Les projections des tangentes au cercle en À et B

(*) Les premiers géomètres qui s'occupèrent des sections coniques limitèrent leurs recherches aux sections obtenues en coupant un cône droit par un plan perpendiculaire à l'une de ses génératrices, c'est-à-dire aux cas où la droite MN était perpendiculaire à OB. Ils furent ainsi conduits à classer les sections coniques en sections d'un cône rectangle, sections d'un cône acutangle ou sections d'un cône obtusangle, et, d'après Eutochius(*), le commentateur d'Apollonius, ils leur donnèrent les noms de parabole, d'ellipse ou d'hyperbole, suivant que l'angle du cône était égal, inférieur ou supérieur à un angle droit. Ce fut Apollonius qui montra, le premier, que les trois sections pouvaient être obtenues dans un seul cône, et qui, suivant Pappus, leur donna le nom de parabole, à' ellipse et & hyperbole j en se basant sur les raisons indiquées au n* 19t. L'autorité d'Eutochius, qui vivait plus de cent ans après Pappus, n'est pas très grande; cependant le nom de parabole était déjà employé par Archimède, qui écrivait avant Apollonius.

[^) Le passage d'£utochius est rapporté en entier par IL Walton i Sxamptei, p. 4S8.

HéTHODB DES PROJECTIONS.

sont évidemment tangentes en M et N à la section conique (n^348). Dans le cas de la parabole, le point M et sa tangente s'éloignent à l'infini : La parabole a donc une tangente située tout entière à Vinfini (n®* 284, 314).

364. Supposons maintenant que le cône soit oblique. Prenons pour plan de la figure le plan mené^ perpendiculairement à la base AQSB {Jig> 108), par la droite joignant le

Fig. 108

centre de cette base au sommet O; et soient QS l'interseclion de la base AQSB avec le plan de la section QMSN, LK le diamètre du cercle correspondant à la corde QS, et enfin MN la droite suivant laquelle le plan LOK, conduit par ce diamètre LK et par le sommet O du cône, coupe le plan sécant. On a, dans le cercle AQSB,

ÏÏS' — LR.RK;

on a de même, dans le cercle aqsb mené, parallèlement à la base, par un point quelconque s de la section (*),

rs ^=^lr,rky

('} Ce cercle o'a pas été représenté, afin de ne pas compliquer la Hgure,

560 CHAPITRE WII.

el la similitude des triangles KRM, ArM, LRN, /rN situés dans le plan LOK prouve, comme dans le cas où le cône est

droit, que le rapport RS : rs des carrés des ordonnées de la section est le même que celui dés rectangles des segments que ces ordonnées déterminent sur la droite MN. La sectioD faite dans un cône oblique à base circulaire est donc une conique, dans laquelle MN est le diamètre correspondant à QS; et cette conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que MN rencontre les génératrices OLel OK d'un même côté du sommet, de part et d'autre du sommet, ou se trouve parallèle à l'une de ces génératrices.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que QS rencontrait le cercle en des points réels; quand cette dernière condition n'est pas remplie, il suffit évidemment, pour démontrer le théorème, de substituer au cercle AB un autre cercle A'B' qui lui soit parallèle et qui rencontre la section en des points réels.

363. I* Lorsqu^un plan sécant rencontre la base d^un cône circulaire suivant une droite QS, les diamètres conjugués à QS, dans le cercle et dans la section, se coupent

surQS{').

Quand la droite qs rencontre le cercle en deux points rc'els, le théorème est évident, puisque les deux diamètres considérés passent alors par le milieu r de qs {^fig* 109). Reste à examiner le cas où les intersections de qs et du cercle cessent d'être réelles. Le diamètre df ^ qui divise en deux parties égales les cordes menées parallèlement à QS dans le cercle dqf^ se projette suivant un diamètre DF divisant en

( ' ) D'après le principe de continuité, ce théorème et le suivant sont évidents; nous en donnons néanmoins une démonstration formelle en raison de leur importance.

METHODE DBS PROJECTIONS.

deux parties égales les cordes menées parallèlement à as dans toute section parallèle au plan du cercle dqf (n® 361 ). Le Heu des milieux des cordes du cône, parallèles à qs^ est donc un plan Odf, Il en résulte que le diamètre conjuguo de QS, dans une section quelconque, est l'intersection du plan Odf avec le plan de cette section, et par suite, que ce

Fig. 109.

diamètre passe par le point R, trace de la droite QS sur le plan Odf,

2® Les rectanglesKg ,^k et RD.RF des segments R^, RA", RD, RF {fig. 109), déterminés par QS sur les diamètres conjugués à QS dans le cercle et dans la section j sont entre eux dans le même rapport que les carrés des diamètres menés dans la section, parallèlement à QS et suivant la direction conjuguée de QS.

Lorsque qs rencontre le cercle en des points réels, le théorème est évident, puisque rs ^=^dr,rf. Pour le démontrer, dans le cas où QS ne rencontre pas le cercle, remarquons que les droites gk^ df^ DP sont situées dans un même plari passant par le sommet du cône, et, par suite, que les points D, rf, g^ appartiennent à une même génératrice. Il en résulte S, — Géom, à deux dim. 36

que les triangles gdr^ ê'DR; r/A", RFA: sont respectivement semblables, ce qui donne (n® 364)

ûfr.r/: DR. RF::^r.rA:^R.RA;

et que (n® 149) les rectangles DR.RF et ^R.RA: sont entre eux dans le rapport énoncé ci-dessus', puisqu'ils sont entre eux dans le même rapport que les rectangles dr.rf^ g^f'^' et que le rectangle dr.rf est égal à sr.rq.

Ce théorème permet, étant données la section gsA'q et la droite QS, de trouver DR.RF, c'est-à-dire le carré de la tangente menée du point R au cercle dont le plan passe par QS.

366. On peut toujours projeter une conique gskq suivant un cercle, de telle sorte qu'une droite TL, située dans son plan et ne la coupant pas, se projette à V infini.

Il suffit, pour démontrer ce théorème, de faire voir qu'on peut toujours trouver le sommet O d'un cône, a^'ant pour base la conique donnée et dont les sections parallèles an plan OTL {fig> 109) soient des cercles; car alors ces sections satisfont à la question. D'après le théorème précédent, la dislance OL du sommet cherché O à l'intersection L de TL avec le diamètre conjugué gk est connue puisque, le plan OTL rencontrant le cône suivant un cercle infiniment petit,

le rapport OL :L^.LA: est le même que celui des carrés des diamètres menés dans la section suivant LA: et parallèlement à ÏL. La droite OL est d'ailleurs située dans un plan perpendiculaire à TL, puisqu'elle est parallèle au diamètre du cercle perpendiculaire à TL. Le point O n'est, par suite, assujetti à aucune autre condition que celle de se trouver sur une certaine circonférence, située dans un plan mené par le point L perpendiculairement à TL.

367. Lorsqu'une sphère AFBD inscrite dans un cône droit AOB est tangente au plan d^une section MPN, le point de contact F est un foyer de cette section, et l'intersection du plan de la section avec le plan de contact ADB de la sphère et du cône est la directrice correspondante.

Inscrivons, entre le plan de la section et le sommet O du cône, une deuxième sphère adbV {Jig* i lo) qui a pour plan

Fig. iio.

de contact avec le cAne, le plan adb^ et pour point de contact avec la section, le point F'. Joignons un point quelconque P de la section au sommet O, et soient D, d les points où la droite PO rencontre les plans de contact; les tangentes menées à la sphère par un point quelconque étant égales,

on a

PDr=PF, P^=PF,

et, par suite,

PF 4- PF' — PD 4- Pcf := De? rrr coDStantc.

Les points F et F' sont donc les foyers de la section MPN,

Le point R, où FF' reacontre le prolongement de AB, appartient à la directrice, c'est-à-dire à la polaire de F, puisque, d'après une propriété du cercle, les points N, F, M, R forment une division harmonique.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que le paramètre de la section MPN est constant, lorsque la distance de son plan au sommet est constante.

Corollaire. — Le lieu des sommets de tous les cône> droits sur lesquels on peut placer une ellipse donnée est une hyperbole passant par les foyers de l'ellipse. La diflcrence MO — NO est, en effet, constante, puisqu'elle est égale à la difl^érence MF' — NF' ( ' ) .

§ III. — PaOlECTIONS ORTHOGONALES.

368. On appelle projection orthogonale d'un point sur un plan le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan. La projection d'une figure quelconque est le lieu

(■) M. Mulcahy a montré comment on pouvait, en partant de ce principe, déduire les propriétés des angles sous-tendus des propriétés des petits cercles de la sphère. Comme exemple de la marche à suivre, traasformons le théorème suivant : Si, par un point P de la sphère, on iucdo un grand cercle coupant un petit cercle en deux points A et B, le proJu't tang^AP. tangjBP est constant. En coupant par un plan quelconque le

cône qui a ce petit cercle pour base et le centre de la sphère pour sommet, on voit que: Si, par un point p pris dans le plan d'une conique quelconque, on mène une sécante qui rencontre la conique en a et b. V' produit des tangentes des moitiés des angles sous lesquels ap et bp soni vus du sommet du cône est constant. Cette propriété du sommet d'oD cône droit, étant indépendante de la position du plan sécant, subsiste nécessairement lorsque ce sommet vient à coïncider (n* 367) avec le foyer de la cunique; on retombe ainsi sur la relation connue

tang-5-a//9.tang~6^ = const. (n»225, Ex. 8).

des projections de ses divers poiots; et il est facile de voir que la projection d'une droite est une droite, que des droites parallèles se projettent suivant des droites parallèles, etc.

La projection orthogonale d'une figure n'est autre cKose, du reste, que la section droite du cylindre dijami cette figure pour directrice.

La projection orthogonale MM' d'une droite PQ est égale au produit de la longueur de cette droite VQpar le cosinus de P angle compris entre cette droite et sa projection (*).

On a, en effet {/Ig- 3),

MM'irrPQ.cosî^.

Corollaire, — Toute droite parallèle au plan de projection se projette en vraie grandeur.

Vaire de la projection orthogonale d^ une figure plane quelconque est égale à l'aire de cette figure multipliée par le cosinus de l'angle compris entre le plan de la figure et le plan de projection.

Prenons pour ordonnées de la figure, et pour ordonnées de la projection, des perpendiculaires à l'intersection du plan de la figure avec le plan de projection ; et soit 6 l'angle compris entre ces deux plans. Chaque ordonnée de la projection est à l'ordonnée correspondante de la figure dans le rapport de cos6 à I , et on sait (n® 394) que les aires de deux figures, dont les ordonnées sont proportionnelles, sont précisément entre elles dans le même rapport que ces ordonnées.

(') Ou, ce qui revient au môme, de l'angle que cette droite forme avec le plan de projection.

Le cercle peut être considéré comme la projection orthogonale d'une ellipse.

Prenons pour plan de projection le plan conduit suivant une parallèle au petit axe de Tellipse et faisant avec le plan

de Pellipse un angle dont le cosinus est égal à -; les droites

parallèles au petit axe se projettent en vraie grandeur, celles parallèles au grand axe sont diminuées dans le rapport de b à a; la projection de l'ellipse est donc (n^ 163) un cercle de rayon b,

369. Appliquons les principes précédents à la solution du problème du n® 231 (Ex. 7) : Trouver le rayon R du cercle circonscrit à un triangle inscrit dans une conique.

Soient oLy 0, y '^^ côtés du triangle inscrit, et A son aire; on a, diaprés un théorème connu de Géométrie élémentaire,

On a de même, en désignant par b le rayon du cercle suivant lequel se projette l'ellipse, et par o/, P', y'. A' les projections des côtés et de Taire du triangle inscrit,

On a aussi, en observant que les projections de deux droites parallèles sont proportionnelles aux longueurs de ces droites, et en représentant par b\ 6^, V les diamètres conjugués parallèles à a, p, y,

u.'ioLiibib', p' : p :: 6 : 6', fi^y.b: b']

UÉTHODB DES PROJECTIONS. 56;

et comme les aires A et A' sont liées par la proportion ( n^ 368 )

il vient en définitive

ce qui donne

L—L • — s-1 • • ab^ ' y b' b'

ab ^ '

( ' ; Cette démonstratioa du théorème de Mac-GuIIagh est due au D' Graves*

^^^ CDAPITRE XVIII.

INVARIANTS ET œVARlANTS DES SYSTÈMES DE œNIQUES.

370. Nous avons démontré (n** 250) que lorsque S et S' représentent deux coniques, il y a trois valeurs de k pour lesquelles A-S -f- S' représente un couple de droites. Ces valeurs de k sont les racines d'une équation du troisième degré, que Ton obtient en formant le discriminant de /rS -4- S', et qui peut se mettre sous la forme

A A» -h 0 A^* 4- 0'it -h A' = o,

A, A' étant les discriminants de S et S', et ©, 6' deux fonctions particulières dont nous allons donner le développement. Soient

S z= ax*^ -f- by^ -\- cz^ -f- 2/jz -h 2gzx h- ihxy, S' ~ a'x' -h b'y- -i- c'z^ -f- ify^ H- 2 ^'^^ -+- 2 h'xy ;

on a alors (n®292)

A =: ûfèc 4- 'ifgh — a/* — bg^ — cA«, tJ = a'b'd-\- 2fg'h' — a'f*' - b'g'- — c'h'^.

Pour former le discriminant deAS + S', nous n'avons qu à remplacer, dans A = o, a, 6, . . . par ka 4- a\kb 4- 6', . • • i effectuant les calculs on trouve pour 0

% = ioc —/•)«' -h (ca — g^) y H- {ab — h^)c'

-f-a gh--a/)f-\-2{h/^bg)g'^2{/g-ck)h\

INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTÈMES DE œNIQUES. SGq

OU, en employant la notation du n° ISl,

e = Aa' -f B6' 4- Ce' + 2F/' -h aG^' h- 2HA',

ou enfin, d'après le théorème de Taylor,

. ,d^ .,dùi ,dt^ .,d^ ,flfA .,d\ 0 --a' -7-4- 6' -7T -Hc'.-j-4-/' -T7-H^' -7--I- /i' -77-e/a c^ô de '^ df ^ dg dit

Quant à la valeur de 0', il suffit évidemment pour l'obtenir de permuter les accents dans l'expression de 0, ce qui donne*

0' z=z Ma 4- B'6 -H Oc -4- 2 F'/ -H i(yg 4- 2H'A.

En éliminant k entre l'équation du troisième degré et Â'S -f- S'= o, on obtient l'équation

AS'» — 0S'*S 4-0'S'S* — A'S*=i:o,

qui est évidemment du sixième degré, et qui représente les trois couples de droites déterminés par les quatre points d'intersection des deux coniques (n® 238).

Exercice.

Trouver le lieu de V intersection des normales menées à une conique par les extrémités d'une corde qui pivote autour d'un point fixe (a, P).

Soit S— ~t'^T% — 1=0 l'équation de la conique; les points dont

les normales se coupent en un point donné (a/, y') sont les points d'intersection de S avec Thyperbole S'= 2(c'a7y4- b^y'x — a'^x'y)^=o (n'* 181, E\. 1). Pour obtenir Téquation du lieu, il suffit donc de former l'équation des six cordes joignant les pieds des normales menées par (a/, y), et d'exprimer que cette équation est vérifiée par a, p.

Dans le cas actuel on a,

A= 1-, e = o, 6' = — ia«a:'«-f-6y« — c*),

et en portant ces valeurs dans Téquation AS'* ... =0, il vient pour l'équation du lieu

-^2a^^>«c^ar7|^ — -1-^,-1 j =0.

Cette équation représente une courbe du troisième degré. Lorsque le point donné est sur l'un des axes, ce qu*on expriùie en faisant x = o dans l'équation précédente, cette courbe se réduit au deuxième degré et l'axe fait partie du lieu, comme on peut du reste le voir géométriquement. Celte courbe est encore une conique, lorsque le point fixe est à Tinfini, c'est-à-dire lorsqu'on demande le lieu de Tintersection des normales menées aux extrémités des cordes parallèles à une droite donnée.

371. Lorsque par suite d'une transformation de coordonnées, S et S' deviennent S et S', ArS -f- S' devient évidemment A" S -h S', et le coeflicient k reste invariable. Il en résulte que les valeurs de k pour lesquelles ArS -|- S' représente un couple de droites restent les mêmes quels que soient les axes de coordonnées auxquels S et S' sont rapportés ; et, par suite, que le rapport entre deux quelconques des cofficients de l'équation du troisième degré en- A" (n® 370) reste constant, quelle que soit la transformation que Ton ait fait subir aux coordonnées (').

( ' ) Il est facile de voir, en effectuant les calculs de transformation, que si dans S et S' on remplace â?, y^ z par

Ix -ir my -^ nZf l'x -^ m'y-h n' Zf l'x -^ m'y-^ n'zy

INTARIANTS ET C0VARIANT8 DBS STSTÉMES DE CONIQUES. Sjl

Les quantités A, 0, 8', A' s'appellent, pour cette raison, les invariants du système des deux coniques S et S'. Si donc, après avoir ramené à leurs formes les plus simples les équations de deux coniques S et S', on arrive à une relation homogène entre A, 6, ©', A', on peut affirmer que la même relation subsiste, quelle que soit la position des axes de coordonnées. 11 est dès lors possible d'exprimer, en fonction de ces quatre quantités, la condition nécessaire pour que les deux coniques soient assujetties à une relation indépendante du choix des axes.

Les exercices suivants se rapportent au calcul des invariants A,> 6, 6', A' pour les formes les plus usitées de S et de S'.

Exercices.

1. Former les invariants de deux coniques rapportées à leur triangle autopolaire commun.

On a, dans ce cas,

S = ax^ -+- by^ h- c^«, S' = a'x^ -h 6>» h- c' jf«,

et, si Ton remplace a?, y, z par x\fd^ yyfU^ ^/? pour ramener S' à la forme x^-\-y^-\' >«*, il vient

A = ahc^ © = 6c -h ca -f- ah^ S' = a -h b -^ c^ A' = i .

L*ëquation S + /cS' = o représente donc deux droites pour les valeurs de k données par

k^-\- k^(a'\- b-i-c)-h k(bc-i-ca-h ab)-\- abc = o,

c'est-à-dire lorsque ^ est égal à Tune des trois quantités — a, — 6, — c.

les quantités A, 6, 6', A', relatives aux nouveaux axes, se déduisent des quantités correspondantes relatives aux anciens, en les multipliant respectivement par le carré du déterminant

2. Former les invariants de la conique S' ~ x^ -f\^* -t- -«* de V Exercice précédent, et de la conique S définie par V équation générale.

Réponse.

e = (6c -/«) -+- (ca — ^«) -4- (aô — A«) = A -f- B -+- G;