Le sommet P d'un angle ' On donne le rapport anhar

de grandeur constante TPO glisse sur une droite fixe, tandis que Vun de ses côtés passe par un point fixe 0; Vautre côté enveloppe une parabole ayant le point 0 pour foyer.

monique d'un faisceau, trois de ses rayons passent par trois points fixes, tandis que son sommet glisse sur une droite fixe; le quatrième rayon enveloppe une conique, qui est inscrite dans le triangle formé par les points fixes.

359. Dans les numéros qui précèdent, nous avons exposé la méthode de transformation géométrique qui permet de déduire les propriétés d'une figure des propriétés d'une autre figure correspondant à la première, non plus, comme au Chapitre XV, de telle sorte que les points de l'une répondent aux tangentes de l'autre, mais bien de telle manière que les points et les tangentes de l'une correspondent respectivement aux points et aux tangentes de l'autre . On peut arriver au même résuftat'par des procédés purement analytiques. Une même équation en coordonnées trilinéaires représente, en efiet, des courbes différentes, mais de même degré, suivant qu'on la considère comme se rapportant à tel ou tel triangle de référence ( * ), au triangle qui a pour côtés a, b, c, par exemple,*

( * ) Il est facile de voir que, pour rapporter au premier triangle la courbe

55a CHAPITRE XVII.

ou bien au triangle qui a pour côtés a', b', (/; on pourra donc établir les propriétés correspondantes de deux courbes, en soumettant les mêmes équations à deux interprétations difTérentes.

Dans ce dernier mode de transformation, une droite correspond toujours à une droite, sauf dans le cas où il s'agit de Téquation aa -[- 6p + cy = o qui représente une droite située à l'infini par rapport au premier triangle et une droite située à une distance finie par rapport au second ; ou bien de l'équation a' a -h 6'P + c'X ^ o qui représente une droite à l'infini relativement au second triangle et une droite située à une distance finie relativement au premier. Mais Tétude même des coordonnées trilinéaires montre facilement comment il est possible de généraliser les théorèmes où il est question de droites à l'infini (n"^ 278, Ex. 2). Rappelons ici que, pour obtenir le lieu des centres des coniques inscrites ou circonscrites à un quadrilatère, il nous a suffi de chercher le lieu du pôle de la droite à l'infini aa + 6p -f- c^, et que le même procédé peut servir à trouver le lieu du pôle d'une droite quelconque Xa 4- ixg -{- vypar rapport à des coniques assujetties aux mêmes conditions que les précédentes.

Nous avons vu (n°59) que le rapport anharmonique d'un faisceau P — ArP', P — /F, ... ne dépend que des constantes kf If", et, par suite, reste constant alors même que les droites représentées par Pet P' viennent à changer. Il en résulte

obtenue; en interprétant Téquation par rapport aa second triangle, il suffit de remplacer dans l'équation donnée a, ^ et y par

/a + mp-4-/iY, /'a H- m' p 4-/1' Y» /"a -H m'p -h n'-y;

/a-+-mp -+-/IY, . .« représentant les droites correspondant à a, — On • trouvera de plus amples renseignements au sujet de cette méthode de transformation dans la deuxième Partie de la Géométrie analytique de M. Salmon [Courbes planes, Chap. VIII de l'édition française pabliée par M. Chemin. Paris, Gauthier-Villars, i884}.

que, dans le mode de transformation indiqué en dernier lieu, à tout faisceau de quatre droites correspond un autre faisceau de quatre droites qui a même rapport anharmonique; et que, à toute division de quatre points correspond iine autre division de quatre points qui a méine rapport anharmonique.

Une équation S =: o, qui représente un cercle dans le premier système, ne représente pas, en général, un cercle dans le second. Mais, puisque l'équation d'un cercle quelconque du premier peut se mettre sous la forme

S 4- (aa-h bp -\- cv)(XaH- jxp -h vv) r=o,

toutes les courbes du second système correspondant à des cercles du premier passent par les deux points communs à S et à aa-\- ôp-j-cv.

360. Nous sommes ainsi conduit, par une voie purement analytique, à un principe de la plus haute importance, le principe de continuité, dont Poncelei a donné de si remarquables applications dans son Traité des propriétés projectivcs. Ce principe, en vertu duquel les propriétés relatives à une figure dont les lignes et les points sont réels subsistent lorsqu'une partie de ces points ou de ces lignes devient imaginaire, se démontre, du reste, plus facilement par l'analyse que par la Géométrie. Les procédés analytiques ne tienneut, en effet, aucun compte de la distinction si importante, en Géométrie, du réel et de l'imaginaire; ainsi, en particulier, dans les démonstrations que nous avons données, au Chapitre XIV, de certaines propriétés du système de coniques représentées par des équations de la forme S = /:aP,S=:^a-, nous n'avons pas eu à nous préoccuper de savoir si les points d'intersection de a et ^ avec S étaient réels ou imaginaires. De toute propriété d'un système de cercles on peut bien déduire, par une projection réelle, une propriété d'un

554 CHAPITRE XYII.

syslème de coniques passant par deux points imaginaires; mais il est évidemment impossible, en partant de l'équation générale y de démontrer cette dernière propriété sans la démontrer en même temps pour les coniques passant par deux points réels.

La méthode de transformation analytique, indiquée au numéro précédent, ne cesse pas de s'appliquer, lorsqu'à des points réels d'une figure on fait correspondre des points imaginaires de Fautre. Ainsi, par exemple, a^ H- P^ = y* représente une courbe qui coupe la ligne y en des points imaginaires; maiS; si l'on remplace a,P par P ± Qy/ — i, et y par I^(P|QîI^ désignant des droites), on obtient une nouvelle courbe qui est coupée en des points réels par la droite R correspondant à y.

Remarquons enfin que les applications de la méthode des projections se présentent d'une manière bien différente suivant que l'on considère cette méthode comme une méthode géométrique ou comme une méthode analytique. Dans le premier cas, on ne démontre un théorème général que par induction, en quelque sorte, et après avoir établi le théorème particulier auquel il se rattache, et qui concerne soit le cercle, soit certain agencement simple de la figure. Dans le second, au contraire, on démontre immédiatement le théorème général, et on en déduit ensuite les théorèmes particuliers, parce qu'à l'aide de l'analyse il est aussi facile de démontrer un théorème général qu'un théorème particulier.

§ II. — Des sections planes du cône.

361. Les sections faites dans un cône par des plans parallèles sont semblables.

Considérons en particulier deux de ces sections, et soit a le point où la droite joignant le sommet O du cône à un

point fixe quelconque A, pris dans le plan de la première section, rencontre le plan de la seconde; soient en outre byC^..., les points delà deuxième section correspondant aux points B, C, . . . de la première. Les rayons vecteurs AB et ab, AG et ac, . . . sont respectivement parallèles, et comme on a, eu égard à la similitude des triangles OAB et Oaby OAG et Oac, . . . ,

OA:Oa::AB:a^::AC:ac:: ...,

ces rayons vecteurs sont proportionnels. Les sections BG . . . , bc . . . sont donc semblables (n^ 231 ).

Corollaire. — La section faite dans un cône à base circulaire par un plan quelconque, parallèle à la base, est un cercle. Ge corollaire qui est la conséquence évidente du théorème ci-dessus, peut se démontrer directement en prenant pour point fixe A le centre de la base.

362. La section d'un cône à base circulaire est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

Un cône à base circulaire est droit ou oblique suivant que la droite menée du sommet au centre de la base, est ou n'est pas, perpendiculaire à cette base. Quand le cône est droit, cette droite est Vaxe du cône.

Nous examinerons d'abord la nature des sections faites dans un cône droit.

Prenons pour plan de la figure le plan OAB conduit par l'axe OG du cône {fig* io5) perpendiculairement au plan de la section MS5N. Ge plan coupe le cône suivant les droites OA et OB, le plan sécant suivant MN, et la base ASB du cône suivant AB ; il est d'ailleurs perpendiculaire à la base ASB et, par suite, à l'intersection RS de cette base avec le plan de la section.

556 CHAPITRE XVU.

1^ Considérons d^abord le cas où la droite MN rencontre les génératrices OA et OB, comme il est indiqué dans la fig. io5, c'est-à-dire d'un même côté du sommet O.

On a alors, en observant que RS est, dans le cercle de base, l'ordonnée du diamètre AB,

RS'^AR.RB; on a, de même, dans le plan asb^ mené parallèlement à la

base par un point quelconque s de la section MS^N,

rs zz^ar.rb,

et, comme on a, eu égard à la similitude des triangles ABJVl et arM,BRNet6rN,

AR.RB : MR.RN :: ar.rb : Mr./ N,

il vient en définitive

RS*:75'::MR.RN:Mr.rN.

Les carrés des ordonnées rs de la section sont donc proportionnels aux rectangles des segments que ces ordonnées

HÉTHODB DES PROJECTIONS. SSj

déterminent sur MN. Il en résulte que cette section est une ellipse (n"149), qui a pour grand axe MN, et dont le petit axe 2 b est donné par la proportion

46«:MN ::RS :MR.rn.

a'* La droite MN rencontre les deux droites OA,OB de part et d'autre du sommet {fig- io6). En suivant la même

Fig. io6.

marche que dans le cas précédent, on trouve que les carrés des ordonnées rs sont proportionnels aux rectangles Mr.rN des segments que ces ordonnées déterminent sur le prolongement de la droite MN. Il est dès lors iacile de voir que la section est upe hyperbole qui se compose des deux branches opposées N5S,M5'S'.

3° La droite MN est parallèle à la génératrice OA ( fig. 1 07 ) .

Dans ce cas :

AR = ar, RB \rb:: RN : rN,

558 CHAPITRE xvir.

et comme

7s*z=zar.rby RS'=AR.RB,

OQ a

rs^lrN ::RS':RN;

Autrement dît : les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses; la section est donc une parabole (*).