Par un point quelconque d'une conique, on mène deux
Un faisceau harmonique a son sommet sur une conique.
cordes se coupant à angle droit; la droite qui joint leurs extrémités passe par un point fixe
(no 181, Ex. 2).
deux de ses rayons sont fi^es :
la droite qui joint les points où les autres rayons rencontrent la conique passe par un poids fixe.
Autrement dit : Étant donnés une conique et deux de ses points a, c, si Von prend sur cette même conique deux autres points b, d, tels que le rapport (abcd) soit un rapport harmonique, la corde bd passe par un point fixe, et ce point se trouve à l* intersection des tangentes en a et c.
Ce théorème peut se démontrer directement. Soit, en effet, K l'intersection de ac avec bd; la tangente en a rencontre bd en un point qui forme avec bf d elK une division harmonique, puisque (a, abcd) est un faisceau harmonique; il en est de même delà tangente en c : donc bd passe par l'intersection des tangentes en a et en c. Gomme cas particulier, on a le théorème suivant : Par un point fixe d'une conique, on mène deux cordes également inclinées sur une droite fixe; la droite qui joint les extrémités de ces cordes passe par un point fixe.
357. Les couples de droites menées par un point fixe^ de telle sorte que les deux droites de chaque couple soient également inclinées sur une droite fixe, déterminent, sur la droite à l'infini, une irn^o lut ion dans laquelle les points cycliques sont des points homologues.
Ces couples de droites, ayant tous même bissectrice intérieure et partant même bissectrice extérieure, forment un faisceau en involution qui a pour rayons doubles ces bissectrices, et qui admet comme rayons homologues les droites joignant le point fixe aux points cycliques, puisque ces droites forment un faisceau harmonique avec les côtés de tout angle droit ayant son sommet au point fixe (n® 356) et que les rayons doubles se coupent à angle droit.
9* Les tangentes menées par un point quelconque à un sys^
Les tangentes menées,par un point quelconque, à un système
tème de coniques con/ocales sont également inclinées sur deux droites fixes (n® 18-)).
de coniques inscrites dans le même quadrilatère déterminent, sur chacune des diagonales de ce quadrilatère, une involution à laquelle les extrémités de cette diagonale appar^ tiennent comme points homo^ /o^Mtf5 (no 344).
358. Deux droites issues d'un point fixe, et comprenant un angle constant, forment avec les droites qui joignent ce point aux points cycliques, un faisceau dont le rapport anharmonique est constant.
Soient x^=^o^y --=^0 les équations de deux droites se coupant sous Tangle 0 ; les droites, qui joignent le point fixe aux point cycliques, sont alors données par
X' -^ y- -\'i xy cos 0 =z o,
et il est facile de voir (n'^ST), en décomposant cette équation en deux facteurs (n®73), que le rapport anharmonique des quatre droites issues de l'origine est constant lorsque 0 est constant.
Exercices.
1. Démontrer V égalité des angles inscrits dans un même segment de circonférence comme conséquence de la propriété anharmonique de quatre points d'un cercle.
Il suffit, d'après ce qui précède, de supposer que deux de ces points sont à rinfini.
2. Les cordes d'une conique qui sont vues du foyer sous un angle de grandeur constante, enveloppent une conique ayant
Par un point quelconque 0, on mène à une conique deux tangentes en T et T'; puis on prend sur la conique deux
même foyer efmême directrice que la conique donnée.
3. Le lieu des sommets des angles constants circonscrits à la parabole est une hyperbole ayant même foyer et même directrice.
points ketB tels que (O, ATET'i soit constant : Vens^eloppe de BA est une conique qui touche en T et T' la conique donnée.
Le lieu des som.mets des angles circonscrits à une conique, et dont les côtés divisent, suivant un rapport anharmonique donné j une tangente AB à cette conique, est une conique qui touche la conique donnée aux points où elle est touchée par les tangentes passant en A et B.
On mène à une conique une tangente quelconque, qui rencontre en T, T' deua: tangentes fixes, et en M une droite fixe; puis on prend sur cette tangente un point P, tel que (PTMT) soit constant; le lieu des points P est une conique qui passe par les points d'intersection des tangentes fixes avec la droite Jixe.
Le théorème qui suit n'est qu'un cas particulier du précédent : Le lieu du point oit le segment déterminé sur une tangente variable par deux tangentes Jixes est divisé dans un rapport constant est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux tangentes fixes.
4. Par le foyer d'une conique, on mène à chacune des tangentes une oblique qui la rencontre sous un angle donné; le lieu des intersections des obliques et des tangentes est un cercle.
5. Le sommet P d'un angle de grandeur constante TPO glisse sur un cercle, tandis que l'un de ses côtés OP passe par unpoint fixe O, le deuxième
On donne le rapport anharmonique d'un faisceau] trois de ses rayons pivotent autour de trois points fixes A, B,C, tandis que son sommet glisse
MÉTHODE DES PROJECTIONS. 55l
côté TP enveloppe une conique ! sur une conique passant par 'qui a le point 0 pour foyer. ! A et B\ l'enveloppe du qua-
\ trième rayon est une conique I tangente aux droites CA, GB«
Et comme cas particulier : Par un point quelconque P d'une conique on mène, à deux de ses points fixes A et B, deua; cordes qui déterminent sur une droite fixe un segment variable; Vençeloppe de la droite PM^ divisant ce segment dans un rapport donné, est une conique tangente aux parallèles menées par A et B à la droite fixe.
