Trouver l'équation de la développée de la parabole

On a, dans le cas de la parabole,

S =j'- — 4mx, S' = 2xy-^2{2m — x')y — ^my \ -- — 4'^**» 0 — 0, & = — im(2m -x), ^' =: imy;

l'équation de la développée peut donc s'écrire

INVARIANTS ET COVARIANTS DES SYSTEMES DE CONIQUKS. 677

Il y a lieu d'observer que les intersections de S et S' comprennent non seulement les pieds des trois normales qu'on peut mener à la parabole par un point quelconque^ mais encore un point situé à l'infini sur l'axe des y. Les six cordes d'intersection de S et S' se composent donc des trois cordes qui joignent les pieds des normales, et des trois droites menées parallèlement à l'axe par les pieds de ces mêmes normales. La méthode indiquée au n» 370, pour trouver le lieu de l'intersection des normales, n'est donc pas la plus simple pour résoudre le problème dans le cas de la parabole; l'équation qu'elle fournit n'est autre que celle donnée au no 227, £x. 12, multipliée par le facteur

S^m{imy -k-yx — 2my) — y^.

373. Lorsque S' représente deux droites, on a A'=o. Pour savoir ce que signifient alors 0 et ©', on peut supposer que ces droites sont x = o et j^ = o, puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, les propriétés des invariants sont indépendantes de la position des lignes de référence. Le discriminant de S -{- 2kxyj qui s^obtient en remplaçant h par h -{- k dans A, est égal à A -f- 2k(fg — ch) — ck- ; le coefficient de Xr* s'évanouit pour c = o, c'est-à-dire lorsque le point (x^y) se trouve sur la conique S; le coefficient de k s'annule lorsque /g = chy autrement dit (n® 228, Ex. 3) lorsque les lignes x et y sont conjuguées par rapport à S. Donc : Lorsque S' représente deux droites, ou, ce qui revient au même, lorsque A' est nul, la condition 6' = o exprime que V intersection des deux droites se trome sur S, et la condition 0 == o, que les deux droites sont conjuguées {zi!^ 2^^) par rapport à S.

L'équation

qui est vérifiée lorsque A -{- 0/r 4- & k^ est un carré parfait, exprime (n® 372) qu'une des droites représentées par S' est tangente à S. On peut, du reste, le voir facilement sur l'exemple précédent, où l'on a

0« — 4A0'i=-(^^c — /»)(ca — ^«).

S. — Géom. à deux dim. 3;

5yS CHAPITRE XVIIl.

Exercices.

1. Étant données cinq coniques Si, Sj, ..., il est toujours passible d'une infinité de manières de déterminer les constantes II, /,, ... de telle sorte que l'expression

'iSi -4- 'jSj -4- 'aSj •+■ **S^ -4- ijSs

soit ou un carré parfait L*, ou un produit MN de deux facteurs linéaires M ei N; démontrer que les droites L enveloppent une conique fixe V, et que les droites M e^ N sont conjuguées par rapport à V.

On peut déterminer V de telle sorte que les invariants 0 correspondant à V et à chacune des cinq coniques données soient nuls, puisque pour exprimer ces conditions on obtient cinq équations de la forme

AûiH- B^i-H Gc,-+- iF/, -+- aG^i-h 2HAi = o,

qui suffisent évidemment pour faire connaître les rapports mutuels des coefficients A, B, ... de l'équation tangentielle de V. On a ain^i

Aai-f-...=o, Aa2-t-...=o, ..., Aaj-4-... = o,

et, par suite,

A ( liai -h /^aj + l^a^ -+- /^a; -h l^a^ )-+-...:= o,

autrement dit, l'invariant 0 de V et de chacune des coniques du système

llSi -h /jSj -h /3S3 -\- l^Sj^ -+- /5S5 = o

est nul; ce qui démontre le théorème. Lorsque la droite M est donnée, N passe par un point fixe qui est le pôle de M par rapport à V.

2. Lorsque six droites x, y, Zy v, w, w sont tangentes à une conique, les carrés a?*, y^, . .. vérifient la relation linéaire

Ixx^ 4- hy^ 4- hz^ H- /4M* + hv^ -h /cw' = o-

Ce théorème est un cas particulier du théorème de l'Exercice précédent, mais on peut le démontrer directement comme il suit. La condition pour que les six droite* > «• H- |jlj^ -H v -s, X'a: -4- {x^ -H v'^, . .

ITtVARUNTS ET GOVARIANTS DBS SY8TEHRS QB COMQCBS.

soient tangentes à une même conique, s'obtient en éliminant les coeffîcients A, B, G, ... des équations A X' 4- . . . = g, A X'* -+- . . . = o, . . • (nol51), autrement dit, en égalant à zéro le dé^ ^minant

ce qui exprime aussi que les carrés (Xa?-!- [jl^-+- v<«)*, ... vérifient une relation linéaire.

Vj

V,Xi

XiJXi

t^lvî

VtX,

vJ

VsX,

vJ

H-kV*

Xvfx*

vJ

vsX,

XsfAs

vJ

Xôl^e

3. Lorsqu'on se donne seulement quatre coniques Si, Sj, S3, S^y et que l'on cherche à déterminer une conique V, comme dans l'Exercice 1, de telle sorte que les invariants 9 soient nuls, on n'obtient que quatre conditions, et un des coeffîcients A, B, ... de réquation tangentielle de V reste indéterminé; mais il est facile de voir, en exprimant les autres coefficients en fonctions de ce dernier, que l'équation tangentielle de V peut se mettre sous la forme 2-h A:S' = o, et par suite que V est une conique tangente à quatre droites fixes. Nous démontrerons directement, plus tard, qu'on peut trouver quatre systèmes de constantes telles que l'expression /1S1-+- /jSj-h /3S3-4- /^S^ soit un carré parfait.

On peut voir, en outre, en prenant pour M la droite de l'infini, que lorsque M est une droite donnée, le problème de déterminer les constantes /i, /{, .•. de telle sorte que l'expression /]Si+ ... soit de la forme MN, admet une solution et n'en admet qu'une seule : le théorème de l'Exercice 1 montre alors que N est le lieu du pôle de M par rapport à V. Comparer à ce résultat celui de l'Exercice 8 du n» 228.

374. Trouver l'équation du couple des tangentes menées à S aux points où cette conique est coupée par la droite \x -h ^y + V s. — L'équation d'une conique quelconque, doublement tangente à S aux points où S rencontre Xx-^- ^y + v 5, peut se mettre sous la forme /rS + (X^ + [i.^ + v-s)^ = o; toiU se réduit donc à déterminer k de telle sorte que cette

58o CHAPITRE XVIII.

équation représente deux droites. Dans le cas actuel, on a à lois A' = o, 0' = o ; deux des racines de Péquation en k sont nulles, et si Ton pose

L =1 AX= -h Bfx* -f- Cv' 4- 2Fîxv -f- 2GvX H- aHXuL,

il vient, pour déterminer la troisième, A* A -f- S = o. L'équation du couple de tangentes est donc

Quand la droite \x H- p-j^ + v^ est tangente à S, le couple de tangentes se confond nécessairement avec cette droite, et il ne peut en être ainsi que si Ton a 2 = o : cette dernière équation exprime donc, ainsi que nous Tavons déjà démontré (n® 131), que la droite \x -{-^y + ^z est constamment tangente à la conique S.

La détermination de Téquation des asymptotes d'une conique, définie par l'équation générale en coordonnées trilinéaires, peut être considérée comme un cas particulier du problème précédent.

375. Examinons maintenant quelle peut être, en général, l'interprétation géométrique de l'équation © = o. Si l'on prend pour triangle de référence un triangle autopolaire quelconque par rapport à S, l'équation de S prend la forme ax^-^-by'-^cz^ (n*» 258), et l'on a à lafois/=o, ^ = o, A = o. Quant à la valeur de 0 (n**370), elle se réduit à bca^ + cab' -\- abd et devient nulle si l'on a a' = o, 6' = o, 0^ = 0, c'est-à-dire si l'équation S' rapportée au même triangle est de la forme /'^>3 + ^ zx + h' xy. Donc : L* invariant Q devient nul toutes les fois qu!un triangle quelconque inscrit dans S' est autopolaire par rapport à S.

En prenant pour triangle de référence un triangle autopolaire quelconque par rapport à S', on a /' = o, ^ = o, A' = o,

et la valeur de 0, qui est alors

ne peut devenir nulle que si l'on 2ibc =i f^ ^ ca =2 g^ y ab =z h- , Mais la relation bc =/^ exprime que la droite x est tangente à S; donc : U invariant 0 s^ annule encore quand tout triangle circonscrit à S est autopolaire par rapport à S'.

On démontrerait de la même manière que : La condition 0' = o exprime quHl est possible, soit d^ inscrire dans S un triangle autopolaire par rapport à S', soit de circonscrire à S' un triangle autopolaire par rapport à S. Quand l'une de ces constructions est possible, l'autre l'est également.

Deux coniques liées entre elles par la condition 0 = o possèdent encore d'autres propriétés. Appelons pôle d'un triangle, par rapport à une conique, le point de concours des droites qui joignent les sommets de ce triangle aux sommets correspondants de son triangle polaire (n® 99) par rapport à cette conique; et axe du triangle la droite qui passe par les intersections des côtés correspondants des mêmes triangles.

Lorsque 0 = o, le pôle, par rapport à?>^ de tout triangle inscrit dans S' se trouve sur S'; et l'axe, par rapport à S', de tout triangle circonscrit à S est tangent d S. En effet, en éliminant successivement jt, y, z entre les équations

ax 4- hy -i- gz=:Oy hx -h by 4-/5=0, gx-^-fy-^cz^zo,

on trouve

{gh - af)x = {hf^ bg)y = {fg - ch)3

pour les équations des droites qui joignent les sommets du triangle xyz aux sommets correspondants de son triangle polaire par rapport à S. Ces équations peuvent se mettre sous

la forme Fx = Gj^ = H-s, ce qui donne p* tt > o» pour les

coordonnées du pôle du triangle; en substituant ces valeurs dans S', et en observant que les coefficients a', b\ d de S' sont nuls, on obtient l'équation

2F/' + 2G^'-h2HA' = o,

c'est-à-dire 0 = o.

On démontrerait de la même manière la seconde partie du théorème.

Exercices.

1. Lorsque deux triangles sont autopolaires par rapport à une conique S', leurs six sommets sont sur une conique, et leurs six côtés sont tangents à une autre conique (n* 356, Ex. 7).

Faisons passer une conique par les trois sommets du premier triangle, et par deux des sommets du second que nous prendrons pour triangle de référence, xyz. Cette conique étant circonscrite au premier triangle, on a 6' = o, c'est-à-dire a-4-^-t-c = o (n* 371, Ex. 2); et comme elle passe par deux des sommets de ocyz^ on a a = o, 6 = o, et par suite c = o; elle passe donc par le troisième sommet du deuxième triangle. La deuxième partie du théorème se démontre de la même manière.

2. Le carré de la tangente menée du centre dune conique au cercle circonscrit à un triangle autopolaire quelconque est constant et égal à a* -h b^, (M. Faure.)

Ce théorème n'est que l'interprétation géométrique de la condition 0 = 0, appliquée à la valeur a* -+- p* — r' — a* — b^ trouvée pour 6 au n® 371, Ex. 4. Il peut encore s'énoncer de la manière suivante : Tout cercle circonscrit à un triangle autopolaire coupe orthogonalement le cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique. En effet, le carré du rayon de ce dernier cercle est égal èia^-hb^.

3. Le centre du cercle inscrit dans un triangle autopolaire, par rapport à une hyperbole équilatère, est situé sur l* hyperbole.

Il suffit pour le démontrer de faire b^ = — a* dans la condition 6' = o, e' ayant la valeur donnée au n** 371, Ex. 4.

4. Le lieu du point de concours des hauteurs des triangles circonscrits à une conique et tels que le rectangle construit sur les segments d'une des hauteurs soit constant et égal à M, est le cercle a;» -i-^* = a' -i- 6* -f- M.

La condition pour qu'un triangle autopolaire par rapport à un cercle soit circonscrit à S s'obtient en égalant à zéro la valeur de 6 trouvée au n® 371, Ex. 4. D'ailleurs, lorsqu'un triangle est auU)polaire par rapport à un cercle, le centre du cercle est le point de concours des hauteurs du triangle (n*» 278, Ex. 3) et le carré du rayon est égal au rectangle construit sur les segments d'une des hauteurs, pris avec le signe -f- si le triangle est obtusangle, et avec le signe — s'il est acutangle. En faisant dans l'équation précédente M = o, on retombe sur le lieu décrit par le sommet des angles droits circonscrits.

5. Le lieu de l'intersection des hauteurs des triangles inscrits dans une conique S, et tels que le rectangle construit sur les segments d'une des hauteurs soit constant et égal à M, est une

conique S =M(— r-4- jjj semblable et concentrique àS.{D''lîjiKT.)

Ce théorème se démontre comme le précédent, en partant de la relation 8' = o.

6. Trouver le lieu de l'intersection des hauteurs d'un triangle inscrit dans une conique et circonscrit à une autre. (M.Burnside.)

Prenons pour origine le centre de la dernière conique et égalons les valeurs de M trouvées aux Exercices 4 et 5; si a' et b' sont les axes de la conique S circonscrite au triangle, on a pour l'équation du lieu

c'est l'équation d'une conique dont les axes sont parallèles à ceux de S ; lorsque S est un cercle, le lieu est un cercle.

7. Le centre du cercle circonscrit à tout triangle autopolaire par rapport à une parabole se trouve sur la directrice.

Ce théorème et le suivant se démontrent en égalant à zéro la valeur trouvée pour 0 au n*371, Ex. 5.

8. Le point de concours des hauteurs de tout triangle circonscrit à une parabole se trouve sur la directrice,

9. Le lieu des centres des cercles inscrits dans un triangle autopolaire par rapport à une parabole, et dont le rayon es^ donné, est une parabole de même paramètre,

376. Lorsque deux coniques sont prises arbitrairement, il n'est généralement pas possible d'inscrire dans Tune d'elles un triangle qui soit en même temps circonscrit à l'autre; niais on peut en trouver une infinité dès que les coefficients des équations de ces coniques satisfont à une certaine relation que nous allons déterminer. Supposons qu'un pareil triangle soit tracé, et prenons-le pour triangle de référence; les équations des coniques peuvent alors se ramener aux formes suivantes :

S z= X- -{- y^ -k- Z' — lyz — 2XZ — 2 xy =: o, S' == 'xfyz 4- 2 gzx 4- 2 hxy =: o,

et en calculant les invariants, il vient

A = -4,0 = 4(/+^4-A),0' = (/-h^-hAr,A' = 2/^^, ce qui donne pour la condition cherchée

0*rz:4A0'(*).

(*) Cette condition a été indiquée pour la première fois par M. Cayley

( Philosophical Magazine, T. VI, p. 99), qui l'a déduite de la théorie des

fonctions elliptiques. M. Cayley a démontré aussi, par le même procédé,

que, si la racine carrée de A:'A-h A:'0 -4- A:0'-hA', développée suivant les

puissances de Ar, était de la forme A + BA:+CAr* + ..., les conditions pour

Celte relation est (n** 371) complètement indépendante du choix des axes de coordonnées; il en résulte que les équations de deux coniques ne peuvent être ramenées au type indiqué ci-dessus que si elle, est vérifiée par les coefficients de ces équations, quelle que soit d^ailleurs la forme sous laquelle celles-ci se présentent. Réciproquement, etainsi qu'on peut le voir en procédant comne au n** 375, Ex. 1, quand deux des sommets d*un triangle circonscrit à S se trouvent sur S', il en est de même du troisième, si l'on a 0^ = 4 A0'.

Exercices.

1. Trouver la condition à laquelle doivent satisfaire deux cercles, pour qu*on puisse tracer un triangle qui soit inscrit dans Vun et circonscrit à Vautre,

Si Ton pose D* — r* — r'* = G, on a pour la condition cherchée (n*»371, Ex. 3)

(G — r«)î-l-4r«(G — r'«) = o ou (G 4- r«)« = 4r«r'»;

et, par suite, D* = r'^iharr' : c'est la formule donnée par Euler pour exprimer la distance du- centre du cercle circonscrit à un triangle au centre de l'un des cercles inscrits.

2. Trouver le lieu des centres des cercles passant par les sont^ mets dun triangle circonscrit à une conique, ou tangents aux

qu'on puisse tracer un polygone de n c6tés inscrit dans U et circonscrit à V étaient respectivement dans le cas de w = 3, 5, 7,. . .,

et dans le cas de n = 4» ^t 8, . . . ,

côtés cTun triangle inscrit dans une conique, et dont le rayon est donné.

Ces lieux sont en général du quatrième degré. Lorsque la conique est une parabole, le lieu du centre du cercle circonscrit se réduit à un cercle ayant le foyer pour centre.

3. Trouver la condition pour qu* on puisse inscrire dans S' «/i triangle dont les côtés soient respectivement tangents à S H- /S'^ S-+-mS',SH-nS'.

Si Ton pose

S =a7«+^«-f-^'— 2(1+ lf)yz — i{i'¥mg)zx — i{i -h nh)Ty. S' = '^fyz -\-igzx -+- 2 hxy,

les coniques S -i- /S', S -h m S', S -h /i S' sont respectivement tangentes aux droites a?, y, z, et on a

A= — (2-i-//*-f- mg H- nh )* — Imn/gh,

e = 2(/-f-^-hA)(a-h lf-^mg-\-nh)^ifgh(mn-\- ni -h Im),

Q' = -(/-hg-^h)^-2{l-i~m-{-n)/gh, M=2/gh;

d'où l'on tire, pour la condition cherchée,

[e — A'(m/i -h n/ 4- lni)Y = 4(A -+- Imn^') [S' 4- A'(/ -+- m -+- /i)'.

377. Former la condition pour que ladroite\x-\-\ky-^'iZ' passe par un des quatre points d^ intersection de S et S'.

Ce problème revient, en d'autres termes, à trouver l'équation tangentielle du système des quatre points communs à S et S', ou bien encore, Téquation tangentielle de l'enveloppe des coniques du système S -j- A" S', puisque ces coniques passent par les quatre points communs à S et S'.

L'équation tangentielle de Tune quelconque des coniques du système S + AS' s'obtient évidemment en remplaçant dans l'équation tangentielle de S

S — {bc — /')X»-i- {ca — ^»){jL«4-(a6 — /i*)v*

-+-2(^A — a/){jLv 4-(2/i/— ^^)vX 4-2(/^ — cA)X{x=o,

Oj bj , , . par a + A"a', b -4- kb'^ . . ,, ce qui donne

S' représentant Téquation tangentielle de S',et$ la fonction,

^ — {bc' + b'c — iff')\^-^{ca' 4- da — iggYi}

-\-{ab'-\'a'b — ihh')^'-\'2{gh'-^g'h — af' — a'f)\^^

-+-2( V-t- h'f^bg'^b'g)>ik-\-2iJg' ^fg-ch' - c'h)\^x

On en déduit (n**' 283, 298) pour Téquation tangentielle de Tenveloppe des coniques S -f- A"S',

et celle équation n'est autre chose que la condition cherchée.

On arriverait au même résultat en observant que, par quatre points donnés, on peut, en général, faire passer deux coniques tangentes à une droite donnée(n° 345, Ex. 4); et que, dans le cas où cette droite passe par Tun des quatre points donnés, les deux coniques se confondent en une seule qui touche la droite donnée en ce point. La relation $^ = 4SS' exprime, en effet, que les deux coniques du système S-hA"S', qu'on peut mener tangentiellement à Xx -^'^y H- vz, coïncident, et par suite que X^ + [ij' + v^ passe par Tun des quatre points communs à S et S'.

Il y a lieu de remarquer que l'équation $ = o n'est atilre chose que la condition obtenue au n® 335, pour exprimer que la droite \x + \j,y -4- v^ est divisée harmoniquement par les deux coniques.

378. Former V équation des quatre tangentes communes aux deux coniques S et S'.

Ce problème est le réciproque du problème du numéro précédent et on peut le résoudre de la même manière. L'équation tangentielle d'une conique quelconque inscrite

588 CHAPITBB XVIII.

dans le quadrilatère formé par ces quatre tangentes, peut en effet (n*» 298) se mettre sous la forme 2 + A^S', S et S' étant les équations tangentielles des deux coniques, et tout se réduit à trouver l'équation de l'enveloppe des coniques du système S + A'S'.

L'équation trilinéaire, qui correspond à S + ArS' est, d'après le n*» 28S,

AS4-A:F4-A:«A'S' = o,

F représentant la fonction

F =z(BC' -h B'C -2FF)^* -+-(CA'-+- C'A — 2GG')7«

4-{AB'H-A'B— 2HH')5«-f-2(GH'4-G'H — AF — AT)/;: -h 2 (IIP -i- HT - BG' - B'G)za^ 2 ( FG' -h F'G — Cir — C'H ) a:y,

où les lettres A,B, . . . ont la signification indiquée au n® 131.

On a donc (n**283) pour l'enveloppe des coniques du

système S + A-S',