce troisième côté, reste constant : donc, dans le cas général, l'enveloppe est une conique ayant, avec la conique donnée, un double contact suivant la droite qui joint les points fixes.

9. Rechercher les propriétés projectives du quadrilatère inscrit dans une conique.

Projetons la conique suivant un cercle et le quadrilatère suivant un parallélogramme (no352). On sait que les diagonales de tout parallélogramme inscrit dans un cercle se croisent au centre du cercle : donc, dans tout quadrilatère, inscrit dans une conique, Tintersection des diagonales est le pôle de la droite qui joint les intersections des côtés opposés. On sait, en outre, que les diagonales du quadrilatère obtenu en menant des tangentes au cercle par les sommets du parallélogramme inscrit, passent aussi par le centre, et divisent en deux parties égales les angles formés par les diagonales du parallélogramme inscrit : donc les diagonales de tout quadrilatère inscrit dans une conique concourent au même point que les diagonales du quadrilatère circonscrit correspondant, et forment avec elles un faisceau harmonique.

10. Le lieu des centres des coniques circonscrites à un quadrilatère est une conique passant par les milieux des côtés de ce quadrilatère {n^^^S, Ex. 15).

H. Le lieu des points qui divisent, dans un rapport donné, les cordes menées dans un cercle parallèlement à une droite fixe est une ellipse ayant un double contact avec le cercle (no 163).

Le lieu des pôles d'une droite fixe, par rapport aux coniques circonscrites à un quadrilatère donné., est une conique qui rencontre chacun des côtes du quadrilatère en un point formant une division harmonique avec les extrémités de ce côté, et avec le point où il est coupé par la droite fi^e.

Si, par un point fixe O, on mène une sécante rencontrant une connue en A et B, et qu'on prenne sur cette sécante un point P tel que (OABP) soit constant, le lieu du point P est une conique ayant un double contact avec la conique donnée.

355. On peut transformer par projection plusieurs propriétés des foyers, en s'appuyant sur la définition du n** 279, définition que nous rappelons ici : Lorsque le point F est le foyer d'une conique, les droites FA,FB, qui le joignent aux points cycliques A et B, sont tangentes à la conique.

METHODE DES PROIBGTIONS.

Exercices.

i. Le lieu des centres des cercles qui touchent deux cercles donnés est une hyperbole qui a pour foyers les centres de ces deux cercles.

Étant données deux coniques S et S' passant par les points A et B, le- lieu des pôles de AB par rapport aux coniques tangentes à ^ et S', et passant par A et B, est une conique tangente aux quatre droites GA,CB,C'A, Ch.QetC étant les pôles de AB par rapport à S'et S'.

Le deuxième théorème se déduit du premier en remplaçant dans l'énoncé cercle par conique passant par deux points fixes A, B (n«257), et centre ^^v pôle de la droite AB(no 154).

2. Le lieu des pôles dune droite fi^e*, par rapport aux coniques ayant un foyer commun et passant par deux points donnés sur cette droite, est une ligne droite (n<> 191 ).

3. Le lieu du deuxième foyer des coniques^ ayant deux tangentes communes et un foyer commun, est une ligne droite (no 189).

4. Le cercle circonscrit à tout triangle formé par trois tangentes à la parabole passe par le foyer ( n«> 223, Cor. IV).

Le lieu des pôles dune droite fixe, par rapport aux coniques tangentes à deux droites données et passant par deux points déterminés de la droite fixe, est une ligne droite

Le lieu de V intersection des tangentes menées aux coniques inscrites dans un quadrilatère, par deux points pris sur deux des côtés de ce quadrilatère, est une ligne droite.

Quand deux triangles sont circonscrits à une conique, leurs six sommets sont situés sur une même conique (i).

(') Voici une démonstration directe et assez simple de ce théorème. Soient a, b, c;a'f b', c' les cOtés de ces deux triangles. Les tangentes b, c; b') c' déterminent sur les cOtés a, a' deux divisions homographique

Le triangle FAB formé en joignant le foyer F aux points cycliques A et B est, en effet, un second triangle circonscrit à la parabole.

5. Le lieu des centres des cercles passant par un point fixe et tangents à une droite donnée est une parabole qui a le point fixe pour foyer.

ô. Le lieu des centres des coniques inscrites dans un même quadrilatère est une droite passant par les milieux des diagonales.

Le lieu des points de concours des tangentes menées, par deux des sommets d'un triangle donnée à toutes les coniques circonscrites à ce triangle et touchant une droite fixe, est une conique inscrite dans ce triangle.

Le lieu des pôles dune droite fi>xe,par rapport aux coniques inscrites dans un même quadrilatère, est une droite qui rencontre chacune des diagonales en un point qui est le conjugué harmonique du point où la droite fixe rencontre cette même diagonale.

Il résulte de la définition même des foyers que, si deux coniques ont un foyer commun, ce foyer, qui est Tintersection de deux tangentes communes, jouit des propriétés énoncées à la fin du n^ 264. De plus, deux coniques ayant même foyer et même directrice peuvent être considérées comme ayant un double contact, et peuvent être projetées suivant deux cercles concentriques.

356. Les angles de même ouverture ne se projetant pas, en général, suivant des angles égaux, il y a lieu de rechercher à quelles propriétés correspondent, en projection, les relations angulaires d'une figure donnée (*). C'est ce que

(n^ 275); il en résulte que les faisceaux obtenus en joignant les sommets bc, b'c' aux deux divisions sont homographiques, et par suite (n* 274) que le sommet bc appartient à la même conique que les cinq autres sommets des deux triangles.

(*) La solution générale du problème de la transformation des relations angulaires est due à M. Laguerre. {Nouvelles Annales, i853.) V.

nous allons faire, en examinant d'abord le cas où les relations qu'il s'a^t de transformer se rapportent à des angles droits.

Soient a? = o,^ = o les équations de deux droites se coupant à angle droit; la direction des points cycliques se trouve alors déflnie par Téquation a:^H-^^= o, ou, ce qui revient au même, par la suivante,

et les quatre droites x,yy x -^-ysj — i, x — y\J — i forment un faisceau harmonique (n**S7). 11 en résulte que : Tout couple de droites passant par les points C etl) se projette suivant deux droites rectangulaires, lorsque ces points C c/ D forment une division harmonique avec les points réels ou imaginaires A et B, et que cette division peut être transformée j par projection réelle ou imaginaire, de telle sorte que les points correspondant à A et IB se confondent avec les points cycliques. Et réciproquement : A tout angle droit d'une figure correspond, en projection, un angle dont les côtés forment un faisceau harmonique avec les droites qui joignent la projection du sommet aux projections des points cycliques.

Exercices.

1. Dans le cercle, la tan- ' Dans toute conique, une corde gente est perpendiculaire au | quelconque est divisée harmo^ rayon du point de contact. '• niquement par une tangente

quelconque, et par la droite qui joint le point de contact de cette tangente au pôle de la corde ( n» 146 ).

S. — Céom. à deux dim. 35

En considérant la corde de la conique comme la projection de la droite à Tinfini située dans le plan du cercle, les points où la corde rencontre la conique sont les projections des points cycliques, et le pôle de la corde est la projection du centre du cercle.

2. La droite qui joint le foyer d'une conique au pôle d'une corde focale quelconque est perpendiculaire à cette corde (n« 192).

Dans une conique, toute transversale issue d'un point fixe forme as?ec les tangentes issues du même point, et avec la droite joignant ce point au pôle de la transversale, un faisceau harmonique (n^ 146).

La première de ces propriétés n'est évidemment qu'un cas particulier de la seconde, puisque les tangentes menées par le foyer sont les droites qui joignent ce foyer aux points cycliques.

3. Déterminer, en partant de l'Exercice 6 du numéro précédent, le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à un système de coniques confocales.

Ces coniques, ayant mêmes foyers, sont inscrites dans un même quadrilatère (n^ 270) qui a pour sommets les deux foyers et les deux points cycliques. Il en résulte que le points qui forme une division harmonique avec les foyers, et avec le point où la droite fixe rencontre la ligne des foyers (no 355, Ex. 6), est un point du lieu; et que le lieu, qui est une droite, est perpendiculaire à la droite fixe (no356), puisqu'il doit déterminer, concurremment avec cette droite fixe, une division harmonique sur la droite menée par les deux points cycliques.