Deux coniques confocales se coupent à angle droit

Lorsque deux coniques sont inscrites dans le même quadrilatère, les tangentes en un de leurs points d'intersection divisent harmoniquement chacune des diagonales de ce quadrilatère.

Ce théorème est un cas particulier du théorème réciproque de l'Exercice 1 du n*» 345.

5. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une conique à centre est un cercle.

Le lieu des sommets des angles circonscrits à une conique fixe^ et dont les côtés divisent karm,oniquement une droite de longueur donnée AB, est une conique passant par les points A e£ B.

Ce dernier théorème peut encore (n^ 146) s'énoncer de la manière suivante : Le lieu d'un point 0, tel que la droite menée de ce point au pôle de 0\ passe par le point B, est une conique passant par les points A et B. On peut du reste le démontrer directement en donnant à OA quatre positions successives, et observant (n^297, E%, 2) que le rapport anharmonique des quatre droites AO est égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes BO.

6. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une parabole est la directrice.

7. Le cercle circonscrit à un triangle autopolaire par rapporta une hyperbole équilatère passe par le centre de V hyperbole {n^ll'^.Eii A).

Si, dans r Exercice précédent, la droite AB est tangente à la conique fixe, le lieu des points 0 est une droite qui passe par les points de contact des tangentes issues des points A et B.

Les six sommets de deux triangles autopolaires, par rapport à une conique donnée, sont situés sur une m,ème conique.

Les asymptotes d'une hyperbole équilatère étant perpendiculaires, la droite à l'infini rencontre la courbe en deux points qui forment une division harmonique avec les points cycliques A et B. Et comme le centre G est le pôle de AB, le triangle GAB est autopolaire par rapport à l'hyperbole équilatère. D'où le théorème réciproque : Les six côtés de deux triangles autopolaires, par rapport à une conique donnée, touchent une même conique.