Même calcul pour les deux cercles S = ar* -H j' — r

Réponse. A = — r^, 6 = a« -h 3> — 2 r» — r'^, e' = a* + p — r« — tir'*, A' = - r'». L'équation du troisième degré en A: (n^ 370) peut alors s*écrire

rî -+- (ar* -4- /« — D«)^ + (r« -+- 2 r'* — D«) A*» -f- r'» A-3 = o,

D représentant la distance des centres des cercles; et, comme S — S' représente deux droites, l'une à distance finie, l'autre à l'infini, il s'ensuit que — i est une des racines de l'équation, et, par suite, que le premier membre de cette équation est divisible par k-\-i. Effectuant la division, il vient pour déterminer les deux autres valeurs de ky

rî -^ (r« + r'» — D«) A: H- /^«A:* = o.

4. Former les invariants de la conique S = -^ -^ y-^ — i et du

cercle S' — (.r — a)' M- ( j — P )' — r*.

Réponse.

5. Former les invariants de la parabole S =^'* — ^mx^ et du cercle S' de l'Exercice 4.

A=- — 4m«, e=:--4m(a-4-m), 6*= p» — 4ma — r«, A' = — r«.

372. Trouver La condition pour que deux coniques S et S' se touchent.

Soient, en général, A, B, C, D les quatre points déniersection de deux coniques ; lorsque les points A. elB coïncident, il en est de même des deux couples de cordes AG, BD ; AD, BC, et l'équation du troisième degré

AÂ2 -h 0A:« -{- %'k -h A' =^ 0

admet deux racines égales ; on a donc, pour exprimer que les deux coniques se touchent^ la relation

(00' — 9AA')- — 4(02 — 3 A0') (0'2 — 3 A'e),

OU, ce qui revient au même,

0*0'« -H i800'AA' — 27 A» A'- — 4A0" — 4A'0» = o.

On démontre, dans la théorie générale des équations, que le premier membre de cette dernière équation est proportionnel au produit des carrés des différences des racines de Téquation en Xr; l'équation en Xr a donc toutes ses racines réelles quand il est positif; elle n'en a qu'une seule s'il est négatif. Dans ce dernier cas (n® 282), S et S' se coupent en deux points réels et en deux points imaginaires; tandis que dans le premier, S et S' se coupent en quatre points réels, ou en quatre points imaginaires (' ).

;') Pour distinguer le cas où les quatre points d'intersection sont réels de celui où ces quatre points sont imaginaires, on peut avoir recours au critérium ci-après, indiqué par M. Kemmer {Giessen 187S].

Les lettres D, L, M, N représentant les fonctions suivantes, où <^ a la signification indiquée au n* 377,

D = e'e* -f- 18 AA'ee' - 27 ii"- — 410 » — 4 a'ô'

5y4 CHAPITRE xyiii.

Quand les trois points A, B, C coïncident, les trois couples de cordes d'intersection se confondent et le premier membre de Téquation en k devient un cube parfait. La condition pour que les deux coniques S et S' soient osculalrices peut donc

,^ . 3A 0 0' s écrire — - =z --7= —--.

Nous indiquerons plus loin (n^ 378 a) comment on peut former la condition pour que S et S' aient un double contact.

Exercices.

1. Former, d'après ce qui précède, la condition pour que deux cercles se touchent,

La condition pour que Téquation réduite

rî -!- (r» -f- r'2 — D«)A: -h r'^k^ = o

(n® 371, Ex. 3) ait ses racines égales est /-* -h r'* — D* = ± arr'; on retrouve ainsi la solution bien connue D = r ± r'.

^. Quand les équations des coniques sont des équations à trois termes, on obtient assez rapidement la condition pour que deux coniques se touchent, en identifiant les équations des tangentes menées en un point quelconque à chacune de ces coniques (n^^ 127^ 130, 278).

Dans le cas particulier des deux coniques

fyz -H gxz 4- hxy = o, }/lx h- ^my -r- yjnz = o, on trouve ainsi la condition

\fJl-\-\rgm'^yhn = Q\

M = i[L'-(*' — 4IÏ')D]

N ^D[A"2:» — A'e'*s"-H-(e'*-2A'f>)rs'

-h A'es*' -h (6' — 2 Ae') M" — AA'*'

-h Ae'4>'-2:' — Ae*s'« -+- A»£'* - (ee' - 3 a a) sr*],

les quatre points sont réels si l'on a à la fois D >0y M >0; L <o, N <o.

INVARIANTS ET GOVAEIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. SjS

on trouve de même pour les coniques

yjlx + yjmy 4- ^nz = o, ax^ + hy'^ -+- c^' = o :

V^Vt'*\/?=»'

et de même encore pour les coniques

ax^ -4- hy'*^ -t- cz"^ = o, fyz -h gxz -f- Aarj' = o : VW^ -h }/bg^-^ V^êÂ* = o.

3. Trouver le lieu décrit par le centre d'un cercle de rayon constant qui roule sur une conique donnée.

Il suffit de remplacer, dans Téquation 0*6'^ + ... = o du présent numéro, A, 6, 6', A' par les valeurs trouvées au n^ 371, Ex. 4 et 5, et de considérer 2 et ^ comme les coordonnées courantes. Le lieu, qui est en général du huitième degré, se réduit au sixième dans le cas de la parabole. Il est du reste le même que celui qu'on obtiendrait en prenant sur toutes les normales à I9 conique et à partir de la conique une longueur égale au rayon r du cercle. On l'appelle quelquefois courbe parallèle à la conique, et il a même développée que cette conique.

x^ v^ La courbe parallèle à Tellipse -j + r^ = ï a pour équation

eir» — iic^r'-[c^{a^ -+- 6*) -4- (a*— 262)57* -h(aa« — **)/'] H- r*[cH«* -^ 4«'ô* -H 6*; — 2c2(a^ — a«6« 4- 36*)a?«

2 cH3 a^ — a» 62 -H 6^ )72 4- (a* — 6a« 6« -I- 6 6* )a7* (6a* — 6a* 6« -+- b'*)y^ -+- (6a^ — ioa«62 -+- 66^)^^*/»] -h rî[— 2a»6»cna* -+- 6-) -H 20*6*37* (3a^ — a*6* -+- 6*)

— 2c*a*72(a'* — a*6*-+-36'0 — 6*a^H6«* — ioa*62 4-664)

— a*y^(6a^ — ioa*62-f- 66») -f-a?«7*(4a'5 — 6a*6* — 6a*6^-+-46«)-h26*(a* — 26*)ar<^

et la courbe parallèle à la parabole ^'^ = imx est donnée par

/.6 __(3^j ^ a:2 4 87wa? — 8m2)r^

— (y- ~ imxy[y^ -i-{x — my] = 0.

On peut aussi considérer ces équations comme servant à déter* miner la distance d'un point quelconque à une conique donnée, cette distance étant mesurée suivant la normale. Ainsi, le lieu des points tels que la somme des carrés de leurs distances à une conique donnée soit constante est une conique.

La condition pour que Téquation en r* ait des racines égales s'obtient en égalant à zéro le produit des carrés des axes par le cube de l'équation de la développée.

En faisant r = o, on voit que les foyers peuvent être considérés comme des points dont la distance normale à la conique est nulle; ce qu'on peut expliquer, en se rappelant que la distance de l'origine à un point quelconque de l'une ou de l'autre des droites x- -hj^- — o est nulle.